高三数学总复习优秀教案第七章直线和圆的方程.doc

第七章 直线和圆的方程1 直线方程和两条直线的位置关系1、直线经过原点和点（,），则它的倾斜角是（ A ）。A. B. C.或 D.2、两平行直线和间的距离是（ B ）A. B. C. D.3、如果直线与直线互相垂直，那么的值等于（ D ）A. B. C. D.4、两直线与的夹角是（ ）A. B. C. D.答案：B解析：5、过点A(3，0)，且平行于直线的直线方程是。答案：6、点（2，5）关于直线的对称点的坐标是。答案：（5，2）【典型例题】【例1】 求满足下列条件的直线的方程。（1） 在y轴上的截距为，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6。（2）与直线的夹角为，且焦点在x轴上。解：（1）设直线的方程为，由题意得，。当时，直线的方程为即。当时，直线的方程为即。（2）直线交x轴于点（），可设的方程为。由两直线夹角公式有，或。的方程为或，即或。注意：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条件确定方程中的待定系数。变式1.将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，得到的直线方程是。变式2.垂直于直线，且被坐标轴所截得的线段长为的直线方程是。【例2】 如图7.1-1，已知点A，直线和直线交于点B，交于点C，求中的平分线方程。 解：解方程组得点B，显然点A在上，交于点C，0ACTB直线AC的斜率。设的平分线AT的方程为，,则解得。直线AT得方程为，将其代入得，即点。的平分线方程为。注意：涉及三角形有关问题要考虑将直线与三角形的知识结合起来。变式1：已知中，C点在直线上，若的面积为10，则C点的坐标是。【例3】 求过点P(0,1)的直线的方程，使夹在两条直线与之间的线段恰被P点平分。 解：但斜率不存在时，显然不满足条件，设过点的直线方程为， 与直线，分别交于两点，如图7，12由 解得，。又已知为AB的中点，则0，解得。所求直线方程为，即。注意：与两直线相关问题，要考虑两直线的位置关系，结合题设条件，寻求解决问题的有效办法。变式1：直线经过交点，且垂直于直线，则直线的方程是。变式2：直线过点A(2,3)，且被两平行直线截得的线段长为，则直线的方程是【例4】 点关于直线的对称点是A、（6，8） B、(8，6) C、（6，8） D、（6，8）解：设点关于直线的对称点为，由轴对称概念的中点在对称轴上，且与对称轴垂直，则有 解得，故选D注意：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题。变式1：直线与直线关于点对称，则直线的方程为变式2：光线由点射出，遇直线即行反射，已知其反射光线过点，反射线所在的直线方程为【小结】1、 直线的各种形式均有它的优越性，应在不同的题设下灵活运用，要注意当直线斜率不存在时的特殊情况。2、 在解析几何中，设而不求往往是简化计算的重要方法之一，3、 在两条直线的位置关系中，讨论最多的是平行与垂直，在两条直线的夹角公式中，当分子为0时，两条直线斜率相等，平行；当分母为0时，不存在，90，垂直。【达标训练】1、经过点（2，1）且倾斜角的正弦等于的直线方程是（ ）A、B、 C、D、2、过点作直线，使在两坐标轴上的截距相等，这样的直线有（ ）条A、0 B、1 C、2 D、33、三点，在一条直线上，则的值是（ ）A、2 B、3 C、9 D、94、 若直线与直线平行但不重合，则a的值（ ）A、1 B、2 C、D、1或25、三条直线，能构成三角形的条件是（ ）A、B、C、D、且6、若点P在直线上，O为原点，则的最小值是。7、已知直线与轴相交点P，现将直线绕点P逆时针旋转所得直线方程是。8、直线与两直线，分别交于P、Q两点，线段PQ的中点是，则直线的斜率为。9、求与直线的夹角为，且交点在轴上的直线方程。10、（1）求证：无论为任意实数，直线都过一定点P，并求出此点坐标。（2） 分别在及轴上各取一点B，C使的周长最小。6.2 线性规划【基础练习】1、不等式表示直线（ ）A、上方的平面区域 B、下方的平面区域C、上方的平面区域（包括直线） D、下方的平面区域（包括直线）2、不等式所表示平面区域的面积为（ ）A、2 B、4 C、8 D、163、若，且，则的最大值是（ ）A、B、1 C、2 D、4、若，且，则的最小值为（ ）A、2 B、3 C、4 D、55、点P到直线的距离等于且在不等式表示的平面区域内，则点P的坐标为 。【典型例题】【例1】设，式中变量满足条件求的最大值和最小值。解：由已知，变量满足的每个不等式都表示一个平面区域，因此所表示的区域为如图中的四边形ABCD. ABCDO当过点C时，取最小值，当过点A时，取最大值。即当时，当时，。注意：求线性规划问题，应用图解法有下面几个步骤：（1） 指出线性约束条件和线性目标函数；（2） 画出可行域的图；（3） 求出目标函数的可行解；（4） 求出目标函数的最优解。变式1：已知满足条件，若都是整数，则的最大值是。AB2C2D0变式2：已知满足条件，则的最大，最小值分别是。【例2】用图解法求线性规划问题：（即求S的最小值）解：如图作出直线，的图像，可得其可行域ABCD.由，作出等值线；显然，直线离原点越近，S值越小，而且在可行域B点达到最小值。由 求得B(2,0)，所以注意：利用图解法只适用两个变量得线性规划问题。变式1:若且则【例3】某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付3000元的固定费用，它生产1千克糖果的成本是10元，而销售价是每千克15元，试问：每天应生产并销售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈亏平衡点是多少？30060030006000900090009000解：设生产千克的糖果的成本函数为，销售千克的糖果的收益函数为，在同一坐标系中画出它们的图像，交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量，令，得，即每天必须生产并销售600千克糖果，这条流水线才能做到盈亏平衡，从图中可以看出，当时，表示有盈利，反之则表示亏本。【例5】 某人有楼房一幢，室内面积共180m，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他们只能筹8000元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？ 解：设应隔出大房间间和小房间间，则目标函数为，则约束条件为作出可行域，根据目标函数，作出一组平行线。当此线经过直线和直线的交点，此直线方程为，由于不是整数，所以经过整点（3，8）时，才是他们的最优解，即应隔大房间3间，小房间8间，所获利益最大。【小结】1、中学所学的线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，而解决这类问题的最常用和最重要的一种方法就是图解法。2、寻求线性规划问题中最优解的关键问题是应用数形结合的方法，弄清目标函数所表示的几何意义，3、寻求整点最优解的方法仍是平移找解的方法，即先打网格，描整点，平移直线，找最先经过和最后经过的整点便是最优整点解。【达标训练】A、 B、 C、 D、1、由及所围成的平面区域的面积是（ ）A、16 B、8 C、 4 D、22、若不等式表示直线的下方区域，则的取值范围是（ ）A、B、 C、D、3、方程的图像，绕轴旋转一周所得的旋转体体积是（ ）A、B、C、D、4、已知直线与轴、轴围成的四边形内接一个圆，则实数的值为（ ）A、3 B、3 C、 6 D6、5、的三个顶点为，R为这个三角形的三边为成的区域（包括边界），当在R中变动时，的最大值和最小值分别为（ ）A、13和18 B、18和14 C、14和18 D、14和136、不等式组表示平面区域的面积是。7、曲线所围成的图形面积是。8、若，则的最大值是。9、已知函数满足，求的取值范围。10、某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示，但国家每天分配给该厂的煤、电有限；每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？用煤（吨）用电（千瓦）产值（千元）甲产品7208乙产品350116.3 圆的方程(供稿: 中山纪念中学 常丽霞)要点与目标：知识要点： 圆的定义，圆的标准方程，一般方程,参数方程。目标： 掌握圆的定义，会求圆的方程,掌握简单的直线与圆的关系.【基础练习】1圆的圆心和半径分别是（ ）A (2,-1), B (2,-1), 5 C (-2,1), D (-2,1), 5答案: A2点（1，1）在圆的内部，则a的取值范围是（ ）A , B , C 或 D 答案: A3(2003年北京春季高考题)已知直线ax+by+c=0 ()与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为的三角形 （ ）A 是锐角三角形 B 是直角三角形 C 是钝角三角形 D 不存在答案: B4X2与y2的系数相同,且不等于零,并且没有xy这样的项是二元二次方程表示圆的（ ）A 必要条件 B充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件答案: A5过点C(-1，1)和D（1，3），圆心在x轴上的圆的方程是_。答案: （x-2）2+y2=106.方程表示的曲线是_。（答案：两个半圆）7已知圆C的圆心在直线上，与直线相切，且截直线所得弦长为6，则圆C的方程：_。（答案：）【典型例题】【例1】 一圆过点P（2,-1）且和直线相切，圆心在直线y=-2x上，求此圆的方程。解：设圆方程为，由已知，解得a=1,b=-2,r=或a=9,b=-18,r=13.所以圆的方程为。注意：求圆的方程，可先设所求圆的标准方程式或一般方程，再由题设条件建立方程组，解方程组确定方程中的待定系数。变式1：如果三角形的顶点分别是，那么它的内切圆方程是_。答案：（x-3）2+（y-3）2=9【例2】 求圆关于直线的对称圆方程。解：圆方程可化为, 圆心O(-2,6),半径为1。设对称圆圆心为，则O与O关于直线对称，因此有解得所求圆的方程为。注意：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等。变式1：圆关于点（1，1）的对称圆方程是_。答案: （x-4）2+（y+4）2=40-3q变式2：圆关于y轴对称的圆的方程是_。答案: 【例3】 设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。解：配方得： 该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为 ，消去m，得，由得x=m+3所求的轨迹方程是，注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中变式1：方程表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。解：原方程可化为当a时，原方程表示圆。又当，所以半径最小的圆方程为【例4】 已知圆x2+y2=16,A（2，0），若P,Q是圆上的动点，且，求PQ中点的轨迹方程。解：设PQ中点M的坐标为（x,y），由已知圆的参数方程，可设，-（1）又，化简得代入（1）式，得，所以所求轨迹方程为。【小结】1 求圆方程：主要用待定系数法，根据题设选用圆的标准方程或一般方程，联立方程求出a,b,r,或D，E ，F。2 注意数形结合的方法的应用，充分应用圆的几何性质，简化运算过程。【达标训练】1方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）A B C D 答案: C2已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A B C D 答案: D3圆的圆心在x轴上，半径r=2， 且DE，则D=（ ）A B C 1 D 2答案: D4M（3，0）是圆内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（ ）A B C D 答案: B5过点A（1，2）和B（1，10）且和直线相切的圆方程为_.答案: （x-3）2+（y-6）2=80或（x+7）2+（y-6）2=806圆 上到直线的距离等于1的点有_个。答案: 27已知BC是圆的弦，且，则BC的中点的轨迹方程是_。答案: x2+y2=168已知直线与x轴和y轴分别交于A，B ，求以线段AB为直径的圆的方程。答案: （x+1）2+（y-2）2=59. 直线y=k（x-3）+4与曲线有一个交点，求实数k的取值范围。解：直线y=k（x-3）+4过定点P（3，4），曲线化为x2+（y-1）2=4因为A（2,1）,B（-2,1）所以可得，又设lPC: y-4=k（x-3）即kx-y+4-3k=0,由得或（舍）综上所述，所求实数k 的取值范围是：或。6.4 直线与圆 圆与圆的位置关系（供稿:中山纪念中学 常丽霞）【要点与目标】知识要点: 直线与圆,圆与圆的位置关系目标: 通过练习掌握基本知识,并能综合运用所学知识正确解题.【基础练习】1.x轴与圆的位置关系是（ ）A 相切 B 相离 C 相交且不过圆心 D 通过圆心答案: A2.圆与圆的位置关系是（ ）A 相离 B 外切 C 相交 D 内切答案:C3.由点M(5,3)向圆所引切线长是（ ）A B C 51 D 1答案: A4.（2003年上海春季高考题）若过两点A(-1,0),B(0,2)的直线l与圆相切,则a=_.答案: 5.如果直线l将圆平分,且不通过第四象限,那么l的斜率取值范围是_.答案: 6.方程的曲线形状是_.答案:圆或二射线【典型例题】【例1】 一直线经过点P被圆截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程.解: (1)当斜率k不存在时, 过点P的直线方程为,代入,得.弦长为,符合题意.(2)当斜率k存在时,设所求方程为,即.由已知,弦心距,解得.所以此直线方程为,即. 所以所求直线方程为或.注意: 关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可用代数法的弦长公式求解.本题还要注意,斜率不存在时直线符合题意.【例2】 自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线l所在的直线方程.解：由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C的方程为，其C（2，-2）中，则l与圆C相切，设l: y-3=k(x+3),，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或，所以所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.注意: 关于求切线问题,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件,是求圆的切线方程的常用方法.若本题由“”求切线方程也可,但过程要复杂些.变式1. 曲线与直线y=k（x-2）+4有两个交点,则实数k的取值范围是_.答案: 【例3】 如果实数满足,求（1） 的最大值.（2） 2x-y的最小值.解: （1）问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值,由图形性质可知,由原点向圆作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值.设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,由,解得或.（2）x,y满足,.注意: .圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题,由圆的参数方程设圆上一点的坐标在解题中应用也非常广泛.【例4】 一个圆和已知圆外切,并与直线l: 相切于点M（）,求该圆的方程.解: 已知圆方程化为: ,其圆心P（1,0）,半径为1.设所求圆的圆心为C（a,b）,则半径为, 因为两圆外切,从而1+ (1)又所求圆与直线相切于M(),直线,于是,即 （2）将（2）代入（1）化简,得a2-4a=0, a=0或a=4当a=0时,所求圆方程为当a=4时,b=0,所求圆方程为.变式1: 求圆C1: 与圆C2: 的公共弦所在直线被圆C3:所截得的弦长.解: 圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为: 即x+y-1=0圆心C3到直线x+y-1=0的距离所以所求弦长为【小结】1. 圆与直线的位置关系,我们主要讨论相交与相切的情况,主要方法有几何法与代数法.（1） 几何法: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.（2） 代数法: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数.2. 使用圆的参数方程在解决有关最值问题时可以使运算变得简单.3. 解圆与直线的综合问题时,注意数形结合及利用圆的几何性质.【达标训练】1.圆与圆的位置关系是（ ）A 相离 B 外切 C 相交 D 内切答案: C2.在圆上,与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标为（ ）A B C D 答案: B3.若动圆与圆相外切,且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A y2+12x-12=0 B y2-12x+12=0 C y2+8x=0 D y2-8x=0答案: A4.直线x=2被圆所截弦长等于,则a的值为（ ）A -1或-3 B 或 C 1或3 D 答案: C5.集合,且仅有2个元素,则a的值为（ ）A 1 B 0 C -1 D 0,1答案: B6.过圆x2+y2=r2上一点P（3,1）的切线方程为_答案: 3x+y=r27.两圆x2+y2=16 及（x-4）2+（y+3）2=R（R0）在交点处的切线互相垂直,则R=_答案:38.一个圆的圆心在直线x-y-1=0上,与直线4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦长为6,求圆的方程.解:由圆心在直线x-y-1=0上,可设圆心为（a,a-1）,半径为r,由题意可得 ,经计算得a=2,r=5.所以所求圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=259.已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由.解:设直线L的斜率为，且L的方程为y=x+b,则消元得方程x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,设此方程两根为x1,x2，则x1x2（b+1）,y1+y2= x1x2+2b=b-1,则中点为，又弦长为，由题意可列式解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合题意所以所求直线方程为y=x+1.16 / 16