基于可分离替代函数优化的CT重建.pdf
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1、【光电工程/Optoelectronic Engineering】Vol.40 No.6Nov.2023第 40 卷 第 6 期2023 年 11 月深圳大学学报理工版Journal of Shenzhen University Science and Engineeringhttp:/基于可分离替代函数优化的CT重建侯晓文1,2,郭金川1,陈伟2,江浩川21)深圳大学物理与光电工程学院,广东深圳 518060;2)明峰医疗系统股份有限公司,浙江杭州 310018摘 要:针对应用迭代坐标下降算法,且基于q广义高斯马尔科夫随机场正则化模型的计算机断层成像(computed tomography,
2、CT)目标函数优化中存在的耗时过长问题,提出一种基于可分离替代函数的优化方法根据目标函数特性,采用优化转换策略,将目标函数的优化转换为可分离替代函数的优化,使得待重建CT图像各个像素可以同时更新,再结合图形处理器(graphics processing unit,GPU)技术并行运算能力,最终极大降低了迭代重建所需时间实验结果表明,与迭代坐标下降算法相比,通过本研究算法重建的CT图像具有相同的空间分辨率和噪声水平,计算耗时仅为迭代坐标下降算法的1/20本算法在极低的计算耗时下,保持了迭代坐标下降算法优异的图像性能,为临床应用所面临的耗时过长问题提供解决途径关键词:医学成像技术;计算机断层成像;
3、迭代重建;优化转换;并行运算;q广义高斯马尔科夫随机场;计算耗时中图分类号:R445.3;O434.19 文献标志码:A DOI:10.3724/SP.J.1249.2023.06681CT reconstruction based on separable surrogate optimizationHOU Xiaowen 1,2,GUO Jinchuan 1,CHEN Wei 2,and JIANG Haochuan 21)College of Physics and Optoelectronic Engineering,Shenzhen University,Shenzhen 51806
4、0,Guangdong Province,P.R.China2)MinFound Medical Systems Co.Ltd.,Hangzhou 310018,Zhejiang Province,P.R.ChinaAbstract:In response to the time-consuming problem of optimizing the objective function in computed tomography(CT)using the iterative coordinate descent algorithm and the regularization model
5、of q-generalized Gaussian Markov random field,an optimization method based on separable surrogate is proposed.According to the characteristics of the objective function,the optimization transformation strategy is adopted to transform the optimization of the objective function into that of the separa
6、ble surrogate,so that each pixel of the CT image to be reconstructed can be updated simultaneously.Combined with the parallel computing ability of the graphics processing unit(GPU)technology,the time required for iterative reconstruction is greatly reduced.The experimental results show that compared
7、 with the iterative coordinate descent algorithm,the CT image reconstructed by the proposed algorithm has the same spatial resolution and noise level,and the calculation time is only 1/20 of that of the iterative coordinate descent algorithm.The proposed algorithm maintains the excellent image perfo
8、rmance of the iterative coordinate descent algorithm with extremely low calculation time,problem of excessive time consumption faced by the application of the iterative reconstruction algorithm.Key words:medical imaging technology;computed tomography;iterative reconstruction;optimization transformat
9、ion;parallel computing;q-generalized Gaussian Markov random field;calculation timeReceived:2023-09-07;Accepted:2023-10-24;Online(CNKI):2023-11-01Foundation:National Natural Science Foundation of China(11674232);Leading Wild Goose Program of Science Technology Department of Zhejiang Province(2022C030
10、72);LingChuang Research Project of China National Nuclear CorporationCorresponding author:Professor GUO Jinchuan();Professor JIANG Haochuan(Harry.J)Citation:HOU Xiaowen,GUO Jinchuan,CHEN Wei,et al.CT reconstruction based on separable surrogate optimization J.Journal of Shenzhen University Science an
11、d Engineering,2023,40(6):681-687.(in Chinese)第 40 卷深圳大学学报理工版http:/计算机断层成像(computed tomography,CT)技术1在临床诊断和治疗中已获得越来越广泛的应用2-6,与此同时,患者承受的X射线辐射剂量也日益增高7-12,尤其新型冠状病毒肺炎(corona virus disease 2019,COVID-19)爆发以来,患者接受的CT扫描频次大幅增加13,因此,降低CT扫描剂量具有广泛且迫切的临床需求能谱CT技术14-15(包括双能CT与光子计数CT等)对于低剂量扫描下的高质量成像亦有迫切需要然而,对于传统的滤波
12、反投影(filtered back projection,FBP)重建算法,降低扫描剂量将导致CT图像噪声水平增高,影响医生的临床诊疗判断1,7迭代重建(iterative reconstruction,IR)算法能够在降低扫描剂量的同时,提供高质量图像1IR算法在问题描述中引入数据非理想性,并将非理想性构建到统计模型中,进而使CT图像重建公式转化为以目标函数形式表达的正弦图数据及图像估计的统计度量通过迭代计算,优化该统计度量,重建出CT图像为更好地降低图像噪声并保持算法稳定性,需在目标函数中加入图像空间分布先验信息1马尔科夫随机场(Markov random field,MRF)是图像先验分
13、布的一种典型选择16使用MRF作为先验分布能够获得仅具有局部相互作用的正则项函数正则项函数中的势函数能够惩罚图像局部差异,从而降低图像噪声势函数的恰当选择对迭代重建至关重要:势函数应为凸函数,以保证目标函数最小值的全局唯一性,且可以通过较简单的优化方法求解;势函数应具有足够的灵活性,以便灵活控制迭代重建图像噪声、空间分辨率及低对比度分辨率等特性,满足临床诊疗的不同需求文献 16 提出的 q 值广义高斯马尔可夫随机场(q-generalized Gaussian MRF,q-GGMRF)同时具有凸特性和灵活性,以其为势函数的迭代重建结果在噪声及空间分辨率等方面表现优越但是,基于q-GGMRF的迭
14、代重建算法计算成本高、重建时间长文献 16 采用迭代坐标下降(iterative coordinate descent,ICD)算法优化目标函数,在每次迭代中假定除当前图像像素外,其余像素均为常数,从而实现对目标函数的一维求导,再利用二分查找算法,求取上述一维导数的根;将上述一维优化过程遍历目标图像的所有像素点,即实现1次完整的迭代过程;通过多次迭代,使图像收敛到最优点由于优化过程在一维进行,计算复杂度大幅降低但是,遍历像素的过程使得重建耗时漫长,难以满足临床要求为降低计算成本,减少重建时间,文献 17 提出一种非均匀ICD(nonhomogeneous ICD,NH-ICD)算法,根据像素选
15、择标准自适应确定需要更新的像素,利用像素选择算法确定像素更新顺序为加快每个像素的更新速度,NH-ICD算法使用替代函数方法获得一维目标函数的封闭解,避免了搜素算法的多次计算NH-ICD相对于ICD重建速度提高了3倍,但重建时间仍需约12 h,相应地FBP重建算法仅需几分钟就能完成重建由于NH-ICD的重建时间过长,仍难以满足临床需求为进一步降低迭代重建时长,本研究提出一种基于可分离替代函数优化,以q-GGMRF为正则项统计模型的迭代重建算法针对该统计模型目标函数为凸函数的特点,采用优化转换策略,构建恰当的可分离替代函数,将目标函数优化转换为各个像素相互独立的替代函数优化,实现各个像素的同时优化
16、,大幅提高了算法的并行性实验结果验证了算法的可行性1统计模型和目标函数令X=x1,x2,xNT为三维图像离散向量,即图像估计;令y=y1,y2,yMT表示投影的离散向量首先根据统计模型,将上述X和y的统计度量关系表达为目标函数的形式迭代重建中假设离散向量X和y是随机向量在CT扫描过程中,每个探测器单元记录了穿透目标物体的X射线强度=i,i=1,2,3,M 根据比尔定律,与衰减系数线积分相关,且i Poisson(Iie-y i),其中,Ii是入射 X 射线光子强度;y i是理想的无噪声线性衰减系数线积分根据贝叶斯公式X=arg maxxi 0 P(X|y)其中,P表示概率取负自然对数后得X=a
17、rg minxi 0-ln P(y|X)-ln P(X)(1)图像估计X和投影测量y采用如下线性模型y=AX+n其中,A为系统矩阵;向量n中每一分量对应光子噪声和电子噪声强度和y满足比尔定律,且服682第 6 期侯晓文,等:基于可分离替代函数优化的CT重建http:/从泊松分布,式(1)等号右边第1项可通过二阶泰勒级数展开,以足够的精度近似为-ln P(|y X)12(y-AX)TD(y-AX)+f(y)(2)其中,f(y)是关于y的函数,与X无关,可忽略;D=diag d1,d2,dM是对角权重矩阵,反映测量数据固有可信度对于临床CT范围内的泊松计数,上述近似足够精确系统矩阵A和权重矩阵D的
18、恰当选择对于重建速度和最终的重建图像质量至关重要文献 16 采用距离驱动(distance driven,DD)系统矩阵模型,可以在保持CT系统扫描几何结构精度下快速实现正反投,兼顾了计算时间和重建精度本研究采用相同系统矩阵模型CT扫描中,D的对角元di i式(1)中等号右边第2项是图像估计先验分布的负对数,等于目标函数正则项R(X)加1个常数R(X)用来控制图像估计的噪声,并保证算法的稳定性图像估计先验分布的典型选择是马尔科夫随机场,本研究采用基于MRF的正则项形式为R(X)=1ppj,h Sjbj,h(xj-xh)(3)其中,参数p用来平衡图像降噪和边界保持,p值增大,降噪水平增强,边界保
19、持减弱;参数为标量,控制图像估计中相邻像素集合Sj所定义的局部邻域上,相对于噪声模型的先验强度,参数值根据经验确定;bj,h是方向加权系数,采用中心像素和Sj中第h个元素之间距离的倒数,并进行归一化,即 j,h Sjbj,h=1;()为势函数,用来惩罚局部差异,本研究采用文献 16 提出的q值广义高斯马尔可夫随机场所用的势函数,即()=|p1+|cp-q(4)其中,参数q用来保持图像边界,p固定时,q值越小,图像边界信息保持越好;参数c用来确定边界的强弱,其值增大时,表示更大像素差值才被当作边界当1 q p 2时,式(3)和式(4)所示的正则函数是严格凸的此外,参数p和q为调节图像估计的噪声及
20、空间分辨率等提供了更好的灵活性结合式(1)式(4),可得用于迭代重建的目标函数为L(X)=H(X)+R(X)(5)其中,H(X)为目标函数的数据拟合项,H(X)=12(y-AX)TD(y-AX)(6)因此,CT图像重建问题等价为根据统计模型构建的上述目标函数的最小化问题,即X=arg minxi 0 L(X)(7)2可分离替代函数优化算法对式(7)所示的目标函数进行优化非常困难,文献 16 和 17 分别采用ICD和NH-ICD算法进行优化但由于需要对所有像素逐个优化,导致迭代重建耗时过长,无法满足临床要求本研究基于目标函数的凸特性,利用优化转换原理,将优化过程转换为对可分离替代函数的优化可分
21、离替代函数具有并行性高的优点,结合图形处理器(graphics processing unit,GPU)技术,能够极大提高迭代重建计算速度2.1优化转换原理优化转换是在第k次迭代中,用容易优化的替代函数Lk(t)取代难以优化的目标函数L(t),替代函数的最优点是目标函数的第k+1次估计,即tk+1=min Lk(t)由此可得估计数列 tk 若每次迭代构建的替代函数满足Lk(tk)=L(tk)(8)Lk(t)L(t),t (9)则数列 tk 将使目标函数单调下降其中,是L(t)的定义域若目标函数是凸函数,数列 tk 将收敛到目标函数最小值点此外,替代函数还具有如下性质引理1若目标函数是n个函数的
22、和,即L(t)=L1(t)+L2(t)+Ln(t),相应替代函数为Lk1()t、Lk2(t)、Lkn(t),记Lk(t)=Lk1(t)+Lk2(t)+Lkn(t),若i=1,2,n满 足Lki(tk)=Li(tk)且Lki(t)Li(t),t ,则Lk(t)为L(t)满足Lk(tk)=L(tk)且Lk(t)L(t),t 的替代函数【证】记替代函数的和为Lk(t),则有Lk(t)=Lk1(t)+Lk2(t)+Lkn(t)(10)又L(t)=L1(t)+L2(t)+Ln(t)(11)且Lki(t)Li(t),i=1,2,n,t ,显然有Lk(t)L(t),t 683第 40 卷深圳大学学报理工版h
23、ttp:/又Lki(tk)=Li(tk),将t=tk代 入 式(10)和 式(11)得Lk(tk)=Lk1(tk)+Lk2(tk)+Lkn(tk)L(tk)=L1(tk)+L2(tk)+Ln(tk)因此,Lk(tk)=L(tk).证毕文献 16 已经证明,式(7)中的目标函数是凸函数,因此,可以利用上述优化转换原理计算全局最优值基于此,文献 17 对每个一维优化过程采用优化转换方法替代二分查找方法的算法,提高了迭代重建速度但其构建的替代函数仅适用于一维优化过程,总的迭代过程仍需要遍历所有需要优化的像素点,导致迭代时间仍然很长本研究基于优化转换原理,根据目标函数的具体特征构建一种可分离替代函数2
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