2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.3.2-等差数列习题课素养评价检测新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.3.2 等差数列习题课素养评价检测新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.3.2 等差数列习题课素养评价检测新人教A版必修5

年级：
姓名：

等差数列习题课

　　　　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　35分)
1.(2020·汉中检测)数列{an}的前n项的平均值是n+1,则这个数列的第18项是 (　　)
A.13 B.33 C.36 D.37
【解析】选C.由数列{an}的前n项的平均值是n+1,
所以Sn=n(n+1)=n2+n,
所以Sn-1=n(n-1)=n2-n,n≥2,
所以an=Sn-Sn-1=2n,n≥2,
所以这个数列的第18项是a18=2×18=36.
　　　【补偿训练】
　　已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则过P(1,a1),Q(2,a2)两点的直线的斜率是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.因为Sn=n2+n,
所以a1=S1=2,a2=S2-S1=6-2=4.
所以过P,Q两点直线的斜率k===2.
2.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为 (　　)
A.11 B.99 C.120 D.121
【解析】选C.因为an==-,
所以Sn=a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1,令-1=10,得n=120.
3.据科学计算,运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭,在点火后1分钟通过的路程为2 km,以后每分钟通过的路程增加2 km,在达到离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是 (　　)
A.10分钟 B.13分钟
C.15分钟 D.20分钟
【解析】选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列,设第n分钟后通过的路程为an,则a1=2,公差d=2,an=2n,Sn=·n=240,
解得n=15或n=-16(舍去).
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+2-3,则an=　　　　. 
【解析】根据题意,数列{an}满足Sn=2n+2-3,
当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=(2n+2-3)-(2n+1-3)=2n+1,
当n=1时有a1=S1=8-3=5,不符合an=2n+1,
故an=.
答案:
5.(2020·大庆高一检测)已知在数列{an}中,若a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=　　　　. 
【解析】由已知可以判断数列{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n-63.
因为a1<0,d>0,a21=0,a22>0,所以数列前30项的绝对值之和为S30-2S21=30×(-60)+×3-2×=765.
答案:765
6.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,a3=5,S10=100.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知解得a1=1,d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)bn===
所以Tn
=

==-.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知公差不为0的等差数列{an}满足=a1·a4,Sn为数列{an}的前n项和,则的值为 (　　)
A.-2 B.-3 C.2 D.3
【解析】选C.因为公差d≠0的等差数列{an}
满足=a1·a4,
所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),即a1=-4d,
则====2.
2.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于 (　　)
A.200 B.-200 C.400 D.-400
【解析】选B.由题意可得数列{an}的通项公式为an=
(-1)n-1·(4n-3),
所以a1=1,a2=-5,a3=9,a4=-13,…,a99=393,a100=-397.所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=-4×50=-200.
3.(2020·大庆高一检测)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是 (　　)
A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤
【解析】选B.用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,
所以8a1+×17=996,解得a1=65.
所以a8=65+7×17=184.
4.已知数列{an}:,+,++,+++,…,那么数列{bn}=的前n项和Sn为 (　　)
A.4　　　　 B.4
C.1- D.-
【解析】选A.因为an===,所以bn===4.
所以Sn=41-+-+-+…+-=4.
5.正项数列{an},a1=1,前n项和Sn满足Sn·-Sn-1·=2(n≥2),则a10= (　　)

A.72 B.80 C.90 D.82
【解析】选A.由Sn·-Sn-1·=
2(n≥2),两边同除以,得-=2;而S1=a1=1,所以=1+2(n-1)=2n-1,所以Sn=4n2-4n+1;再根据an=Sn-Sn-1,得an=8n-8,所以a10=8×10-8=72.
　　　【补偿训练】
　　已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则
|a1|+|a2|+…+|a10| 的值为 (　　)
A.61 B.62 C.65 D.67
【解析】选D.对n分情况讨论当n=1时,S1=a1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,
所以an=
由通项公式得a1<a2<0<a3<a4<…<a10,
所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=102-4×10+1-2×(-3)=67.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.数列{an}的通项公式an=ncos ,其前n项和为Sn,则S2 019等于　　　　. 
【解析】由题意知,a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=2,k∈N,故S2 019=504×2+a2 017+a2 018+a2 019=1 008+0-2 018+0=-1 010.
答案:-1 010
7.(2020·郑州高二检测)若数列{an}满足a1=12,a1+2a2+3a3+…+nan=n2an,则a2 019=　　　　. 
【解析】数列{an}满足a1=12,a1+2a2+3a3+…+nan=n2an,①
当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=
(n-1)2an-1,②
①-②得(n-1)2an-1=(n2-n)an,
所以=,…,=,
所有的式子相乘得=,所以an=(n≥2),
因为a1==12,即首项符合通项公式,
故an=,所以a2 019==.
答案:
　　　【补偿训练】
　　已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则an=　　　　. 
【解析】由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),①
当n≥2,n∈N*时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1
=(n-1)n(n+1),②
①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),
所以an=3(n+1)(n≥2,n∈N*).
又当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式,
所以an=3(n+1),n∈N*.
答案:3(n+1)(n∈N*)
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10=　　　　. 
【解析】当n=2时,S3+S1=2(S2+1),
即2a1+a2+a3 =2(a1+a2+1),
又a1=1,a2=2,解得a3=4.
当n>1,n∈N*时,
Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+2+Sn=2(Sn+1+1),
两式相减得an+2+an=2an+1,
故数列{an}从第二项起是首项为2,公差为2的等差数列,所以S10=1+2×9+×2=91.
答案:91
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.数列{an}满足an=6-(n∈N*,n≥2).
(1)求证:数列是等差数列.
(2)若a1=6,求数列{lg an}的前999项的和S.
【解析】(1)数列{an}满足,an=6-(n∈N*,n≥2),所以-=-=
=,所以数列是等差数列.
(2)因为a1=6,所以=.
由(1)知:=+=,
所以an=,所以lg an=lg 3+lg(n+1)-lg n.
所以数列{lg an}的前999项和S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 1 000-lg 999)
=999lg 3+lg 1 000=999lg 3+3.
10.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λan-1(λ为常数,n=1,2,3,…).
(1)若a3=,求λ的值;
(2)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为Sn=λan-1,
所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.由a1=λa1-1,可知λ≠1,
所以a1=,a2=,a3=.
因为a3=,所以=,
解得λ=0或λ=2.
(2)假设存在实数λ,使得数列{an}是等差数列,
则2a2=a1+a3,由(1)可得=+,
所以==+,
即=0,显然不成立,
所以不存在实数λ,使得数列{an}是等差数列.

1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N*),则S21的值为　　　　. 
【解析】将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,
由an+an+1=2n+1①,可以得到an+1+an+2=2n+3②,②-①得an+2-an=2,所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,
则a21=1+10×2=21,a20=2+9×2=20,
所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)=+=231.
答案:231
2.在如图所示的数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为an,求数列的前100项和S100.

【解析】由题意可知,第1列的数是首项为2,公差为2的等差数列,
所以第1列第n行的数为2+2(n-1)=2n,
第n行是首项为2n,公差为n的等差数列,
所以第n行第n列的数为an=2n+n(n-1)=n2+n,
所以==-,
所以数列的前100项和S100=1-+-+…+-=1-=.