2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.5.2-等比数列习题课学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.5.2 等比数列习题课学案 新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.5.2 等比数列习题课学案 新人教A版必修5

年级：
姓名：

第2课时　等比数列习题课
学习
目标
1.掌握等差数列与等比数列的综合应用.(逻辑推理、数学运算)
2.能用错位相减法求数列的前n项和.(逻辑推理、数学运算)
关键能力·合作学习
类型一　等差数列、等比数列性质的应用(逻辑推理、数学运算)

1.设Sn为正项等比数列{an}的前n项和,a5,3a3,a4成等差数列,则的值为 (　　)　　　　　　　　
A. B. C.16 D.17
2.等比数列{an}满足a3a5=4(a4-1),且a4,a6+1,a7成等差数列,则该数列的公比q为 (　　)
A. B.- C.4 D.2
3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,设其前n项和为Sn,若a1,a2+9,a3成等差数列,则S5= (　　)
A.682 B.683 C.684 D.685
【解析】1.选D.正项等比数列{an}的公比设为q,q>0,a5,3a3,a4成等差数列,可得6a3=a5+a4,即6a1q2=a1q4+a1q3,
化为q2+q-6=0,解得q=2(-3舍去),
则===1+q4=1+16=17.
2.选D.由a3a5=4(a4-1),得=4a4-4,
即(a4-2)2=0,解得a4=2.
又a4,a6+1,a7成等差数列,
所以2(a6+1)=a4+a7,即2(2q2+1)=2+2q3,
所以q=2.
3.选A.数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,公比设为q,q>0,由a1,a2+9,a3成等差数列,可得2(a2+9)=a1+a3,即2(2q+9)=2+2q2,解得q=4(-2舍去),则S5==682.

等差、等比数列性质的综合应用
(1)等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构造方程,求解基本量a1,d,q,n等;
(2)若涉及求和,一定要先分清求哪种数列的和,再明确该数列的基本量,然后计算.
【补偿训练】
1.已知等差数列{an}的公差不为零,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比数列,则= (　　)

A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】选C.设等差数列{an}的公差d不为零,S3,S9,S27成等比数列,可得=S3S27,
即有(9a1+36d)2=(3a1+3d)(27a1+351d),
化简得d=2a1,则===9.
2.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1,a3,a2成等差数列,则q= (　　)
A. B.
C. D.或
【解析】选C.等比数列{an}的各项均为正数,
即q>0,由a1,a3,a2成等差数列,
可得a3=a1+a2,即有a1q2=a1+a1q,
即有q2-q-1=0,
解得q=.
3.已知等差数列{an}的首项和公差都不为0,a1,a2,a4成等比数列,则= (　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.7
【解析】选C.由等差数列{an}的首项和公差d都不为0,a1,a2,a4成等比数列,可得=a1a4,
即有(a1+d)2=a1(a1+3d),化简得a1=d,
则===5.
类型二　错位相减法求数列的前n项和(逻辑推理、数学运算、数学建模)
【典例】已知等比数列{an}的公比q>0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
四步
内容
理解题意
条件:(1)公比q>0;(2)a2a3=8a1;(3)a4,36,2a6成等差数列;(4)bn=.
结论:(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和Tn.
思路探求
(1)利用a2a3=a1a4计算a4,进而计算a6,q,求通项.
(2)利用错位相减法求前n项和.
书写表达
(1)因为a2a3=8a1,所以a1a4=8a1,所以a4=8,又a4,36,2a6成等差数列,所以a4+2a6=72,所以a6=32,q2==4,又q>0,所以q=2,
所以an=8·2n-4=2n-1.
(2) bn===n·,Tn=1·+2·+3·+…+(n-1)·+n·,·Tn=1·+2·+3·+…+(n-1)·+n·,

两式相减得:·Tn=+++…+-n·
=-n·,
所以Tn=8-(n+2)·.
题后反思
本例在错位相减法求和时,两式相减后会得到一个等比数列,这个等比数列的基本量有哪些?利用哪个求和公式较为方便?

　关于错位相减法求和
(1)适用范围:{an}是等差数列,{bn}是等比数列(q≠1),形如cn=anbn的数列适合利用错位相减法求和;
(2)求和步骤
①对求和式Sn=c1+c2+…+cn-1+cn(i),要写出倒数第二项cn-1;
②式子的两边同乘以等比数列的公比q,写成
qSn=c1q+c2q+…+cn-1q+cnq(ii)的形式,要空一位书写,
(i)(ii)式形成错位;
③(i)式-(ii)式,左边=(1-q)Sn,右边考查除了最后一项外的其他项,利用等比数列求和公式求和、整理;
④两边同除以1-q,整理得Sn.

　(2020·全国Ⅰ卷)设是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
【解析】(1)设的公比为q,
由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.
因为a1≠0,所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.
故的公比为-2.
(2)设Sn为{nan}的前n项和.
由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.
所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,
-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.
可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=-n×(-2)n.
所以Sn=-.
类型三　等比数列Sn与an的关系(逻辑推理、数学运算)
角度1　求Sn与an的关系 
【典例】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,则Sn与an的关系是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.Sn=2an-1 B.Sn=2an+1
C.Sn=4an-3 D.Sn=4an-1
【思路导引】分别表示出Sn与an,再确定关系.
【解析】选A.设等比数列的公比为q(q>0),
由a1=1,且-a3、a2、a4成等差数列,
得2a2=a4-a3,即2q=q3-q2,得q=2.
所以Sn=,则Sn=2an-1.

　本例中的等比数列{an},若已知an=3n-1,则Sn与an的关系是什么?
【解析】Sn==an-.
角度2　Sn与an的关系的应用 
【典例】数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,an+1=3Sn,则下列关于{an}的论断中正确的是 (　　)
A.一定是等差数列
B.可能是等差数列,但不会是等比数列
C.一定是等比数列
D.可能是等比数列,但不会是等差数列
【思路导引】由Sn与an的关系,推导出an+1与an的关系,结合a1的取值进行判断.
【解析】选B.an+1=3Sn,an=3Sn-1,故an+1-an=3an,即an+1=4an(n≥2),而n=1时,a2=3S1=3a1,可知该数列不是等比数列.当an=0时,数列an为等差数列.故本题正确答案为B.

　关于等比数列Sn与an的关系
(1)Sn与an的关系可以由Sn=得到,一般已知a1,q即可得到二者之间的关系,也可以通过特殊项验证判断;
(2)Sn-Sn-1=an(n≥2)是Sn与an之间的内在联系,既可以推出项an-1,an,an+1之间的关系,也可得到Sn-1,Sn,Sn+1之间的关系,体现了Sn与an关系的本质.

1.设Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,3Sn=an+1-1,n∈N*,若ak=1 024,则k= (　　)
A.4 B.5 C.6　 D.7
【解析】选C.Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,3Sn=an+1-1,
n∈N*①,
当n≥2时3Sn-1=an-1,②
①-②得3an=an+1-an,
整理得=4(常数),当n=1时,3a1=a2-1,即=4,
所以数列{an}是以1为首项,4为公比的等比数列.
则an=1·4n-1=4n-1,
由于ak=1 024,即:4k-1=1 024,解得:k=6.
2.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则 (　　)　　　　　　
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
【解析】选D.Sn===3-2an.
3.(2020·徐州高一检测)记Sn为等差数列{an}的前n项和,满足Sn=2an+n(n∈N*).
(1)证明数列{an-1}是等比数列,并求出通项公式an.
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
【解析】(1)由Sn=2an+n,当n=1时,S1=2a1+1,得a1=-1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+(n-1),
两式作差可得:an=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1,
所以an-1=2(an-1-1).
所以数列{an-1}是以a1-1=-2为首项,以2为公比的等比数列,所以an-1=-2·2n-1=-2n,an=1-2n.
(2)根据题意,Tn=1(1-2)+2(1-22)+…+n(1-2n)=1+2+…+n-(1·2+2·22+…+n·2n)
设An=1·2+2·22+…+2·2n,
2An=1·22+2·23+…+n·2n+1,两式作差化简得An=(n-1)2n+1+2,
所以Tn=-(n-1)2n+1.
课堂检测·素养达标
1.已知数列{an}为等差数列,且,2,成等比数列,则{an}前6项的和为 (　　)

A.15 B. C.6 D.3
【解析】选C.设数列{an}为公差为d的等差数列,且,2,成等比数列,
可得4=·=,可得a1+a6=2,
即有{an}前6项的和为×6(a1+a6)=6.
2.等比数列{an}中,满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,则数列{an}的公比为 (　　)
A.1 B.2 C.-2 D.4
【解析】选B.等比数列{an}的公比设为q,
满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,
可得2(a2+1)=a1+a3,
即为2(2q+1)=2+2q2,解得q=2(0舍去).
3.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　　　. 
【解析】因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=2a1+1,
解得a1=-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),
所以an=2an-1,
所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,
所以an=-2n-1,所以S6==-63.
答案:-63
4.(教材二次开发:练习改编)数列,,,,…的前10项的和S10=　　　　. 
【解析】S10=+++…++,
则S10=++…++.
两式相减得,S10=+++…+-=-,
所以S10=.
答案:
5.求和:++++…+.
【解析】设Sn=++++…+
=++++…++,①
则Sn=+++…++.②
①-②,得Sn=++++…+-
=+++…+-
=+-=--
=-,
所以Sn=3-.
【新情境·新思维】
　对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若{an}的“差数列”是首项为,公比为的等比数列,若a1=1,则a2 020=　　　　. 
【解析】根据题意,an+1-an=,
则a2 020=(a2 020-a2 019)+(a2 019-a2 018)+…
+(a2-a1)+a1=++……++1
=2-.
答案:2-