2021-2022学年高中数学-第4章-指数函数与对数函数-4.5-4.5.2-用二分法求方程的近似.doc

2021-2022学年高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5 4.5.2 用二分法求方程的近似解学案 新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5 4.5.2 用二分法求方程的近似解学案 新人教A版必修第一册

年级：
姓名：

4.5.2　用二分法求方程的近似解
学 习 任 务
核 心 素 养
1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)
3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)
　借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养.

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子．可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了．
问题：你知道他是如何做到的吗？
知识点1　二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
[提示]　二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
1.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．

x3　[因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]
知识点2　二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　)
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　)
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
3.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0,0.5)　f(0.25)　[∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．]

类型1　二分法概念的理解
【例1】　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是(　　)

A　　　 B　　　　 　C　　　D
(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是(　　)
A．9　　 B．8　　　　
C．7　　 D．6
(1)ACD　(2)A　[(1)二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．
(2)由题意可知Δ＝36－4c＝0，∴c＝9.故选A.]

运用二分法求函数的零点应具备的2个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．

1．(多选)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，其中正确的是(　　)
A．二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
AC　[结合二方法的原理可知AC正确．]
类型2　用二分法求方程的近似解
【例2】　(对接教材P146例题)用二分法求2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解(精确度为0.2)．
参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67

结合二分法的原理思考求解该问题的步骤以及如何应用精确度求得方程的近似解？

[解]　令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1,1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37<0
(1.25,1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.035<0
(1.375,1.5)

∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解可取为1.375.

利用二分法求方程近似解的过程图示

2．用二分法求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．
[解]　令f(x)＝x2－2x－1，易知f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴f(x)在区间(2,3)上有且只有一个零点，记为x0.
取2和3的中点2.5，
∵f(2.5)＝2.52－2×2.5－1＝0.25>0，
∴x0∈(2,2.5)，
取2和2.5的中点2.25，
∵f(2.25)＝2.252－2×2.25－1＝－0.437 5<0，
∴x1∈(2.25,2.5)，
如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，
则x0∈(2.375,2.437 5)，
∴|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1，
∴原方程的近似解可取为2.375.

1．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)

A．4,4　 B．3,4　　　
C．5,4　 D．4,3
D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．[－2，－1]　 B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
A　[∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，故可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]
3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
B　[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
(2,3)　[因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．]
5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
x
1.600 0
1.587 5
1.575 0
1.562 5
1.556 2
1.550 0
f(x)的近似值
0.200
0.133
0.067
0.003
－0.029
－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．(答案不唯一)
1.56　[f(1.562 5)＝0.03>0，f(1.556 2)<0，
且|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.01，
∴区间(1.556 2,1.562 5)内的任意实数均是函数f(x)的零点，不妨取1.56.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是什么？
[提示]　在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
2．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
[提示]　当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
3．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
[提示]　精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．

二分法在搜索中的应用
日常生活中，我们经常要利用计算机、网络来搜索信息．你知道吗？二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色．
下图中的15个数是按从小到大排列的．
2
5
8
11
12
16
23
27
29
35
51
53
69
75
77
如果随机给出一个不大于100的自然数x，要让计算机查找x是否在上面这列数中，设计怎样的查找方法，才能保证不管给出的是什么数，都能在指定的步骤内查到结果呢？
如果让计算机将x逐一与图中的数去比较，那么在有些情况下，只要比较1次就可以了(例如x＝1)，但在有些情况下，却要比较15次才能完成任务(例如x＝80)．
如果我们用二分法的思想来查找，情况就不一样了：每一次都让x与序列中正中间的数进行大小比较，通过这种方式缩小其可能的位置范围．例如，x＝13时的查找过程可用下图表示．

由此不难看出，不管给出的是什么数，最多4次就能完成任务．
计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的，而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用，感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧！