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2021-2022学年高中数学 第5章 函数概念与性质 5.2 函数的表示方法学案 苏教版必修第一册2021-2022学年高中数学 第5章 函数概念与性质 5.2 函数的表示方法学案 苏教版必修第一册年级：姓名：5.2函数的表示方法学 习 任 务核 心 素 养1理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数(重点)2了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值(重点、难点)1通过函数表示的图象法培养直观想象素养2通过函数解析式的求法培养运算素养.观察教材第5.1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？知识点1函数的表示方法1.函数三种表示法的优缺点是什么？提示1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示()(2)任何一个函数都可以用图象法表示()(3)函数f(x)2x1不能用列表法表示()(4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线()答案(1)(2)(3)(4)知识点2分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式像这样的函数，通常叫做分段函数(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象2.分段函数是几个函数构成的吗？提示分段函数是一个函数，而不是几个函数2.若函数f(x)则f(x)的定义域为_，值域为_x|x0y|y1定义域为x|x0或x0时，f(x)0，当x1，值域为y|y1 类型1求函数解析式【例1】求下列函数的解析式(1)已知f(x)为一次函数，f(2x1)f(2x1)4x6，求f(x)；(2)已知f(1)x2，求f(x)；(3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x)4x1，求f(x)；(4)若f(x)2f(x)，求f(x)解(1)设f(x)axb(a0)，f(2x1)a(2x1)b，f(2x1)a(2x1)b，f(2x1)f(2x1)4ax2b4x6，所以解得即函数f(x)的解析式为f(x)x3.(2)令1t(t1)，则t1，x(t1)2，f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)(3)设所求函数f(x)kxb(k0)，所以f(f(x)f(kxb)k(kxb)bk2xkbb4x1，则解得或所以f(x)2x或f(x)2x1.(4)f(x)2f(x)，用x替换x得f(x)2f(x)，2得3f(x)，f(x).求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可(2)换元法：令tg(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围(3)配凑法：已知f(g(x)的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x)的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可(4)代入法：已知yf(x)的解析式求yf(g(x)的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换yf(x)中的x.(5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(x)，f(x)的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可在构造对称方程时，一般用或x替换原式中的x即可跟进训练1(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)3，f(1)3，求f(x)；(2)若f ，求f(x)；(3)已知2f(x)f 3x，求f(x)解(1)设f(x)k1x，则f(x)x.(2)令t(t1)，则x，f(t)(t1)t2t1，f(x)x2x1(x1)(3)2f(x)f 3x.用替换x得2f f(x).消去f 得3f(x)6xf(x)2x. 类型2分段函数的求值问题【例2】已知函数f(x)试求f(5)，f()，f 的值解由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.因为f 1，22不合题意，舍去当2a3，求x的取值范围解当x2时，x13得x2，又x2，所以x.当2x3得x1或x3，又2x2，所以1x3，得x2，又x2，所以x2，综上有x的取值范围是1x2.1分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验跟进训练2已知f(x)(1)求f(2)，f ；(2)若f(x)，求x的值；(3)若f(x)，求x的取值范围解(1)f(2)1，f 2，所以f f .(2)f(x)等价于或解得x，的解集为.当f(x)时，x.(3)f(x)，或解得x或x，x的取值范围是. 类型3分段函数的图象及应用【例3】已知函数f(x)x22，g(x)x，令(x)minf(x)，g(x)(即f(x)和g(x)中的较小者)(1)分别用图象法和解析式表示(x)；(2)求函数(x)的定义域，值域解(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图. 由图中函数取值的情况，结合函数(x)的定义，可得函数(x)的图象如图.令x22x得x2或x1.结合图，得出(x)的解析式为(x)(2)由图知，(x)的定义域为R，(1)1，(x)的值域为(，1分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象跟进训练3(1)已知函数f(x)则函数f(x)的图象是() A B C D(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_(1)A(2)f(x)(1)当x1时，y0，即图象过点(1,0)，D错；当x0时，y1，即图象过点(0,1)，C错；当x1时，y2，即图象过点(1,2)，B错故选A.(2)由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，当1x0时，设f(x)axb(a0)，将(1,0)，(0,1)代入解析式，则f(x)x1.当0x1时，设f(x)kx(k0)，将(1，1)代入，则k1.f(x)x.即f(x) 类型4分段函数的实际应用【例4】如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象解过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45，AB2 cm，所以BGAGDHHC2 cm，又BC7 cm，所以ADGH3 cm.(1)当点F在BG上，即x0,2时，yx2；(2)当点F在GH上，即x(2,5时，y22x2；(3)当点F在HC上，即x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y图象如图所示分段函数图象的画法(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画(2)用分段函数解决实际问题时要注意两点确定好分段的标准，正确的写出分段函数的表达式；考虑自变量的实际意义，注意自变量的取值范围跟进训练4A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象解(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s50t，到达B地所需时间为3(小时)(2)汽车在B地停留2小时，则有s150.(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s15060(t5)45060t，从B地到A地用时2.5(小时)综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为s函数图象如图所示1(多选题)下列给出的函数是分段函数的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)ADB中当x2时f(2)3或f(2)4不是函数对于C取x1，f(1)5或f(1)1，故BC不是分段函数2函数f(x)|x1|的图象是() A BC DB函数的解析式可化为y画出此分段函数的图象，故选B.3已知函数f(3x1)x23x2，则f(10)_.20令3x110，x3，代入得f(10)3233220.4设f(x)则f(f(0)等于_2f(0)1，f(f(0)f(1)112.5已知函数f(x1)3x2，则f(x)的解析式为_，f(2 021)_.f(x)3x16 062令x1t，则xt1，f(t)3(t1)23t1，f(x)3x1，f(2 021)2 021316 062.回顾本节知识，自我完成以下问题1求函数解析式主要有哪些方法？提示代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)2作分段函数的图象应注意哪些问题？提示根据不同的定义域选择不同的函数作图象注意衔接点的虚实3分段函数模型的应用关键是什么？提示确定分段的各分界点即明确自变量的取值区间在每一区间内分类讨论写出相应的函数解析式