山西省临晋中学2020-2021学年高二数学上学期月考试题-理.doc

山西省临晋中学2020-2021学年高二数学上学期月考试题 理

山西省临晋中学2020-2021学年高二数学上学期月考试题 理

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山西省临晋中学2020-2021学年高二数学上学期月考试题 理
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
（1题图）
1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为(　　)

A． ②①①　 　B．②①②
C．②④① D．③①①
（2题图）
2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　)

A．6 cm B．8 cm
C．(2＋3) cm D．(2＋2) cm
3．下列命题中，错误的是(　　 )
A．平行于同一平面的两个平面平行
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交
D．一条直线与两个平行平面所成的角相等
（4题图）
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(　 　)

A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
5.设a，b是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b，其中正确的个数为(　　)
（6题图）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，且EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　　)
（7题图）
A. B．5 C．6 D.
7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为(　　)
A.
B．1
C．2
D．4
（8题图）
8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)
A．2 B．4＋2
C．4＋4 D．6＋4

9.点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为(　　)
（10题图）
A． 线段B1C B. BB1的中点与CC1的中点连成的线段
C．线段BC1 D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段
10．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　　)
A．90° B．45° C．60° D．30°
11．已知直二面角α­l­β，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　)
A. B． C. D．
12．已知三棱锥P ­ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P­ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确命题的个数是________．
（14题图）
14．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小会　　　　　.(填“变大”“变小”或“不变”) 

15．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于点A，B，交β于点C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．
（16题图）
16. 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，给出下列四个命题：
①对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分；
②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1∶2∶3；
③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是； ④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积是.其中正确命题的序号为___．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
（17题图）
17．(本小题10分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.

（18题图）
18.(本小题12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.
求证:(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE, D1F, DA三线共点.

（19题图）

19.(本小题12分)在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点．
(1)证明：A1O⊥平面ABC；
(2)求三棱锥C1­ABC的体积．

（20题图）

20． (本小题12分)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面四边形
ABCD为菱形，AB＝2，BD＝2，M，N分别是线段PA，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面ABCD；
(2)求异面直线MN与BC所成角的大小．

（21题图）

21.(本小题12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝2，∠ACD＝60°，E为CD的中点．
(1)求证：BC∥平面PAE；
(2)求点A到平面PCD的距离．

(22题图）
22.(本小题12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明：PA∥平面DBE；
(2)证明：PB⊥平面EFD；
(3)求二面角C－PB－D 的大小.
答案

ABBBC DCCAD CD
13．3 14.不变 15．20或4 16. ①②④
17.证明　(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC.
又∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.
∵CC1，BC⊂平面BB1C1C，CC1∩BC＝C，
∴AC⊥平面BB1C1C，
又B1C⊂平面BB1C1C，∴AC⊥B1C.
(2)取A1B1的中点D1，连接C1D1，D1D和AD1，

∵AD∥D1B1，且AD＝D1B1，
∴四边形ADB1D1为平行四边形，∴AD1∥DB1，
又∵AD1⊄平面CDB1，DB1⊂平面CDB1，
∴AD1∥平面CDB1.
∵CC1∥DD1，且CC1＝DD1，
∴四边形CC1D1D为平行四边形，∴C1D1∥CD，
又∵CD⊂平面CDB1，C1D1⊄平面CDB1，
∴C1D1∥平面CDB1，
∵AD1∩C1D1＝D1，AD1，C1D1⊂平面AC1D1，
∴平面AC1D1∥平面CDB1，
又AC1⊂平面AC1D1，∴AC1∥平面CDB1.
18.（1)如图,连接EF,CD1,BA1.

因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1.
又BA1∥CD1,
所以EF∥CD1.
所以E,C,D1,F四点共面.
(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P.
由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.
同理,得P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA.
所以CE,D1F,DA三线共点.
19.(1)证明：因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC，[
又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，
且A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC.
(2)解：因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离．
由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝＝，
所以VC1­ABC＝VA1­ABC＝S△ABC·A1O＝××2××＝1.
20.(1)证明　连接AC交BD于点O，

∵M，N分别是线段PA，PC的中点，
∴MN∥AC，
∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD.
(2)解　由(1)知，∠ACB就是异面直线MN与BC所成的角或其补角．
∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，BD＝2，
∴在Rt△BOC中，BC＝2，BO＝，∴∠OCB＝60°，
∴异面直线MN与BC所成的角为60°.
21.解析：(1)证明：∵AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，
∴AC＝2，∠BCA＝60°.
在△ACD中，∵AD＝2，AC＝2，∠ACD＝60°，
∴AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，
∴CD＝4，∴AC2＋AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
又E为CD中点，
∴AE＝CD＝CE，
∵∠ACD＝60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠CAE＝60°＝∠BCA，
∴BC∥AE，
又AE⊂平面PAE，BC⊄平面PAE，
∴BC∥平面PAE.
(2)设点A到平面PCD的距离为d，根据题意可得，
PC＝2，PD＝CD＝4，∴S△PCD＝2，
∵VP－ACD＝VA－PCD，
∴·S△ACD·PA＝·S△PCD·d，
∴××2×2×2＝×2d，
∴d＝，
∴点A到平面PCD的距离为.
22.(1)证明　连接AC交BD于点O，连接OE.

在△PAC中，∵O，E分别是AC，PC的中点，
∴OE是△PAC的中位线，
∴OE∥PA，
又∵PA⊄平面DBE，OE⊂平面DBE，
∴PA∥平面DBE.
(2)证明　∵PD⊥平面ABCD，
又DC⊂平面ABCD，
∴PD⊥DC.
又PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形，而E是斜边PC的中点，
∴DE⊥PC.同理可证PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，又PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PDC，
∴BC⊥平面PDC.
又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，
∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，
∴DE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，
∴DE⊥PB，
又EF⊥PB且DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，
∴PB⊥平面EFD.
(3)解　由(2)知PB⊥DF，
∴∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.
设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，BD＝a，
PB＝＝a，PC＝＝a，
DE＝PC＝a，
在Rt△PDB中，DF＝＝＝a，
在Rt△EFD中，sin∠EFD＝＝＝，
∴∠EFD＝60°.
∴二面角C－PB－D的大小为60°.