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工程问题

教学目标

1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；
2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；
3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；
4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．

知识精讲

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一． 工程问题的基本概念
定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1”
工作效率：单位时间内完成的工作量
三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间，
工作时间=工作总量÷工作效率；
二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：
① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；
② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；
③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；
④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．
三、利用常见的数学思想方法：
如代换法、比例法、列表法、方程法等
抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

例题精讲

模块一、工程问题基本题型

【例 1】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要天时间，乙单独做需要天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？
【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，两人合作每天能完成总量的，所以两人合作的话，需要天能够完成．

【例 2】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？
【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独做天能完成．

【巩固】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？
【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，乙单独做每天能完成总量的，所以乙单独做28天能完成．

【例 3】 （难度等级 ※※）甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?
【解析】 乙单独加工，每小时加工 甲调出后，剩下工作乙需做时所以乙每小时加工零件(个)，则小时加工(个)，所以乙一共加工零件420+60＝480(个)．

【巩固】 （难度等级 ※※）一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
【解析】 共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天，　现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。　如果甲独做，所需时间是天如果乙独做，所需时间是天；甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

【巩固】 （难度等级 ※※）某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
【解析】 先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的，甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做天因此，乙还要做28+28= 56 （天），乙还需要做 56天.

【例 4】 （难度等级 ※※）一项工程，甲、乙合作需要天完成，乙、丙合作需要天完成，由乙单独做需要天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【解析】 如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出： 甲乙， 乙丙， 乙因此不难得到丙的工作效率为，因此三个人的工作效率之和为，也就是说，三个人合作需要12天可以完成。
本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．

【巩固】 （难度等级 ※※）一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【解析】 法一：和上题类似，我们可以有：甲乙， 乙丙， 丙不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为，
即甲丙合作12天能完成。
法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得到“甲 +丙”的值呢？
不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：，也就是说：，所以甲丙合作天能完成。

【巩固】 （难度等级 ※※）一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
【解析】 设这件工作的工作量是1。甲乙两人合作每天完成，甲丙两人合作每天完成，乙丙两人合作每天完成，甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成，甲独做需要天　答：甲一人独做需要90天完成.
【巩固】 （难度等级 ※※）一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?
【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、、.对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．即+－=，甲、丁合作的工作效率为．所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．

【巩固】 （难度等级 ※※）一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?
【解析】 方法一：对于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+－=为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率为．而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为－＝那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷=48天。
方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋＋＝，所以(甲，乙，丙)=÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．那么丙单独工作的工作效率为－＝，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．

【例 5】 （难度等级 ※※※）一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？
【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为，所以乙的工作效率为：，所以整池水由乙管单独灌水，需要（小时）．

【例 6】 （难度等级 ※※※）(2007年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放　　 小时．
【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所以，乙开放的时间为(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时．

【例 7】 （难度等级 ※※※）一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
【解析】 先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

【例 8】 （难度等级 ※※※※）有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五入到个位)
【解析】 设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5=20，B池容量为6×5=30．当用5根进水管给B池灌水时需30÷5=6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20=10，因此漏水的工效为(1)用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需 (2)设A池需根，那么B池需14根，有所以有化简解得所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为：
①当A池用7根进水管时：A：7根水管，需时间小时=225分钟；B：7根水管，需时间小时257分钟．此时要把两个水池注满最少需要257分钟；
②当A池用6根进水管时：A：6根水管，需时间小时277分钟；B：8根水管，需时间30÷8=小时=225分钟．此时要把两个水池注满最少需要277分钟．所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池．

【例 9】 （难度等级 ※※※）甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？
【解析】 法一：
先求出甲、乙相遇的时间：小时；
甲清扫全长的，乙清扫了全部的；所以东、西两城相距千米．
法二：
因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是，
甲行了全程的，乙行了全程的，全程就是千米．

【例 10】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲单独完成需要天，乙单独完成需要天．若甲先做若干天后乙接着做，共用天完成，问甲做了几天？
【解析】 根据题意可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，采用鸡兔同笼问题的假设法，可知甲做了天．

【巩固】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？
【解析】 方法一：甲的工作效率为，甲队8天的工作量为，所以乙队15天的工作量为，乙的工作效率为，所以乙队单独完成这项工作需要天
方法二：此题可以用代换法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率为甲的，乙独做的时间为（天）。

【例 11】 （难度等级 ※※※）（2009年十三分小升初入学测试题）一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？
【解析】 法一：在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的，还有是甲做的，所以甲干了（天），休息了（天）．
法二：假设中间甲没有休息，则两人合作27天，应完成全部工程的，超过了单位“1”的，则甲休息了（天）．

【巩固】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成．甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了天．乙请假多少天？
【解析】 法一：甲一共干了天，完成了全部工程的，还有是乙做的，所以乙干了(天)，休息了(天)，请假天数为：(天)．
法二：假设乙没有请假，则两人合作天，应完成全部工程的，超过了单位“1”的，则乙请假(天)．

【巩固】 （难度等级 ※※※）有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?
【解析】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为 6天完成的工程量为 ，而实际6天完成了的工程量为1，即甲队少做了，甲队完成超过单位“1”，甲没有干的天数：，(天)，即当甲队撤出后，乙、丙两队又合修了6-1=5天．

【例 12】 （难度等级 ※※※）(2007年十一学校考题)有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成．现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天．那么丙休息了 天．
【解析】 设甲、乙工作了天，丙工作了天，则有：，化简得．由于和720都是15的倍数，所以也是15的倍数，而，所以，，所以丙休息了天．

【例 13】 （难度等级 ※※※）一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
【解析】 解法一：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天），甲做1天，完成工作量的，乙就完成工作量的，丙就完成工作量的。共完成。天说明甲做了2天，乙做了6天，丙做了12天，三人共做了20天，完成这项工作用了20天.
解法二：本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了天。

【例 14】 (2007年人大附中考题)一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要 天．
【解析】 设1个人做1天的量为1，设原来有人在做这项工程，得：，解得：．如果调走2人，需要(天)．

模块二、工程问题——变速问题

【例 15】 （难度等级 ※※※）甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？
【解析】 开始时甲队拿到元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为；甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为．设甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需天才能完成任务．有，化简为，解得．工程总量为，所以原计划天完成．

【例 16】 （难度等级 ※※※※）(人大附中考题)甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高．甲、乙两人合作小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？
【解析】 乙的工作效率是：，甲的工作效率是：，所以，单独由甲做需要：(小时)．

【例 17】 （难度等级 ※※※※）（2009年四中小升初入学测试题、2009年第七届“希望杯”六年级第2试）甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？
【解析】 法一：直接求
首先求出甲的工作效率，甲个小时完成了米的工作量，因此每分钟完成（米），开始的时候甲的速度比乙快，也就是说乙开始每分钟完成为（米），换工具之后，工作效率提高一倍，因此每分钟完成（米），问题就变成了，乙分钟扫完了米的雪，前若干分钟每分钟完成米，换工具之后的时间每分钟完成了米，求换工具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫米，那么分钟应该能扫（米），比实际少了（米），这是因为换工具后每分钟多扫了（米），因此换工具后的工作时间为（分钟）.
法二：其实这个问题当中的米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为，甲比他快，甲每分钟可以清理，分钟之后，甲一共清理了份的工作量，乙和他的工作总量相同，也是份，但是乙之前的工作效率为，换工具后的工作效率为，和（法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了分钟。

【例 18】 （难度等级 ※※※※）（2009年十三分小升初入学测试题）甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？
【解析】 当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个，这时乙比甲少完成40个；
当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个；
所以在后来的小时内，乙比甲多完成了个，那么乙比甲每小时多完成个．所以提高工效后乙每小时完成个．

【例 19】 （难度等级 ※※※※）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？
【解析】 在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高；在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高．由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天．
方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会继续出现。

【例 20】 （难度等级 ※※※※）一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的，乙只能完成原来的．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天?
【解析】 因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由甲单独完成．现设两人合作天，则甲单独做8-天，于是得到方程(×80％+×90％) ×+×(8-)=l，解出=5.所以，在满足条件下，两人至少要合作5天．
【例 21】 （难度等级 ※※※※）一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土?
【解析】 甲、乙合作时工作效率为(+)×(1+20%)=．则的工程量需÷= (天)，则遇到地下水后，甲、乙两队又工作了10-=(天)．则此时甲、乙合作的工作效率为÷=．遇到地下水前后工作效率的差为: -=，则总工作量为47.25÷=1100方土.

【例 22】 （难度等级 ※※※※）（2009年第七届“希望杯”六年级第1试）甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是 天．
【解析】 在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为和，甲队比乙队的工作效率高；
在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为和，乙队的工作效率比甲队高．由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间，晴天与雨天的天数比为．
如果有8个晴天，则甲共完成工程的，而实际的工程量为1，所以在施工期间，共有个晴天，个雨天．

模块三、工程问题方法与技巧
（一）整体分析法

【例 23】 （难度等级 ※※※）甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成，若甲队先挖天后，再由乙队单独挖天，共挖了这条水渠的．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？
【解析】 法一：甲、乙合作完成工程的需要：(天)．甲队先做天，比合作少了(天)；乙队后做天，比合作多了(天)，所以甲队做天相当于乙队做天，甲、乙两队工作效率的比是．甲队单独工作需要：(天)；乙队单独工作需要：(天)。
法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的，而题目中给定的“甲队先挖天，再由乙队单独挖天”，相当于甲乙两队先合作天，然后再由乙队单独挖天，于是两队合作天，可以完成工程的，也就是说乙队天挖了，于是乙队的工作效率为，那么甲队的工作效率就是，即甲队单独做需要天，乙队单独做需要天。工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系．其实这一点是与工程习惯无关的．

【例 24】 （难度等级 ※※※）（2008年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第二试，第8题）甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的，乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的，丙生产了50个。这批玩具共有_________________个.
【解析】 如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系，可能会略显复杂，我们需要引入一个中间量：甲乙丙三人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的，则总和为，甲占了份，甲占了总数的；乙是甲丙和的，同理可知乙占了总数的，那么可知丙生产的玩具占总数的，所以总数是（个）.

【例 25】 （难度等级 ※※※）(2008年实验中学考题)几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？
【解析】 有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地的草(甲地草的)，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草，每人每天割草为，全部的草为甲地草的，，所以共有20名学生．

【巩固】 （难度等级 ※※※）一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的倍，下午这批工人中有的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需名工人再做天，那么这批工人有多少人？
【解析】 根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有人．
那么上午有人在甲工地，有人在乙工地；下午有人在甲工地，有人在乙工地．所以甲工地相当于人做了一整天；乙工地相当于人做了一整天．
由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量是2份．人做一整天完成3份，那么人做一整天完成份，所以乙工地还剩下份．这份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要人做一整天，即，可得，那么这批工人有(人)．

【例 26】 （难度等级 ※※※）（2009年第七届“希望杯”六年级第2试）有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲 小时，帮乙 小时．
【解析】 整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们完成工作的总时间为小时．在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过．甲完成的工作量是，所以丙帮甲搬了的货物，丙帮甲做的时间为小时，那么丙帮乙做的时间为小时．

【巩固】 （难度等级 ※※※）搬运一个仓库的货物，甲需小时，乙需小时，丙需小时．有同样的仓库和，甲在仓库，乙在仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？
【解析】 甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：小时，丙帮助甲搬运了小时，丙帮助乙搬运了小时．

【例 27】 （难度等级 ※※※※）甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天．现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？
【解析】 这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设工程的工作总量为单位“1”，那么工程的工作量就是“”，那么这个问题就和例联系到了一起了。
三队合作完成两项工程所用的天数为：天。天里，乙队一直在完成工作，因此乙的工作量为，剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在工程上用了天也就是说两队合作了天。
解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率工作时间工作总量，表示出各个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率．

【例 28】 （难度等级 ※※※※）甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在仓库，乙在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在仓库搬了多长时间？
【解析】 因为、两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作，那么8小时可以搬完．因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是，所以甲每小时可以完成大仓库工作量的，丙每小时可以完成大仓库工作量的．那么甲16小时完成了仓库的，丙在仓库搬了小时．

【例 29】 （难度等级 ※※※※）一项工程，乙单独做要天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？
【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为和，那么，所以，乙单独做要用天，甲的工作效率是乙的倍，所以甲单独做需要天．

【例 30】 （难度等级 ※※※※）一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？
【解析】 ① 若甲、乙两人合作共需多少小时？
（小时）．
②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？
．
③余下的由甲独做需要多少小时？
（小时）．
④共用了多少小时？
（小时）．
在工程问题中，转换条件是常用手法．本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时．这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．

【巩固】 （难度等级 ※※※※）一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？
【解析】 甲小时完成整个工程的，乙小时完成整个工程的，交替干活时两个小时完成整个工程的，甲、乙各干小时后完成整个工程的，还剩下，甲再干小时完成整个工程的，还剩下，乙花小时即分钟即可完成．所以需要小时分钟来完成整个工程．

【巩固】 （难度等级 ※※※※）规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？
【解析】 根据题意，有：，可知，甲做小时与乙做小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量．
所以，乙单独工作需要小时．

【巩固】 （难度等级 ※※※※）蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需小时；排光一池水，单开排水管需小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)
【解析】 法一：
小时排水比小时进水多，，说明排水开了小时后（实际加上进水3小时，已经过去小时了），水池还剩一池子水的，
再过小时，水池里的水为一池子水的，
把这些水排完需要小时，不到1小时，
所以共需要 小时小时分．
法二：
小时排水比小时进水多，，
说明小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的，
排一池子需要小时，排一池子水的需要小时，
所以实际需要小时小时分．

【巩固】 （难度等级 ※※※※）一项工程，甲、乙合作小时可以完成，若第小时甲做，第小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第小时乙做，第小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？
【解析】 若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同，不会多小时，与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法中最后小时是甲做的，而这小时之前的一小时是乙做的，所以乙甲甲，得乙甲．甲、乙工作效率之和为：，甲的工作效率为：，
所以甲单独做的时间为(小时)．

【例 31】 （难度等级 ※※※※）甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多．甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么，丙队与乙队合作了多少天?
【解析】 设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工程总量为，A、B两项工程的工程总量为1+=．而甲、乙、丙合作时的工作效率为++=，甲、乙、丙始终在同时工作，所以两项工程同时完成时所需的时间为÷=18(天)．在这18天，乙完成18×=的工程量，则B工程中剩下的-=的工程量是由丙帮助完成，即÷=15(天)．即丙队与乙队合作了15天．

【例 32】 （难度等级 ※※※※※）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需小时，单开丙管需要小时，要排光一池水，单开乙管需要小时，单开丁管需要小时，现在池内有的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开小时，问多少时间后水开始溢出水池？
【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开小时可进水：，循环次后水池还空：，的工作量由甲管注水需要：(小时)，所以经过小时后水开始溢出水池．

【例 33】 （难度等级 ※※※※※）一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成．现在甲先做小时，然后乙做小时，再由甲做小时，接着乙做小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？
【解析】 甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：，，
此时剩下的工作量为．还需甲做(小时)，
所以共需(小时)．

【例 34】 （难度等级 ※※※※※）甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？
【解析】 首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成．如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、丙的顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完成，这样有，可得；而按丙、甲、乙的顺序去做，最后由乙做了半天来完成，这样有，可得．那么，即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合．所以按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天是由甲完成的．那么有，可得，．这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用天．

【例 35】 （难度等级 ※※※※※）甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天．已知甲单独完成这件工作需天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？
【解析】 以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．容易知道，第一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期天，第二种可能是完整周期天．如果是第一种可能，有，得．然而此时甲、乙、丙的效率和为，经过4个周期后完成，还剩下，而甲每天完成，所以剩下的不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立．
再看第二种可能：

完整周期
不完整周期
完成总工程量
第一种情况
个周期
甲1天，乙1天
“1”
第二种情况
个周期
乙1天，丙1天，甲天
“1”
第三种情况
个周期
丙1天，甲1天，乙天
“1”
可得，所以，．因为甲单独做需天，所以工作效率为，于是乙的工作效率为，丙的工作效率为．
于是，一个周期内他们完成的工程量为．则需个完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成．所以第二种可能是符合题意的．于是，根据第二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是，所以三人合作完成工作需要天．

（二）等量代