2021-2022学年高中数学-第一章-数列-3.1.1-等比数列课时素养评价北师大版必修5.doc

2021-2022学年高中数学 第一章 数列 3.1.1 等比数列课时素养评价北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第一章 数列 3.1.1 等比数列课时素养评价北师大版必修5

年级：
姓名：

七　等 比 数 列
(20分钟　35分)
1.下列命题中正确的是 (　　)
A.若a,b,c是等差数列,则lg a,lg b,lg c是等比数列
B.若a,b,c是等比数列,则lg a,lg b,lg c是等差数列
C.若a,b,c是等差数列,则10a,10b,10c是等比数列
D.若a,b,c是等比数列,则10a,10b,10c是等差数列
【解析】选C.若a,b,c成等差数列,则2b=a+c,
所以10a·10c=10a+c=102b=(10b)2,
所以10a,10b,10c是等比数列.
2.在首项a1=1,公比q=2的等比数列{an}中,当an=64时,项数n等于 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选D.因为an=a1qn-1,所以1×2n-1=64,即2n-1=26,得n-1=6,解得n=7.
3.(2020·高新高一检测)若正项等比数列满足a2a3=a4,且a1+a3=2,则公比为 (　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
【解题指南】根据a2a3=a4可计算出首项a1的值,再根据a1+a3=2以及a1的值即可计算出公比q的值.
【解析】选D.因为a2a3=a4,所以q3=a1q3,所以a1=1,
又因为a1+a3=2所以1+q2=2,
所以q2-2q-3=0,所以q=3或q=-1,
又因为是正项等比数列,所以q=3.
4.等比数列{an}的公比为q,且|q|≠1,a1=-1,若am=a1·a2·a3·a4·a5,则m等于 (　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
【解析】选C.因为a1·a2·a3·a4·a5=a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4=·q10=-q10,am=a1qm-1=-qm-1,
所以-q10=-qm-1,所以10=m-1,所以m=11.
5.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于　　　　平方厘米. 
【解析】依题意这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,n∈N+),则第10个正方形的面积S==[2×()9]2=4×29=2 048(平方厘米).
答案:2 048
6.在等比数列{an}中,
(1)已知a2=18,a4=8,求a1与q.
(2)已知a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
【解析】(1)由已知得
解这个方程组,得或
(2)根据题意,有
方程两边分别相除,得=.
整理得2q2-5q+2=0.解这个方程,得q=2或q=.
当q=2时,a1=1;当q=时,a1=-16.
所以a3=4或a3=-4.
【补偿训练】
　　 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1) (n∈N+).
(1)求a1,a2;
(2)求证:数列{an}是等比数列.
【解析】(1)由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),
所以a1=-.又S2=(a2-1),
即a1+a2=(a2-1),得a2=.
(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),
得=-,又=-,所以{an}是首项为-,公比为-的等比数列.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设等比数列{an}的前三项分别为,,,则该数列的第四项为 (　　)
A.1　 B. C. D.
【解析】选A.q==,所以a4=·=1.
2.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,

,
,,
…
记第i行第j列的数为aij(i,j∈N+),则a53的值为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.第一列构成首项为,公差为的等差数列,所以a51=+(5-1)×=.
又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为,公比为的等比数列,所以a53=×=.
3.(2020·余姚高一检测)设为等比数列,给出四个数列:
①,②,③,④.其中一定为等比数列的是 (　　)
A.①③ B.②④
C.②③ D.①②
【解题指南】设an=a1qn-1,再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.
【解析】选D.设an=a1qn-1,
①2an=2a1qn-1,所以数列是等比数列;
②=q2n-2=(q2)n-1,所以数列是等比数列;③=,==不是一个常数,所以数列不是等比数列;
④=不是一个常数,
所以数列不是等比数列.
4.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂 (　　)
A.55 986只 B.46 656只
C.216只 D.36只
【解题指南】先由题得到{an}是公比为6的等比数列,再利用等比数列的通项求出a6得解.
【解析】选B.设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂,则有an+1=6an,a1=6,则{an}是公比为6的等比数列,则a6=a1q5=6×65=46 656.
5.(2020·石家庄高一检测)已知数列是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则公比q等于 (　　)
A.-1 B. C.-2 D.2
【解题指南】由等差数列的性质得2a5=4a1-2a3,由此利用等比数列通项公式能求出公比.
【解析】选A.因为数列是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,所以2a5=4a1-2a3,所以2=4×4-2,
解得q=1(舍)或q=-1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.在数列{an}中,对任意n∈N+,都有an+1-2an=0(an≠0),则等于　　　　. 
【解析】由an+1-2an=0得=2,所以数列{an}是公比为2的等比数列,所以===.
答案:
7.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为　　　　. 
【解析】设等比数列的公比为q,
由得,解得
所以a1a2…an=q1+2+…+(n-1)=8n×=,于是当n=3或4时,a1a2…an取得最大值26=64.
答案:64
8.在表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则a+b+c的值为　　　　. 
1

2

0.5

1

a

b

c
【解析】因为每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,所以根据第三列,得2×a=12,可得a=.在第一列中,公比q=,第3个数为=,第4个数为=,第三列中,公比q=,第4个数为2×=,所以第四行中的公差d==,所以第四行中第4个数b=+=,同理c=,所以a+b+c=++=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知等差数列满足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求的通项公式;
(2)设等比数列满足b2=a3,b3=a7.若b6=ak,求k的值.
【解析】(1)由题意,得等差数列的公差d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+d=10,a1=4,
所以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×2=2n+2;
(2)由(1),得b2=a3=8,b3=a7=16,
所以q===2,b6=b2q4=8×24=128,
所以ak=2k+2=128,k=63.
10.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1.
(2)求证:是等比数列.
(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式及项的最值.
【解析】(1)根据根与系数的关系,得
代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,
得-=3.
所以an+1=an+.
(2)因为an+1=an+,所以an+1-=.
若an=,则方程anx2-an+1x+1=0,
可化为x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0.
此时Δ=(-2)2-4×2×3<0,
所以an≠,即an-≠0.
所以数列是以为公比的等比数列.
(3)当a1=时, a1-=,
所以数列是首项为,公比为的等比数列.
所以an-=×=,
所以an=+,n=1,2,3,…,
即数列{an}的通项公式为an=+,n=1,2,3,….
由函数y=在(0,+∞)上单调递减知当n=1时,an的值最大,即最大值为a1=.