2021-2022学年高中数学-第1章-空间向量与立体几何-1.1-1.1.1-空间向量及其线性运算.doc
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1、2021-2022学年高中数学 第1章 空间向量与立体几何 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算学案 新人教A版选择性必修第一册2021-2022学年高中数学 第1章 空间向量与立体几何 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算学案 新人教A版选择性必修第一册年级:姓名:1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学 习 任 务核 心 素 养1.理解空间向量及相关概念(重点)2.掌握空间向量的线性运算(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及其推论的应用(重点、难点)1.通过空间向量有关概念的学习,培养数学抽象素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习,提升直观想象和
2、逻辑推理素养.回忆平面向量的有关概念与约定,思考能否将它们从平面推广到空间中,如果能,尝试说出推广后的不同之处,如果不能,请说明理由知识点1空间向量及相关概念(1)空间向量的定义及表示定义在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量长度或模空间向量的大小叫做空间向量的长度或模表示方法几何表示与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模符号表示空间向量常用一个小写字母表示如:向量a,b,c,其模分别记为|a|,|b|,|c|空间向量也可以用有向线段表示如图所示,向量a也可记作,其模记为|a|或|(2)几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量1相反向量相反
3、相等a的相反向量:a;的相反向量:相等向量相同相等ab1.若两个空间向量相等,则它们的方向相同,且模相等,那么它们的起点、终点也相同吗?提示起点、终点未必相同单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向需注意单位向量有无数个,它们的方向并不确定,因此,它们不一定相等;零向量也有无数个,它们的方向是任意的,但规定所有的零向量都相等1.思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)向量与向量的长度相等()(2)零向量没有方向()提示(1)对于任意向量和,都有|成立(2)零向量有方向,它的方向是任意的回忆平面向量的加法、减法与数乘运算,思考如何定义空间向量的加法、减法与数乘运算,并尝试总结空间向量
4、的线性运算与平面向量的线性运算有何不同知识点2空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法ab减法ab数乘当0时,a;当0时,a;当0时,a0运算律交换律:abba;结合律:a(bc)(ab)c,(a)()a;分配律:()aaa,(ab)ab2.由a0,可否得出0?提示不能a00或a0.2.(1)已知空间四边形ABCD中,a,b,c,则等于()AabcBcabCcab Dcab(2)化简_.(1)B(2)0(1)baccab,故选B(2)0.知识点3共线向量(1)定义:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量(2)方向向量:在直线l上取非零向量a,与
5、向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量规定:零向量与任意向量平行,即对任意向量a,都有0a.(3)共线向量定理:对于任意两个空间向量a,b(b0),ab的充要条件是存在实数,使 ab.3.怎样利用向量共线定理证明空间A,B,C三点共线?提示只需证明向量,(不唯一)共线即可向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据但必须注意在向量a(或b)所在直线上至少有一点不在b(或a)所在的直线上3.思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)若ab,bc,则ac.()(2)若ab,则存在唯一的实数,使得ab.()(3)若,则A,B,C三点共线()提示(1)当b0时,ac不一定成立(2)当a是非零向量,
6、b0时,不存在实数,使得ab.(3)由知,且有公共点B,此时A,B,C三点共线知识点4共面向量和共面向量定理(1)定义:平行于同一个平面的向量叫做共面向量(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使px ay b.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在有序实数对(x,y), 使xy或对空间任意一点O,有xy.4.(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗?(2)设空间五点O,A,B,C,P,满足xyz,若xyz1,则P,A,B,C四点是否共面?提示(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平面的两
7、个向量,因此一定是共面向量(2)由xyz1,得xyz(1yz)yzy()z(),即yz,即yz,所以P,A,B,C四点共面共面向量定理可作为判定三条直线共面的依据,但要注意应用共面向量定理判定三条直线共面时,还需要其中一条直线上有一点在另外两条直线所确定的平面内4.思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面()(2)若点P,M,A,B四点共面,则存在唯一的有序实数对(x,y),使xy.()(3)对于空间的任意三个向量a,b,2ab,它们一定是共面向量()提示(1)三条直线不一定在同一平面内(2)当与共线,与不共线时,x,y不存在(
8、3)由2ab2a(1)b得2ab与a,b共面 类型1空间向量的有关概念及简单应用【例1】给出下列结论:若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;若空间向量a,b满足|a|b|,则ab;若空间向量m,n,p满足mn,np,则mp;空间中任意两个单位向量必相等;在如图1所示的正方体ABCDA1B1C1D1中,必有;图1图2如图2所示,在平行六面体ABCDABCD的所有棱对应的向量中,与相等的向量有3个其中正确的是_(填序号)当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个相等向量不一定起点相同,终点也相同,故错误;要保证两向量相等,则需模相等且方向相同,要保证两向量是相反向量,
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