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基于几何光学原理的一般三棱镜入射点D的研究.pdf
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1、第 卷第期 年月太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)J OUR NA LO FT A I YUANN O RMA LUN I V E R S I T Y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l N o J u n 收稿日期:基金项目:国家自然科学基金()作者简介:顾菊观(),男,浙江嘉兴人,本科,教授,从事激光光学、光学教学与实验研究通信作者:顾菊观,教授,E m a i l:g j g z j h u e d u c n 基于几何光学原理的一般三棱镜入射点D的研究顾菊观,周天佑,邱培镇,殷术千,曹炳松,潘叶敏,俞轶帆(湖州师范学院
2、理学院,浙江 湖州 )摘要基于几何光学原理分析研究一般三棱镜的入射点D,得到入射点D与距离B D、折射率、入射角、棱镜角之间的关系,应用M a t l a b得到对应的关系曲线,应用V i s i o得到光线传播轨迹研究得到要观察到实验所需的出射光线时,入射点D、折射率、入射角、棱镜角都要满足一定要求,为实验选择棱镜及实验环境提供理论参考,拓展丰富教学和实验内容 关键词一般三棱镜;入射角;入射点;出射光线 文章编号 ()中图分类号O 文献标识码A 引言三棱镜是光学教学中双平面折射的典型内容和实验室常用的实验器材,文献 研究和阐述的都是空气中等边三棱镜的情况,没有讨论A C面发生全反射的情况,也
3、没有讨论特殊的入射角和入射点情况文献从理论上详细研究了一般三棱镜满足文献所定义的出射光线和偏向角的情况下最小入射角、棱镜最大顶角与折射率的关系,折射率所需满足的条件;文献 只讨论了空气中三棱镜A C面发生全反射时A B面入射点的选择和影响因素以及没有分析顶角和底角的要求等;文献 研究了空气中等边三棱镜要在A C面得到出射光线,A B面的最小入射角及影响因素,对于一般三棱镜和两侧折射率不同的最小入射角没有进一步研究本文从光学原理出发,理论上研究了入射点D及B D的关系式,并应用M a t l a b和V i s i o从关系曲线和光线轨迹图象分析入射点D及B D的大小和影响因素本文为探究一般三棱
4、镜提供了一种参考和有效的研究方法,为教学和实验提供了理论依据和参考 理论分析 入射点确定如图所示,在一般三棱镜A B C的A B面上,D处光线以入射角i入射,A B面折射光线恰好通过C点且出射光线从A C面出射入射点D在A D内,才能在A C面找到文献所定义的出射光线入射点D在B D内,折射光线总是会入射到B C面,在A C面找不到所需的出射光线;只有当B C面的入射角大于此面的临界角时,全反射的光线能入射到A C面并从A C面出射,但出射光线不是文献所定义的出射光线,舍去此光线(即避免此种情况出现)如图所示,在D点处,若以入射角iii m i n(i是使A C面的出射光线刚好沿A C面出射的
5、入射临界角)入射,A B面折射光线也恰好通过C点并出射光线沿A C面出射(如图所示),入射角不变时入射点不同的分析同图的情况;入射光以ii入射,则折射光线必然入射到B C面上,不能直接到达A C面,找不到文献所定义的出射光线,不符合实验要求;当入射光以ii入射,出射光线从A C面出射,出射光线满足文献所定义的出射光线如图,设B Ca,B Dc,当出射光线沿A C面出射时,对应的出射角i,根据折射定律:%OOO%irriirrr#rii$图出射光线从A C面出射(i)%#$JJJJJJ%&SSSOr#rJcrJcOOO%图出射光线沿A C面出射(i)ns i nrns i ni,s i nr
6、nns i ni,ra r c s i nnns i ni()ns i nins i nr,s i nrnns i ni,ra r c s i nnns i ni()文献 要求nnn,且由几何关系可知:rrA()在三角形 B C D中得:B C DC A C DCrABrABrABArBr,或B C DBrBr()由正弦定理可知:s i n B C DB Ds i nBrB Ds i nrB C()c o s(Br)cc o sra()由式()和()得:cac o s(Br)c o sr()cac o s(Br)c o sra(c o sBs i nBt a nr)a(c o sBs i nB
7、t a n(a r c s i n(nns i ni)()式()说明,给定棱镜和折射率,给定入射角i,则r也确定,对应的入射点D与角B有关;给定B和折射率,对应的入射点D与入射角有关;给定入射角i和B角,对应的入射点D与折射率有关由式()知,B 时(相当于平行平板面),对应的B Dc m a xa为最大值B 时,cat a na r c s i nnns i ni 式()也可表示为:cac o sBs i nBns i ninc o sa r c s i nnns i ni()太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)第 卷式()表示的是B Dc与折射率n、n、B角、入射角i的关系,与棱镜顶
8、角A无关,与()式一致当BC,且nn棱镜为等腰三角形时,有BA,cas i nAc o sAs i ninc o sa r c s i nns i ni()式()结果与文献 中出射角i 时得出的结论一致讨论:当B Dc时,对应的底角B值a(c o sBs i nBt a nr),t a nBt a nr,Ba r c t a nt a nr()式()表明B Dc时,B角的大小只与A B面的折射角有关,即与折射率、入射角(n,n,i)有关讨论:A B面上D点对应的最小入射角ii m i ni入射角大于最小入射角i m i ni时对应A C面出射角小于,A C面有满足文献要求的光线出射入射角小于最
9、小入射角i m i ni时在A C面发生全反射,A C面没有出射光线由文献 得:i m i na r c s i nnnns i nAnc o sA()()式()说明最小入射角i m i n与B角无关,只与折射率n,n,n、棱镜顶角A有关将()式对应的入射角代入到()式,可得:c ac o sBs i nB(nns i nAnc o sA)nc o sa r c s i nnns i nAnc o sAn()式()说明给定棱镜的折射率n、n、n及棱镜角A、B、B Dc 是指A C面出射光线的出射角为i 时,A B面上最小入射角的入射点对应的B Dc 的大小讨论:最大B角要避免B C边的全反射光
10、线到达A C面,对于棱镜角B有要求对于给定棱镜顶角A,入射角i,折射率n、n、n、n、rB大于临界角rB时,B C面有全反射光线到达A C面,经A C面折射在A C面观察到出射光线,但不符合文献所定义的出射光线rB小于临界角rB时,在B D内的入射光线经A B面折射到达B C面,经B C面折射出B C面,没有到达A C面的光线因此,对应的B有一最大值Bm a xrB B DEB,rBrB,rBBr()ns i nrBns i n s i n ,rBa r c s i nn()s i nrBns i n(Bm a xr),Bm a xra r c s i nnBm a xa r c s i nn
11、r()折射定律ra r c s i nns i nin代入()得到:Bm a xa r c s i nnra r c s i n(n)a r c s i n(ns i nin)()由文献 可知,最大顶角Am a x满足一下关系式:Am a xa r c c o s(nn)(nn)nnn()B D的最小值及条件由()式对B求导得:一次导数为:dcdBa(s i nB c o sBt a n(r)()第期顾菊观,等:基于几何光学原理的一般三棱镜入射点D的研究二次导数为:dcdBa(c o sB s i nBt a n(r)()当一次导数为时:dcdBa(s i nBc o sBt a n(r)t
12、a nBt a n(r)t a n(r)Br()由r,B,c o sB,s i nB,t a n(r)得()式满足:dcdBa(c o sBs i nBt a n(r)()因此,当Br时,对应式()的B Dc有极小值B Dc m i n:c m i na(c o s(r)s i n(r)t a nr)a(c o srs i nrt a nr)()式()表明,B Dc m i n只与A B面的折射角有关,即与折射率、入射角(n,n,i)有关式()知,B角对应的B Dc m i n总是小于,即给定B角情况下,A B面上D点找不到和不存在 c与B的关系曲线 给定折射率,改变入射角图中的c,c m i
13、 n以及对应的B是由M a t l a b程序自动计算得到的,i m i n、Am a x、Bm a x是 由()、()和()式计算得到的,入射角、折射角是已知一个值后通过折射定律计算得到的(以下图中的值同样方法得到,不再说明)由图(a)(d)知:n,n ,n,ABC ,i 时,cB D,对应的B ,取B 得cB D;对应的cB D c m,图中A B面能找到D点关系曲线与光线轨迹相一致由图(c)(e)知:n,n ,n,ABC ,i 时,cB D,对应的B ,取B 得cB D;对应的cB D c m,图中A B面不存在D点关系曲线与光线轨迹相一致由图(a)(b)(c)知,给定折射率n,n ,n
14、,cB D与B的关系是非线性的随入射角i的增大,最大棱镜顶角Am a x 保持不变;最大值底角Bm a x减小,cB D对应的底角B减小,B 对应的cB D值减小;c m i n绝对值增大,对应的底角B减小其曲线与理论分析相一致c m i n总是小于,说明不论条件如何,都不可能在给定的A B面上找到此时的D点 给定入射角,改变折射率由图(c)和图(a)知,给定入射角i,两侧折射率不变,随棱镜折射率n减小,最大棱镜顶角Am a x增大;最大值底角Bm a x增大,cB D对应的底角B减小,B 对应的cB D值减小;c m i n绝对值增大,对应的底角B减小由图(c)和图(b)知,给定入射角i,棱
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