2021-2022版高中数学-第三章-不等式-3.4.1-基本不等式素养评价检测新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式素养评价检测新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式素养评价检测新人教A版必修5

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姓名：

基本不等式
(20分钟　35分)
1.下列不等式中正确的是 (　　)
A.≥ B.a2+b2≥4ab
C.≥　 D.x2+<2
【解析】选C.A中,a<0,b<0时不成立,故A错误.
取a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误.
≥,所以≥,故C正确.x2+≥2=
2,当x=±时等号成立.
2.若a,b∈R,且a+b=0,则2a+2b的最小值是 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选A.因为2a>0,2b>0,所以2a+2b≥2=2=2,当且仅当a=b=0时,等号成立.所以2a+2b的最小值是2.
3.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为 (　　)
A.16 B.25 C.9 D.36
【解析】选B.(1+x)(1+y)≤
===25,
因此当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,
(1+x)(1+y)取最大值25.
4.若lg a+lg b=0,则+的最小值是　　　　. 
【解析】依题意lg a+lg b=0,所以a>0,b>0,且lg(ab)=0,
即ab=1,所以+≥2==2.
当且仅当=,
即a=,b=时,取得等号.
答案:2
5.若0<x<1,则的取值范围是　　　　. 
【解析】由0<x<1知3-2x>0,故=·≤·=,
当且仅当x=时上式等号成立.
所以0<≤.
答案:
【补偿训练】
　　 已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　. 
【解析】f(x)=4x+≥2=4(x>0,a>0),
当且仅当4x=,即x=时等号成立,
此时f(x)取得最小值4.又x=3时,
f(x)min=4,
所以=3,即a=36.
答案:36
6.已知x>0,y>0,且2x+y=4.
(1)求xy的最大值及相应的x,y的值;
(2)求9x+3y的最小值及相应的x,y的值.
【解析】(1)4=2x+y≥2⇒xy≤2,
所以xy的最大值为2,当且仅当2x=y=2,
即x=1,y=2时取“=”;
(2)9x+3y=32x+3y≥2=18,
所以9x+3y的最小值为18,
当且仅当9x=3y,
即2x=y=2⇒x=1,y=2时取“=”.
【补偿训练】
已知x>0,y>0.
(1)若2x+5y=20,求u=lg x+lg y的最大值;
(2)若lg x+lg y=2,求5x+2y的最小值.
【解析】(1)因为x>0,y>0,
由基本不等式得2x+5y≥2
=2·.
又因为2x+5y=20,所以20≥2·,
所以≤,所以xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.
由解得
所以当x=5,y=2时,xy有最大值10.
所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.
所以当x=5,y=2时umax=1.
(2)由已知,得x·y=100,
5x+2y≥2=2=20.当且仅当5x=2y=,即当x=2,y=5时,等号成立.所以5x+2y的最小值为20.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在下列各函数中,能利用基本不等式求得最小值等于2的是 (　　)
A.y=x+
B.y=sin x+
C.y=ex+-2
D.y=
【解析】选C.选项A,当x<0时,y=x+≤-2,故错误;选项B,由于0<x<,函数的最小值取不到2,故错误;选项D,y==+≥2,但是=,得x2+4=1不成立,故错误.
2.若0<x<,则函数y=x的最大值为 (　　)
A.1　　 　B.　　　 C.　　 　D.
【解析】选C.因为0<x<,所以1-4x2>0,
所以x=×2x≤×=,当且仅当2x=,即x=时等号成立.
3.已知正数m,n满足m2+n2=100,则m+n (　　)
A.有最大值10 B.有最小值10
C.有最大值10 D.有最小值10
【解析】选A.≥,
即≤50,又m>0,n>0,
所以≤5,
即m+n≤10.
4.已知x,y>0,x+y=1,若4xy<t恒成立,则实数t的取值范围是 (　　)
A.(1,+∞) B.(-∞,1)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
【解析】选A.4xy≤4·=1,
当且仅当x=y=时,等号成立,
所以,4xy的最大值为1,则t>1.
因此,实数t的取值范围为(1,+∞).
5.设M=,N=()x+y,P=(x,y>0,且x≠y),则M,N,P大小关系为 (　　)
A.M<N<P B.N<P<M
C.P<M<N D.P<N<M
【解析】选D.由基本不等式可知≥=()x+y=≥,因为x≠y,
所以等号不成立,故P<N<M.
【补偿训练】
　　 若实数x,y满足2x+2y=1,则x+y的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2]　　　　B.[0,2]
C.[-2,+∞) D.[-2,0]
【解析】选A.由实数x,y满足2x+2y=1,得
1=2x+2y≥2,故x+y≤-2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是　　　　. 
【解析】因为x>0,所以x+≥2,
当且仅当x=1时取等号,
所以有=≤=,
即的最大值为,故a≥.
答案:
7.设x,y,z∈(0,+∞),满足2x=3y=6z,则2x+-的最小值为　　　　. 
【解析】设2x=3y=6z=k,则x=log2k,y=log3k,z=log6k,k>1,则2x+-=2log2k+logk6-logk3=2log2k+logk2≥2,当且仅当2log2k=logk2时取等号,此时取得最小值2.
答案:2
8.(2019·天津高考)设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为　　　　. 
【解析】=
=≥=4,
当且仅当xy=3时等号成立.
故所求的最小值为4.
答案:4
【补偿训练】
　　 x,y,z∈(0,+∞),x-2y+3z=0,的最小值是　　　.
【解析】由x-2y+3z=0,得y=,将其代入,得≥=3,
当且仅当x=3z时取“=”.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分) 
9.已知x,y∈(0,+∞),求z=(x+2y)的最值.
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:
甲:z=(x+2y)=2+++8≥18,
乙:z=(x+2y)≥2·2=16.
(1)你认为甲、乙两人解法正确的是谁?
(2)请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确.
【解析】(1)甲正确,乙解法中两次不等式中取等号的条件不相同.
(2)已知x,y∈(0,+∞),求z=(a+b)的最小值.
甲:z=(a+b)=1+++1≥4,
乙:z=(a+b)≥2·2=4.
10.已知a,b均为正实数.
(1)若ab=3,求(a+b)(a3+b3)的最小值;
(2)若a2+b2=3,求a+b的最大值.
【解析】由题设知a,b均为正实数.
(1)因为ab=3,所以a+b≥2=2>0,
(a3+b3)≥2=6>0,
所以(a+b)(a3+b3)≥36,
当且仅当a=b时取最小值36.
(2)因为a2+b2=3,
又因为≤=,
所以a+b≤,当且仅当a=b时,等号成立.
所以a+b的最大值为.

1.设正实数a,b满足a+b=4,则ab的最大值为　　　　,(a2+1)(b2+1)的最小值为　　　　. 
【解析】因为≤,
所以ab≤
又因为a+b=4,
所以ab≤=4,当且仅当a=b时取等号.
所以ab的最大值为4.
因为a+b=4,
所以a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab.
所以(a2+1)(b2+1)=(ab)2+a2+b2+1
=(ab)2-2ab+17=(ab-1)2+16≥16.
所以(a2+1)(b2+1)的最小值为16.
答案:4　16
2.已知x>y>0,求x2+的最小值.
【解析】因为x>y>0,
所以x-y>0,
所以0<y(x-y)≤=,
所以x2+≥x2+≥2=8,
所以当且仅当,
即时,等号成立,
故x2+的最小值为8.