振动理论第二章习题解答讲解.doc

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第二章习题
2—1 一重块，支承在平台上，如题2-1图所示。重块下联结两个弹簧，其刚度均为。在图示位置时，每个弹簧已有初压力。设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？

W

k k

题2—1图
解答：由题可知：弹簧在初始时的形变
设重块将下落h m，则：

于是：
2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d，剪切弹性摸量为 G，两端固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为。
解：　以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程
　　惯性力矩：
恢复力矩：　　
由动静法得

因此

2-4 一均质等直杆AB，重为W，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。线长为，
两线相距为。试推导AB杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出
其固有频率。
a
a

A
B
W
b
b

F
T
T

解：AB杆绕重心摆动，则：

2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N·c㎡，跨度为L=4m，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度K=5kN/cm，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。

(a)

(b)
解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度

（a） 图可以看作弹簧和杆的并联

弹簧质量系统的固有频率
已知EI=2E10 N·c㎡, K=5kN/cm, W=4kN
代入数据得
（b） 图可以看作弹簧和杆的串联
所以
代入数据得
2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。试求系统的相对阻尼系数。
【解】 由（2-33）式得

两端取对数，得
则：
2—10 列出题2—10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动频率。解：系统运动时的受力如上所示
由动静法原理可得：

令 ，
则 ，
振动频率：

2—11如题2—1图所示轴承，轴的直径剪切弹性模量。圆盘饶对称轴的转动惯量为··,并在(kN·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。

2-11
解：惯性力矩
恢复力矩
微分方程
所以，振幅
已知 ，，··,
代入数据得
2—12 已知一弹簧系统，质量块重，弹簧刚度，作用在质量块上的力为，而受阻力为。的单位均为，的单位为的单位为。求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2）考虑阻力时，质量块的位移和放大因子。
解： 系统运动方程为：
系统的稳态响应：

其中：

忽略阻力时，即， 则
放大因子：
则系统的响应为：
（2）考虑阻力时，则：
放大因子：

则系统的响应为：
2—13 一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为，弹簧刚度为，黏性阻尼系数。求在外力作用下的振幅和相位角。
解答：由题可知：
；
由于
则

2---14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件， ==0和质量块上受有
=时的响应。
解：阻尼较小时，即，系统响应为

其中，
代入初始条件 ==0，解得

因此，系统响应为
2—15 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg，
弹簧的总刚度k=700N/cm。电动机轴上有一偏心质量为1kg，偏心距离e=10cm，电机转
速n=2000r/min，求平台的振幅。
解：由公式得
=
该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为：

式中，
圆频率 （）
频率比
设稳态响应则，
由公式得，（）

2-17 写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解。

题2-17图
解：系统运动微分方程为：
方程的解可表示为：
其中为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：
将及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：
令 ，则 ， ，从而得
于是得系统的稳态响应为：
相应地求得相位角：
2-20 试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。

解：
得
；；
则 方程转化为
，

2-21 一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。试求其稳定振动的响应。

x
π/ω0 2π/ω0 3π/ω0 4π/ω0 y
1

0

-1
解：先将分解为各简谐激励，并计算傅立叶系数
由图可知，激励的均值

系统的响应为

2—22 一弹簧质量系统如题2—22图所示的激振里作用下作强迫振动。试求其稳态振动的响应。
F

解：周期T=

F（t）=
由图知：
2—23.求如图所示的弹簧质量系统,支承出突然向上按ｘ运动的响应
xs
a
0
t
m
k
xs

解：为支承运动，，用杜哈美积分

系统无阻尼，故，

解得

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