基于问题导向的高中数学概念教学——以“三角函数的概念”为例.pdf

年 月 日 第 期数学版:/.基于问题导向的高中数学概念教学 以“三角函数的概念”为例肖巧玲(漳州市第二中学 福建 漳州)摘 要:数学概念教学是数学教学中的重要环节以问题为导向让学生主动参与到概念的生成过程掌握研究数学对象的一般方法培养学生的“四基”“四能”领悟基本思想发展学科核心素养.关键词:核心素养概念教学问题导向基金项目:福建省教育科学“十四五”规划 年度课题“基于双减政策的高中物理大作业设计研究”(项目编号:).作者简介:肖巧玲()女福建华安人本科中学一级教师研究方向:高中数学教学研究.在数学教学中概念的教学往往是比较困难的而学好数学概念是学生真正掌握数学知识的基础所以概念教学的重要性不言而喻.随着新课改的深入新教材更加注重情景教学使得概念教学变得更加丰富多彩也更加关注学生对于数学概念的生成过程.以人教 版为例任意角的三角函数的概念直接从现实生活中的典型周期现象入手分析现有的函数模型都无法刻画这类周期现象引导学生通过分析圆上的点 在圆周上运动时与哪些因素有关从而将问题转化为圆心角 的大小与点 的位置之间的关系.让学生经历从事实到概念的数学抽象过程将匀速圆周运动化归为单位圆上点的运动规律的刻画进一步建构三角函数的概念.学情分析.学生认知基础分析学生对周期现象的认识在其他学科的学习过程中也有涉及如物理中的圆周运动、简谐振动和交变电流等地理中的季节交替、潮汐变化等生物中的动植物生长规律等这些都可以作为学生学习三角函数的认知基础.初中平面几何中对圆的性质(中心对称、轴对称、旋转对称等)的研究、相似形的有关知识的学习以及平面几何学习过程中所蕴含的思想方法等为三角函数知识的学习提供了很好的思路.在学习三角函数之前学生已经学过了函数的一般概念、幂函数、指数函数和对数函数掌握了研究函数的一般路径和方法培养了一般性思考问题的习惯:构建研究路径抽象概念从定义出发研究函数的性质建立数学模型解决实际问题等在学习过程中积累了一定的数学思想方法和数学活动经验.这些数学知识的积累作为三角函数的认知基础对于学生来说已经相当丰富.学生认知困难分析以往所学函数的对应关系都是基于代数运算规律而三角函数体现的是几何量之间的对应即角与有向线段之间的对应其函数值并不是通过对角 进行代数运算得到这样的对应关系对于学生而言是一个新的学习情境也是学习的难点.因此在讲授“对应关系”知识的过程中要打破学生的思维定势采用从特殊到一般的教学策略帮助学生从本质上认识对应关系.问题设计.创设情境提出问题问题“日出日落三百六周而复始从头来”“离离原上草一岁一枯荣”自然界中存在着很多按照一定的规律出现的现象称之为“周期现象”.生活中有哪些运动具有周期性呢?设计意图通过设置情境将古诗引入数学课堂弘扬中华传统文化实现学科融合.引出匀速圆周运动直奔主题.归纳抽象构建概念问题 我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型之一比如匀速直线运动可以用一次函数来描述自由落体运动可以用二次函数来描述指数函数和对数函数分别可以用来描述指数爆炸、对数增长的数学模型.那么具有周期性的匀速圆周运动可以用什么函数模型来描述(如图)?数学版 年 月 日 第 期 .追问 根据已有的研究函数的经验我们如何研究上述问题?追问 如图 请同学们结合几何画板注意观察点 在运动的过程中有哪些变量?追问 变量之间有怎样的关系?设计意图 提出本节课的研究主题引导学生明确研究路径:研究背景 对应关系 定义 性质为接下来的研究指明方向.问题 由于不知道角 是多少根据之前的研究经验我们可以怎么做?追问 如果 如何求点 的坐标?(如图)追问 求点 的坐标要用到什么知识?追问 求点 的坐标的步骤是什么?追问 所求点 的坐标是唯一的吗?追问 能否利用上述经验分别求出 或时对应的点 的坐标?(如图、图)设计意图 根据学生的认知规律从特殊角的三角函数进行引导结合初中所学的直角三角形边角关系将 与 建立联系确认点 的横坐标 和纵坐标 都是角 的函数培养学生将复杂问题简单化的研究方法.问题 任意给定一个角 观察它的终边 与单位圆交点 的坐标你有什么发现?追问 对于 中的任意一个角 它的终边与单位圆交点坐标是唯一确定的吗?追问 如何刻画角 与点 的坐标之间的这种对应关系?追问 这种对应关系满足函数的定义吗?追问 我们从直角三角形中的三角函数名称得到启发可以如何给这类函数规定名称和记号?追问 点 的纵坐标与横坐标的比值也是角 的函数吗?追问 根据函数的常用符号我们可以怎样表示三角函数?设计意图 通过对应关系的深入分析从特殊到一般引导学生构建函数意义下的任意角的三角函数概念明确任意角集合中的元素与单位圆上点的坐标的集合之间是如何对应的让学生学会用数学的语言描述客观世界中的数学模型并且会用数学的符号语言简洁地表示数学模型培养学生的数学建模素养和数学抽象素养.定义辨析内化概念问题 你能说一说三角函数的定义域、对应关系和值域吗?追问 正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系分别是什么?追问 为什么正弦函数和余弦函数的定义域都是?而正切函数的定义域是?追问 在定义域内三角函数的函数值都是唯一确定的吗?追问 三角函数的符号分别表示什么?在以往的学习中是否有过类似的引入特定符号表示一种量的经历?设计意图 概括任意角三角函数的定义引导学生找出三角函数的定义域和值域明确三角函数的“三要素”掌握三角函数概念的内涵和本质.引导学生类比已有知识(引入符号 表示 中的)理解三角函数符号的意义.培养学生数形结合、归纳类比的数学思想方法提升逻辑推理的素养.问题 任意角的三角函数与锐角三角函数有什么联系?追问 锐角三角函数的定义是什么?是以什么为自变量?以什么为函数值的?追问 设()怎么求出 的值?步骤是什么?追问 如果用本节课所学的三角函数定义如何求得?追问 两种方法求得的正弦值相等吗?追问 对于余弦函数和正切函数是否也有上述 年 月 日 第 期数学版:/.相同结论?追问 锐角三角函数值都是正数而任意角的三角函数值可以是负数.你能说一说三角函数取负数有什么现实意义吗?设计意图引导学生探索任意角三角函数与锐角三角函数之间的关系将新旧知识有效融合通过比较加深对任意角三角函数概念的理解.培养学生的逻辑思维和推理能力也为解决问题 做好准备.同时让学生明白三角函数值可以取负数不仅有数学意义而且有现实意义比如物理中简谐运动的位移变化交变电流变化等.运用新知强化概念问题 你能求出的正弦、余弦和正切值吗?(如图)追问 的终边在哪里?追问 如何求出点 的坐标?追问 你能从定义出发总结求三角函数值的基本步骤吗?例题 利用三角函数定义分别求 的三个三角函数值.变式 当 时求出使得 的 的值.设计意图 通过例题和变式强化对概念的理解和运用检验学生对定义的掌握情况提高学生分析问题和解决问题的能力培养运算素养体会数形结合的思想方法.总结利用定义求三角函数值的基本步骤:画终边、求交点、算比值(正切函数)、用定义.问题 设 是一个任意角它的终边上任意一点(不与原点 重合)的坐标为()点 与原点的距离为.求证:.追问 能否根据三角函数的定义作图表示 与?追问 如何求出角 的终边与单位圆交点 的坐标?追问 如何建立点()与点()之间的联系?(如图)追问 上述结论实际上给出了三角函数的另一种定义你能否用严格的数学语言表示这种定义?例题 已知角 的终边过点()求角 的三个三角函数值.变式在直角坐标系中已知圆 的圆心在原点半径等于 点 从初始位置()开始在圆 上按逆时针方向以角速度/匀速旋转 后到达点 则点 的坐标为.设计意图由例题 可知只要知道角 终边上任意一点 的坐标就可以求得角 的各个三角函数值并且这些函数值不会随点 位置的改变而改变.通过例题辨析概念沟通三角函数的“单位圆定义”与“终边上点的坐标比定义”为后续的拓展应用做铺垫.反思凝练感悟升华问题 通过这节课的学习同学们有哪些收获和体会?追问 能否描述一下三角函数模型的研究过程?追问 学习过程中用到了哪些数学思想方法?追问 在寻找描述匀速圆周运动的数学模型的过程中我们体会到了哪些研究问题的常用方法?师生一起总结三角函数概念的探究过程(如图):学习过程中运用了数形结合思想、函数思想、特殊到一般的思想.我们体会到在研究问题时可以将现实问题数学化将复杂问题简单化又一次感受到数学是研究客观世界的重要工具.设计意图引导学生从知识、思想、方法三个层面对本节课所学内容进行总结培养学生的数学语言表达能力和反思概括能力渗透数学核心素养.总结和启示以往的概念教学经常采用简单粗暴的灌输式导数学版 年 月 日 第 期 .致很多学生对概念的理解不到位往往只会机械刷题不懂灵活应用.本节课在给出三角函数概念之前让学生经历构建概念的全过程.发挥单位圆的作用使得问题本质化、简单化、明确化、具体化排除锐角三角函数的干扰.引导学生关注角 的终边与单位圆交点坐标()之间的对应关系.根据学生的认知心理和思维逻辑先从学生熟悉的特殊角入手借助直角三角形边角关系让学生直观地感知角与坐标之间的对应关系.再以问题串的形式启发学生进行共性归纳接着给出三角函数的定义和符号表示最后再对概念加以辨析达到精致概念的作用.当学生深刻理解概念之后在后面的解题和反思环节都表现得相当不错为后续学习打下了很好的基础.让学生完整经历概念的抽象过程不仅能更加准确地把握三角函数概念的本质而且自然而然地领悟到其中所蕴含的数形结合、特殊到一般等数学思想培养了数学建模、直观想象、数学抽象等核心素养.参考文献:中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(年版).北京:人民教育出版社.张奠宙.“四基”数学模块教学的构建 兼谈数学思想方法的教学.数学教育学报.():.章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究.上海:华东师范大学出版社.(收稿日期:)探究学生提出数学问题能力在数学建模活动中的作用李雅芝 陈礼湖 冯衍钦(.黔南民族师范学院数学与统计学院贵州 都匀 .贵州省剑河民族中学 贵州 剑河)摘 要:数学建模是高中数学六大核心素养之一而提出数学问题能力又是高中数学课程标准中培养学生“四能”的要求之一.首先在日常教学中对学生进行为期半学期的提出数学问题能力的培养其次选定具体建模活动开展课堂教学通过引导学生不断提出数学问题以解决该建模问题最后学生分组自选建模题目课后解决该问题并展示其研究成果从打分结果和提出问题个数发现分数与提出数学问题个数成正比说明学生提出数学问题能力对数学建模活动具有促进作用.关键词:核心素养数学建模提出数学问题能力基金项目:黔南民族师范学院 年研究生教育质量工程项目“黔南民族师范学院十四五教育硕士研究生学术研究与写作能力提升研究”(项目编号:)贵州省教育厅教育科研创新项目“数学模型算法与应用创新群体”(项目编号:)黔南民族师范学院 年研究生教育质量工程项目(项目编号:).作者简介:李雅芝()女山西晋城人博士副教授研究方向:数学教育.通讯作者:陈礼湖()男贵州剑河人硕士研究生研究方向:数学教育.根据普通高中数学课程标准(年版)可知数学建模活动贯穿于整个高中数学课程中其内容主要集中在人教 版必修第一册并在第四章中设置了数学建模专题其设计意义是让学生切身体会实际问题情境如何转换成数学问题的过程学会运用函数模型求解实际问题积累数学实践经验体会数学来源于生活且应用于生活促进学生数学素养的提升.拓宽建模研究的五个方面是做深、做实、做全、做透、做大数学建模教与学的研究.在教学中教师的任务是了解数学建模的内在机制及功能结合具体教学内容去培养学生的数学建模能力.在活动过程中学生不仅是设计者和探索者(设计解决实际问题的每一个步骤)也是实验员(构建数学模型、求解和检验模型).在这个过程中提出数学问题环节是对复杂、真实问题的探索指学生基于某情境或者根据问题会产生新的数学问题或在解决问题过程中、过程后产生新的子问题并能用数学的语言表述出这些生成的、独立的、创造的新数学问题的能力.为了探究学生提出数学问题能力在数学建模活动中的作用在日常教学中特别注重引导学生提出数学问题以提高其提出数学问题的能力半个学期后选定数学建模活动“探究茶水冷却问题”为教学内容