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初高中数学衔接知识点专题（一）

★ 专题一 数与式的运算

【要点回顾】
1．绝对值
[1]绝对值的代数意义： ．即 ．
[2]绝对值的几何意义： 的距离．
[3]两个数的差的绝对值的几何意义：表示 的距离．
[4]两个绝对值不等式:；．
2．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
[1]平方差公式： ；
[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
[公式1]
[公式2](立方和公式)
[公式3] (立方差公式)
说明:上述公式均称为“乘法公式”．
3．根式
[1]式子叫做二次根式，其性质如下：
(1) ；(2) ；(3) ； (4) ．
[2]平方根与算术平方根的概念： 叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根．
[3]立方根的概念： 叫做的立方根，记为
4．分式
[1]分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： （1） ； （2） ．
[2]繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，
说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
[3]分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

【例题选讲】

例1 解下列不等式：（1） （2）＞4．

例2 计算：
（1） （2）

（3） （4）

例3 已知，求的值．

例4 已知，求的值．

例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
（1） （2）

（3） （4）

例6 设，求的值．

例7 化简：（1） （2）
（1）解法一：原式=
解法二：原式=
（2）解：原式=

说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式
．

【巩固练习】

1． 解不等式

2． 设，求代数式的值．

3． 当，求的值．

4． 设，求的值．

5． 计算

6．化简或计算：
(1) (2)

(3) (4)

● 各专题参考答案 ●

专题一数与式的运算参考答案

例1 （1）解法1：由，得；
①若，不等式可变为，即； ②若，不等式可变为，即，解得：．综上所述，原不等式的解为．
解法2： 表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为．
解法3：，所以原不等式的解为．
（2）解法一：由，得；由，得；
①若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；
③若，不等式可变为，即＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．
解法二：如图，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，
可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．
所以原不等式的解为x＜0，或x＞4．
例2（1）解：原式=

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
例3解：
原式=
例4解：
原式= ①

②，把②代入①得原式=
例5解：（1）原式=
（2）原式=
说明：注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
（3）原式=
（4） 原式=
例6解：
原式=
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
【巩固练习】
1． 2． 3．或 4．
5． 6．

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