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2021-2022学年高中数学 第5章 函数概念与性质 5.2 函数的表示方法学案 苏教版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第5章 函数概念与性质 5.2 函数的表示方法学案 苏教版必修第一册

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5.2　函数的表示方法
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)
2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)
1．通过函数表示的图象法培养直观想象素养．
2．通过函数解析式的求法培养运算素养.

观察教材第5.1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？
知识点1　函数的表示方法

1.函数三种表示法的优缺点是什么？
[提示]　

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示．(　　)
(3)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(　　)
(4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
知识点2　分段函数
(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．
(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．
2.分段函数是几个函数构成的吗？
[提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数．
2.若函数f(x)＝则f(x)的定义域为______，值域为________．
{x|x≠0}　{y|y>－1}　[定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}，
当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>－1，∴值域为{y|y>－1}．]

类型1　求函数解析式
【例1】　求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)；
(4)若f(x)＋2f(－x)＝，求f(x)．
[解]　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，
f(2x－1)＝a(2x－1)＋b，
f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，
所以解得
即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3.
(2)令＋1＝t(t≥1)，
则＝t－1，x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，
所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，则
解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(4)∵f(x)＋2f(－x)＝，①
用－x替换x得f(－x)＋2f(x)＝－，②
②×2－①得3f(x)＝－－＝－，∴f(x)＝－.

求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．
(2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围．
(3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
(4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f(g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.
(5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可．

[跟进训练]
1．(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，求f(x)；
(2)若f ＝＋，求f(x)；
(3)已知2f(x)＋f ＝3x，求f(x)．
[解]　(1)设f(x)＝k1x＋，
则⇒
∴f(x)＝x＋.
(2)令t＝(t≠1)，则x＝，
∴f(t)＝＋(t－1)＝t2－t＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
(3)∵2f(x)＋f ＝3x.
用替换x得2f ＋f(x)＝.
消去f 得3f(x)＝6x－
∴f(x)＝2x－.
类型2　分段函数的求值问题
【例2】　已知函数f(x)＝
试求f(－5)，f(－)，f 的值．
[解]　由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)
＝3－2.
因为f ＝－＋1＝－，
－2<－<2，
所以f ＝f
＝2＋2×
＝－3＝－.

1．(变结论)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
[解]　①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2<a<2时，a2＋2a＝3，
即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，
所以a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
2．本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围．
[解]　①当x≤－2时，x＋1>3得x>2，
又x≤－2，所以x∈∅.
②当－2<x<2时，x2＋2x>3得x>1或x<－3，
又－2<x<2，所以1<x<2.
③当x≥2时，2x－1>3，得x>2，
又x≥2，所以x>2，
综上有x的取值范围是1<x<2或x>2.

1．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．

[跟进训练]
2．已知f(x)＝
(1)求f(2)，f ；
(2)若f(x)＝，求x的值；
(3)若f(x)≥，求x的取值范围．
[解]　(1)f(2)＝1，f ＝2＝，
所以f ＝f ＝.
(2)f(x)＝等价于①或②
解①得x＝±，②的解集为∅.
∴当f(x)＝时，x＝±.
(3)∵f(x)≥，
∴或
解得x≥或x≤－，
∴x的取值范围是∪.
类型3　分段函数的图象及应用
【例3】　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
[解]　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.

　　　　 ①　　　　　　　　　②
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．

分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．

[跟进训练]
3．(1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的图象是(　　)

A　　　 　B　　 　C　 　　　D
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．

(1)A　(2)f(x)＝　[(1)当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.
(2)由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
将(－1,0)，(0,1)代入解析式，
则∴∴f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，
将(1，－1)代入，则k＝－1.∴f(x)＝－x.
即f(x)＝]
类型4　分段函数的实际应用
【例4】　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．

　[解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.

因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示．

分段函数图象的画法
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)用分段函数解决实际问题时要注意两点
①确定好分段的标准，正确的写出分段函数的表达式；
②考虑自变量的实际意义，注意自变量的取值范围．

[跟进训练]
4．A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．
[解]　(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，
则有s＝50t，到达B地所需时间为＝3(小时)．
(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.
(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，
则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，
从B地到A地用时＝2.5(小时)．
综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为s＝
函数图象如图所示．

1．(多选题)下列给出的函数是分段函数的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
AD　[B中当x＝2时f(2)＝3或f(2)＝4不是函数．对于C取x＝1，f(1)＝5或f(1)＝1，故BC不是分段函数．]
2．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)

　 A　　 　B　　　　　C　　　 D
B　[函数的解析式可化为y＝
画出此分段函数的图象，故选B.]
3．已知函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，则f(10)＝________.
20　[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20.]
4．设f(x)＝则f(f(0))等于________．
2　[f(0)＝1，f(f(0))＝f(1)＝1＋1＝2.]
5．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式为______，f(2 021)＝______.
f(x)＝3x－1　6 062　[令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，
∴f(x)＝3x－1，∴f(2 021)＝2 021×3－1＝6 062.]

回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．求函数解析式主要有哪些方法？
[提示]　代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)
2．作分段函数的图象应注意哪些问题？
[提示]　根据不同的定义域选择不同的函数作图象注意衔接点的虚实．
3．分段函数模型的应用关键是什么？
[提示]　确定分段的各分界点即明确自变量的取值区间．在每一区间内分类讨论写出相应的函数解析式．