贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题-理.doc

贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理

贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理

年级：
姓名：

9

贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，

第Ⅰ卷(选择题 60分)

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、一质点的位移与时间的关系为，则该质点在t=1处的瞬时速度为（ ）
A、8 B、-8 C、-9 D、9

2、设为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A、 B、 C、-1 D、
3、下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4、已知点M的极坐标为，则点M的直角坐标为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．1 B． C． D．
6、将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(　　)
A  y＝sin 2x B．y＝3sin 2x C y＝3sin x D y＝3sinx
7、已知的图象如图所示，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
8、极坐标系中，直线2ρsin(θ＋)＝2＋，与圆ρ＝2sin θ的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
9、若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、函数 的大致图象为（ )

A B C D
11、 定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数，则满足
的x的集合为(　　)
A．{x |－1< x <1} B．{x | x<1} C．{x|x<－1或x>1} D．{x | x>1}
12、已知函数，若方程有4个零点，则a的可能的值为（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、=______________；
14、已知复数：，复数满足，则复数
15、设，则f2020(x)＝ 16、把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、(本题满分10分)已知函数f (x)＝x2－8lnx，
(1)求函数f (x)在点( 1，f (1) )处的切线方程；
(2)求函数f (x)的最小值。

18、(本题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．

19、（本题满分12分）已知
(1)求函数的单调区间；
(2)设，若存在使得成立，求的取值范围。

20、(本小题满分12分)在直角坐标系 中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为
(1) 求的极坐标方程
(2) 在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求的最大值

21、(本小题满分12分)已知数列的前和为，其中且
(1)求
(2)猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

22、(本小题满分12分).已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设，求证：。

思南中学2020-2021学年度第二学期期中考试
高二年级数学理科试题
参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
D
A
A
C
B
B
D
D
B
B

二、填空题：
13、 14、 15、 16、1028
三、解答题
17、
解：（1）      

切线的方程为： 即
（2）

故单调递减，在上单调递增
所以

18、
(1)由曲线C：得x2＋y2＝16.
∴曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.

19、
解：（1）
   故的单调增区间为，无减区间

所以
（2） 由（1）知
所以
存在使得成立
所以

20、
解：（1）

即的极坐标方程为
（2）

所以
所以的最大值为

21、
解：（1） ①
当时 ②
①- -②得
整理得

（2）
证明： ① 当时
②假设当 时 成立
那么
即当 时也成立
由①②可知对任意的都有

22、.
解：（1）当k＝2时，f（x）＝2x﹣xlnx，，
由，解得0＜x＜e；
由，解得x＞e，
因此函数f（x）单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
(2) f（x）＝kx﹣xlnx，故
当k≥1时，因为0＜x≤1，所以k﹣1≥0≥lnx，因此f’（x）≥0恒成立，
即f（x）在（0，1]上单调递增，所以f（x）≤f（1）＝k恒成立，
当k＜1时，令，解得x＝ek﹣1∈（0，1），
当x∈（0，ek﹣1），f’（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ek﹣1，1），f’（x）＜0，f（x）单调递减，
于是f（ek﹣1）＞f（1）＝k，与f（x）≤k恒成立相矛盾，
综上，k的取值范围为[1，+∞）．
（3） 证明：令,由（2）知，当0＜x≤1时，x﹣xlnx≤1．
令x＝（n∈N*），
则，即 2lnn≤n2﹣1，因此，
所以．