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2021-2022学年高中数学 全书要点速记学案 新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 全书要点速记学案 新人教A版必修第一册

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全书要点速记

第一章　集合与常用逻辑用语
1．常用数集
数集
名称
非负整数集
(或自然数集)
正整数集
整数集
有理
数集
实数集
字母
表示
N
N*或N＋
Z
Q
R
2．集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．
3．元素与集合的关系：
4．集合的表示方法：列举法、描述法．
5．集合间的基本关系

[重要结论]　(1)若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
[易错警示]　空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
6．集合的基本运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
(3)补集：∁UA＝{x|x∈U且x∉A}．
[重要结论]　A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
7．充分条件与必要条件
若p，则q
若q，则p
p是q的______条件
真命题
假命题
充分不必要
假命题
真命题
必要不充分
真命题
真命题
充要
假命题
假命题
既不充分也不必要
8．全称量词命题与存在量词命题的否定
含有一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定为p：∃x0∈M，p(x0)；存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定为p：∀x∈M，p(x)．
9．根据集合间的关系判断充分、必要条件
集合
关系
p是q的______条件
A＝{x|p(x)}，
B＝{x|q(x)}
AB
充分不必要
BA
必要不充分
A＝B
充要
AB且BA
既不充分也不必要
第二章　一元二次函数、方程和不等式
1．作差法比较两个实数的大小
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.
2．不等式性质
性质1(对称性)：a>b⇔b<a；
性质2(传递性)：a>b，b>c⇒a>c；
性质3(可加性)：a>b⇒a＋c>b＋c；
性质4：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；
性质5：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
性质6：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
性质7：a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn；
性质8：a>b>0，n∈N，n≥2⇒>.
3．基本不等式：≤
(1)不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)基本不等式的变形：ab≤2(a，b∈R)．
(4)重要不等式： a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(5)最值定理：已知x>0，y>0，则
①如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
②如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
[易错警示]　应用基本不等式求最值的前提条件：“一正、二定、三相等”．
4．解一元二次不等式的一般步骤
计算
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
求根
有两个不等的实数根x 1，x 2
有两个相等的实数根x 1，x 2
无实数根
画图

f(x) ＞0
{x|x＜x1
或x＞x2}

R
f(x)＜0
{x| x1<x＜x2 }
∅
∅
[记忆口诀]　大于取两边，小于取中间．
5．不等式恒成立问题的解法
(1)a≠0时，ax2＋bx＋c>0(<0)对任意实数x恒成立的条件是()．
(2)对于较易分离且分离后函数最值易求的问题都可以采用分离参数法，其常用的结论是：g(a)>f(x)(g(a)<f(x))恒成立等价于g(a)>f(x)max(g(a)<f(x)min)．
第三章　函数的概念与性质
1．函数的概念
定义
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三
要
素

对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量x的取值范围
值域
与x的值相对应的y值的函数值的集合{f(x)|x∈A}
[特别提醒]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数；(2)在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式．
2．单调性的定义：对于函数f(x)的定义域Ⅰ内某个区间[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1≠x2.
(1)若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
[拓展]　复合函数的单调性满足同增异减的原则．
3．函数的奇偶性
(1)f(x)是奇函数⇔对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)⇔f(x)图象关于原点对称；
(2)f(x)是偶函数⇔对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)⇔f(x)图象关于y轴对称．
[重要结论]　若奇函数f(x)在原点处有意义，则f(0)＝0.
4．五个常见幂函数的图象

第四章　指数函数与对数函数
1．根式的性质
(1)()n＝a.
(2)当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
(1)a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
3．有理指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
4．指数式与对数式的关系
(1)互化式：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.
(2)对数的基本性质
①零和负数没有对数，即真数N>0；
②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；
③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．
(3)两个重要的对数恒等式
①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；
②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
5．对数的四则运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
6．对数的换底公式及推论
(1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)．
(2)常用推论：
①logab·logba＝1；
②logab·logbc·logca＝1；
③logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0)．
7．指数、对数函数的图象及性质

[说明]　(1)研究指数、对数函数的性质时，要首先考虑底数a的取值范围，分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，在这两种情况下，函数的单调性不同，相应的图象也不同，其次要注意函数的定义域．
(2)底数互为倒数，两指数函数的图象关于y轴对称；两对数函数的图象关于x轴对称．
(3)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x对称．
8．函数的应用(二)
(1)函数的零点概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x.
(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

(3)函数零点存在定理
①条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.
②结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[特别提醒]　(1)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．

①　　　　 　　②　 　　　　　③
(2)函数零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.
(3)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．
(4)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．
第五章　三角函数
1．任意角和弧度制
(1)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
(3)弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
①弧长公式：l＝αR.
②扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
2．任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
(1)点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；
(2)点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．
[拓展]　(1)若点P(x，y)是角α终边上的任意一点，点P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
4．三角函数的诱导公式

公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α

口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，
符号看象限
5．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增
区间

[2kπ－π，2kπ]

递减
区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称
中心
(kπ，0)

对称轴
方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
[重要结论]　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z); f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
6．三角恒等变换
(1)两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；
tan(α－β)＝(T(α－β))；
tan(α＋β)＝(T(α＋β))．
(2)二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
(3)半角公式
sin ＝±；
cos ＝±；
tan ＝±；
tan ＝＝＝；
tan ＝＝＝.
(4)辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)其中sin φ＝，cos φ＝.
[重要结论]　(1)公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
sin 2α＝＝；
cos 2α＝＝.
(2)降幂公式：sin2α＝；
cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义

(2)用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：
x

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
(3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
　方法一(先平移后伸缩)　　方法二(先伸缩后平移)

[易错警示]　左右平移是相对于自变量x而言的，与其系数无关．
8．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略
利用三角恒等变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
(1)求周期：在ω＞0，A>0的前提下，利用周期公式T＝即可计算出函数f(x)的最小正周期．
(2)求单调区间：在ω＞0的前提下，－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f(x)的单调递增区间．
(3)求最值：
①代换法：若A＞0，ω＞0，把ωx＋φ看作一个整体，由x的范围计算出u＝ωx＋φ的取值范围，然后结合函数y＝sin u的图象确定函数f(x)的最小值和最大值．
②转化法：形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
③换元法：形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
④图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的最值．