p252-316讲稿北师大的群论.doc
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1、5.3 微扰引起的能级分裂复习:定理二如果不存在偶然简并,则依薛定谔方程群G的一个不可约表示变换的的本征函数,属于同一能量本征值。根据微扰势能与的对称性,能级的分裂有以下两种情况:(1)的对称群为G,的对称群为G,G是G的子群;的对称群是G群G的第j个不可约表示,是G的表示。一般是可约表示,可以约化为且表示的维数 没有微扰时的重简并能级,可能分裂。(2)的对称群为G,的对称群也是G;的对称群还是G微扰不引起能级分裂。例1原子处于简立方晶场中,能级的分裂情况。解:的对称群(正当转动)为G=SO(3),的对称群为G=O,是G的子群;的对称群是G=O自由原子中电子的能级是重简并的,个简并波函数构成群
2、G=SO(3)的第个不可约表示;群O是SO(3)的子群。该维表示是群O的可约表示,可以约化为几个低维的不可约表示,对应于重简并能级的分裂。具体讨论如下:SO(3)群的第个(维)不可约表示的特征标为也是O群的维可约表示的特征标;具体O群的不可约表示特征标表:由 则O群的维可约表示,约化为(1维):D0=D1 (s态不分裂)(3维):D1=D4 (p态不分裂)(5维):D2=D3D5(d态分裂为2个)(7维):D3= D2D4D5(f态分裂为3个:1个单重态,2个三重态)(9维):D4= D1D3D4D5(g态分裂为4个能级:1个单重态,1个二重态,2个三重态)例2 例1的进一步讨论(对称性再降低
3、)。沿立方体的三度轴拉伸,微扰的对称群为D3;的对称群进一步由O降低为D3。解:D3群是O群的子群,O群的不可约表示成为D3群的可约表示;特征标为D3群的不可约表示特征标表:则D3群的可约表示,约化为D1=A1D2=A2D3=ED4= A2ED5= A1E作业:(p.289)习题6、75.4 矩阵元定理与选择定则含时微扰的矩阵元 (5.4-2)跃迁几率为 (5.4-1)允许跃迁,禁戒跃迁。的本征态是按的群G的不可约表示来分类的。可将跃迁矩阵元改写为将,用的本征函数集(表象)展开即跃迁矩阵元若展开系数为零,就意味着由到的跃迁是禁戒跃迁。矩阵元定理如果函数中不包含依群G的第个不可约表示第n列基函数
4、变换的部分,那么,矩阵元.具体分析中是否包含成份:荷载群G的表示为直积表示(例如:)直积表示D可以约化为群G的不可约表示的直和(1)如果(记作),则.其中 (2)如果,需进一步确定函数中是否包含表示的第n列基函数。电偶极跃迁的选择定则(设G=C4v)C4v群的特征标表微扰哈密顿V的分量,可以成为D1及D5的基函数,即首先,分析D1与D2能级之间的跃迁:(1)初态D2:(2)初态D1:在电偶极矩作用下,能级D1与D2之间的跃迁是禁戒的。一般地,() ()在电偶极矩作用下,DiDi、以及 DiD5之间的跃迁是可能的。特殊地,(1),Di到Di之间的跃迁是可能的;(2), () ()DiD5()的跃
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