--会议筹备问题答案数学建模论文.doc

高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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会议筹备问题
摘要
本文主要研究了会议筹备问题，筹备方案按照经济、方便、代表满意的原则，建立比例预测模型、0—1规划模型，运用Lingo软件求解，得到了会议期间宾馆客房预订、会议室租借、客车租用等相关筹备方案。
针对问题一，对往届会议代表回执与会情况进行分析，以宾馆客房预订数量为目标函数，宾馆数量尽可能少、距离尽可能近为约束条件，采用比例对比分析的方法，建立比例预测模型以及最少宾馆数目优化模型，利用Matlab、Lingo软件求解，得到了本届会议与会人数为662人；宾馆预定方案为：①②⑥⑦⑧；客房预定方案参见表7。
针对问题二，对①②⑥⑦⑧宾馆中满足条件的会议室进行分析，以租借会议室总费用最少为目标函数，会议室数量以及各会议室之间的距离为约束条件，建立0-1规划模型，利用Lingo软件求解，得到了会议室的租借方案：
7号宾馆容纳200人的1个、容纳140人的2个；
8号宾馆容纳160人的1个、容纳130人的2个。
针对问题三，将问题二中求得的会议室租借方案以及各宾馆位置分布进行综合分析，假设代表所在宾馆与会议室所在宾馆之间的距离在200米（含）以内，不安排车接送，采用排除法，确定需要安排车辆的宾馆为①②⑥。但又考虑到6号宾馆所住代表人数较多，根据租用客车费用最经济的原则，本文以6号宾馆的租车费用最少为目标函数，租用客车的座位数不少于代表人数为约束条件，建立0-1规划模型，利用Lingo软件求解，得到客车租用的最佳方案：
1号宾馆有代表50人，租33座客车1辆；
2号宾馆有代表90人，租45座客车1辆；
6号宾馆有代表151人，租45座客车1辆，33座客车1辆；
以上4辆客车接送方式为：上午和下午分别接送两趟。
最后，本文对所建模型的优点和缺点进行了客观的评价，认为本文研究的结果在实际应用中有一定的参考价值。

关键词：会议筹备；比例预测；多目标优化模型；0-1规划

1.问题重述
某一会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预定宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。因为接待这次会议的十家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿，各宾馆客房、会议室价位和规格不相同。
从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，这些都可以作为预定宾馆客房的参考。
会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道那些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用45座、36座和33座三种类型的客房接送代表。租金分别是800元、700元和600元。
问题一：为会议筹备组制定一个预定宾馆客房的具体筹划方案。
问题二：为会议筹备组制定一个租借会议室的具体筹划方案。
问题三：为会议筹备组制定一个租用客车的具体筹划方案。
附表1： 10家备选宾馆的有关数据。
附表2： 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息。
附表3： 以往几届会议代表回执和与会情况。
附 图： 10家宾馆平面分布图

2.问题分析
2.1 概论
本文属于规划问题。根据题目要求从经济、方便、代表满意等方面考虑，为会议筹备组制定一个预定宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。
2.2针对问题一
为了确定宾馆客房的预定方案，必须知道本届代表实际与会人数，本文根据以往几届会议代表的回执和与会情况，打算采用比例对比分析的方法，拟建立比例预测模型，求出以往几届实际与会人数占回执总人数的比例，运用软件进行预测分析，从而确定本届实际与会人数。然后，本文以所选择的宾馆数量尽可能少，距离不能太远为约束条件，以宾馆客房最佳预定安排为目标，拟建立一个既满足预定宾馆数量最少，又满足预定宾馆聚集程度较高的双优化模型，运用软件求解，从而确定宾馆以及客房的最佳预订方案。
2.3针对问题二
为了确定所选宾馆中会议室的预定方案，先求得每个会议室的与会代表人数，然后对①②⑥⑦⑧宾馆中满足条件的会议室进行分析，筛选出符合要求的会议室（见表8）。以会议室所在宾馆距离7号宾馆尽可能近为目标函数，会议室尽可能少为约束条件，拟建立0—1规划模型；再将模型求得的最优解为约束条件，以租借会议室的总费用最少为目标函数，另建一个0-1规划模型。从而求得所选会议室的具体预定方案。
2.4针对问题三
本问题假设代表所在宾馆与会议室所在宾馆之间的距离在200米（含）以内，不安排车接送，根据这一假设原则，剔除不符合条件的宾馆，最终确定需要安排车辆的宾馆。在这些安排车辆的宾馆中，6号宾馆所住的代表人数最多，所以需要对其重点考虑，根据租用客车费用最经济的原则，本文以6号宾馆的租车费用最少为目标函数，租用客车的座位数不少于代表人数的一半为约束条件，拟建立0-1规划模型，利用软件求解，得到客车租用的具体方案。

3.模型假设
（1）假设未发回执与会的代表对房间的不同要求的比例与代表回执中的房间要求的比例相同。
（2）假设未发回执而与会的代表的住房要求可以按发来回执的代表的住房要求同比例计算。
（3）假设发来回执并与会的代表的住房要求可以按发来回执的代表的住房要求同比例计算。
（4）假设各代表参加各分组会议的概率是平均的、随机的；
（5）假设代表所在宾馆与会议室所在宾馆之间的距离在200米（含）以内，不安排车接送。
（6）因为宾馆之间距离比较近，租用的客车在半天内可以接送各两次。

4.符号说明
符号
符号说明

第届会议发来回执的代表数量

第届会议发来回执但未与会的代表数量

第届会议未发回执而与会的代表数量

第届会议实际与会人数

第届会议实际与会人数与发来回执的代表数量的比值

前四届会议实际与会人数与发来回执的代表数量平均比值

前四届会议实际与会人数与发来回执的代表数量最大比值

本届会议实际与会人数平均预测值

本届会议实际与会人数最大比例预测值

本届会议预计与会人数

第宾馆的第个会议室的选择情况，表示选择，表示不选择
5.模型的建立与求解
5.1 模型一的建立与求解
5.1.1预测本届会议参会人数
根据以往几届会议代表回执和与会情况（附表3）,得到每届会议实际与会人数见表1。

表1 往几届会议代表回执与实际与会人数
单位（人）
第一届
第二届
第三届
第四届
第五届
发来回执的代表数量
315
356
408
711
755
实际来的代表数量
283
310
362
602

由表1可以计算出往届会议实际与会人数与发来回执的代表数量的比例关系：
（1）
并可以进一步得到前四届会议实际与会人数与发来回执的代表数量的平均比值：
（2）
据此，可以通过计算得出本届会议实际与会人数平均预测值：
（3）
另外，根据前四届会议实际与会人数与发来回执的代表数量最大比值：

所以本届会议实际与会人数的最大比例预测值为：
（4）

下面根据往届实际与会人数情况与回执人数的关系，运用软件，画出往届会议实际与会人数情况与本届会议按比例预测情况图（程序见附录1）：

图1 往届会议实际与会人数情况与本届会议按比例预测情况

由图1可以看出，无论是按照平均预测还是按照最大比例预测，本届会议与会人数预测值都比较合理。
但是又要考虑到出现预订客房数量过多，所交纳的空房费增多，将会造成筹备组经济亏损严重，所以，本文最终采用平均比例预测模型[1]预测与会人数。
预测本届会议参会人数为：

5.1.2 宾馆与客房的选定
（1）根据假设1）—3），结合本届会议与会人数预测值及表2有关数据，可以计算出本届会议与会人员住房要求预测情况如下表：

表2 本届发回执代表住房类型的百分比

合住1
合住2
合住3
独住1
独住2
独住3
男
20.4%
13.77%
4.24%
14.17%
9.01%
5.43%
女
10.33%
6.35%
2.25%
7.81%
3.71%
2.52%

表3 本届会议与会代表住房情况预测数据

合住1
合住2
合住3
独住1
独住2
独住3
合计
男（人）
135
91
28
94
60
36
444
女（人）
68
42
15
52
25
17
219
客房数（间）
102
67
22
146
85
53
475

由于对表3中合住人数是单数除以2时，采取取整加1的方法，使本次会议到会人数的均值修正为（102+67+22）+146+85+53=666人。
（2）确定10个宾馆的中心位置：

表4 不同宾馆之间的距离（单位：米）
宾馆
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总距离
1
0
150
900
650
600
600
300
500
650
1300
5650
2
150
0
750
500
750
750
450
650
800
1450
6250
3
900
750
0
250
1500
1500
1200
1000
1150
2200
10450
4
650
500
250
0
1250
1250
950
1150
1300
1950
9250
5
600
750
1500
1250
0
600
300
500
650
1300
7450
6
600
750
1500
1250
600
0
300
500
350
700
6550
7
300
450
1200
950
300
300
0
200
350
1000
5050
8
500
650
1000
1150
500
500
200
0
150
1200
5850
9
650
800
1150
1300
650
350
350
150
0
1050
6450
10
1300
1450
2200
1950
1300
700
1000
1200
1050
0
12150

由表4可知，7号宾馆到其他9个宾馆的距离之和最小，所以，7号宾馆位于10个宾馆的中心。
（3）选择宾馆
由附表1可知，9号宾馆主要适于第三类价位人群居住，而由附表2又可以看出，选择合住3，独住3房间的人数较少，考虑到题中的要求，尽量使所选宾馆数量尽可能少，所以从经济、方便角度考虑，本文选择宾馆时将9号宾馆考虑在外。另外，从附图上可以看出，3号宾馆距离7号中心宾馆距离最远，考虑到租用客车的费用问题，所以将3号宾馆排除，由表3可知，独住1需要146间房，而附件1中8个宾馆共有该类房才80间，缺146-80=66间，必须66人独住66间该类双人房间。所以合住1类房间至少需要102+66=168间。另外，合住3从22调整为25，独住3从53调整为50，即独住3有3人独住同类双人房间。
为了便于管理及与会代表的方便，所选择的宾馆应尽量满足代表回执中有关住房要求的条件，宾馆总数应该尽可能少，距离上尽量靠近。为此引入0-1变量，以第7号宾馆到其他宾馆的距离之和最小（宾馆总数最少）为优化目标，建立如下模型：

目标函数：
约束条件：
1、 所选宾馆容纳的总人数大于等于666人
2、 所选合住1房间的总数+独住66间该类双人房间数大于等于168
3、 所选合住2房间的总数大于等于67
4、 所选合住2房间的总数大于等于25
5、 所选独住1房间的总数大于等于80
6、 所选独住2房间的总数大于等于85
7、 所选独住3房间的总数大于等于50
（5）
通过程序[2]对上述模型进行运算（程序见附录2，运行结果见附录3），所以得出最佳宾馆选择为：①②⑥⑦⑧。详细数据列表如下：

表6 所选宾馆房间统计表（ 单位：间）
类型
价位（元）
①
②
⑥
⑦
⑧
合计
合住
独住
合住
独住
合住
独住
合住
独住
合住
独住
合住
独住
120~160元
140

50

50

150

50

50

160

35

40

40
40

75
80
161~200元
170

40

40

180
50
30
30

30

40
45
120
105
200

35

35

201~300元
220
30
20

30

60
20
260

280

300

30

30
合计

80
50
150

70
70
50
70
80
45
430
235

表7 预订宾馆房间统计表 （单位：间 ）
房价（元）
①
②
⑥
⑦
⑧
合计（间）
合住
独住
合住
独住
合住
独住
合住
独住
合住
独住
140

12
38

50
150

50

50
160

28

40

40
40

148
170

27

27
180

30

10

40
45
125
200

220

20

22
3

45
280

300

30

30
总房数

50
12
66
49
53

70
80
45
475
总人数
50
90
151
170
205
666人

5.2 模型二的建立与求解
5.2.1 模型的准备
根据假设（4），各代表参加各分组会议的概率是平均的、随机的，即每位代表参加任一分会场的概率为，故各分会场最小规模为。
由附表1可得出如下满足上述会场最小规模的会议室（参见表8）：

表8 所选宾馆中满足条件的会议室情况
宾馆代号
规模（人）
间数
价格（元/半天）
①
200
1
1500
150
2
1200
②
130
2
1000
180
1
1500
⑥
160
1
1000
180
1
1200
⑦
140
2
800
200
1
1000
⑧
160
1
1000
130
2
800

5.2.2会议室距离最近规划模型
为了合理选取会议室，先以各会议室所在宾馆距离7号宾馆尽可能近为目标函数，会议室尽可能少为约束条件，建立如下0-1规划模型[3]：

目标函数：
（6）

（7）
通过程序对上述模型进行运算（程序见附录4，运算结果见附录5），求得全局最优解：1200。
故模型中会议室距离之和应不小于1200，不妨先取其值为1210进行试探。

5.2.3 租借会议室费用最少规划模型
以租借会议室费用最少为目标函数，以会议室数量及各会议室之间的距离为约束条件，建立如下0-1规划模型：

目标函数：
（8）

(9)

通过Lingo程序对对上述模型进行运算（程序见附录6，运算结果见附录7），求得会议室预定的最佳筹划方案：

表9 会议室租借情况一览表
宾馆代号
规模（人）
间数
价格（元/半天）
费用（元/全天）
⑦
140
2
800
3200
200
1
1000
2000
⑧
160
1
1000
2000
130
2
800
3200

租借会议室预算总费用为： 3200+2000+2000+3200=10400元。
5.3 模型三的建立与求解
根据假设5）6），只有住在1、2、6号宾馆的代表在开会时需租车接送。因为宾馆之间距离都不太远，租用车辆在半天内可分别接送各两趟。
具体租车方案：
1号宾馆有代表50人，租33座客车1辆，上下午分别接送各两趟。
2号宾馆有代表90人，租45座客车1辆，上下午分别接送各两趟。
但是6号宾馆有代表151人，人数比较多，根据经济、代表满意的原则，建立以租车费用最低为目标函数，以租车的总座位数不低于号宾馆所住代表人数的一半为约束条件，建立0-1规划模型：
目标函数:
（10）
： 租车的总座位数不低于号宾馆所住代表人数的一半

通过Lingo程序对上述模型进行运算（程序见附录8，运算结果见附录9），求得6号宾馆客车租用的筹划方案:
租用45座客车1辆，33座客车1辆，上下午分别接送各两趟。
最后得出租车的最佳筹划方案如下：

表10 租车方案一览表
宾馆代号
代表（人）
车辆类型（座）
辆数
趟数（上午）
租金（元/半天）
①
50
33
1
2
600
②
90
45
1
2
800
⑥
151
45
1
2
800
33
1
2
600
合计
291

4
8
2800

由上表看出，上下午均租用客车45座2辆，33座2辆。上下午的租车总费用为2（8002+6002）=5600元。
行车路线直观图参见附录10。

5.4 本届会议总体筹备方案
经过本文的模型规划，根据经济、方便、代表满意的原则，对本届会议宾馆客房预订、会议室租借、客车租用的总体筹备方案如下：

表11 本届会议总体筹备方案一览表
总体方案
宾馆
①
②
⑥
⑦
⑧
合计（间）
房价（元）
合住
独住
合住
独住
合住
独住
合住
独住
合住
独住
140

12
38

50
150

50

50
160

28

40

40
40

148
170

27

27
180

30

10

40
45
125
200

220

20

22
3

45
280

300

30

30
总房数

50
12
66
49
53

70
80
45
475
总人数
50
90
151
170
205
666人
会议室

200人1个
160人1个
6个
140人2个
130人2个
租车数
33座1辆
45座1辆
45座1辆

4辆
33座1辆

6.模型的评价
6.1模型的优点
（1） 模型2最大的优点是：先确定7号宾馆为中心，将其余宾馆到7号宾馆的距离之和最小作为优化目标，与会代表的住房要求作为约束条件。从而得到所预订宾馆数量最少、宾馆之间距离最短及与会代表最满意（全部按预测参会人数要求预订）的5个宾馆，并且为会议室的选择和客车的租用起到了决定性的作用。
（2） 本模型整个过程思路清晰，结构明了，没有运用太偏的知识，容易让筹划人员明白和接受，可行性强，易于推广。
（3） 为本次的会议筹划提供了较合理的意见，对普遍的会议筹划具有一定的参考价值。
6.2模型的缺点
（1） 在方案制定中，我们没有考虑实际与会代表人数与预测与会代表人数不一致时可能造成的空房费用或因客房不够而造成代表的不满所引起的“费用”。
（2） 对实际问题及现实的交通情况的考虑不够，实际的情况会影响对客车的预定的问题，比如说堵车，而汽车行驶也不一定沿路直线行驶，可能会斜穿马路。
6.3模型的改进
（1） 针对“模型缺点”中的提到的没有考虑实际与会代表人数与预测与会代表人数不一致时可能造成的“费用”，可以考虑建立相关概率模型，从概率学的角度建立相关优化模型。
（2） 针对“模型缺点”中提到的实际问题及现实的交通情况的考虑不够的问题。可以根据当地交通局提供的交通信息以及当地交通规则，并将每天各时段的交通情况，如：堵车、车辆高峰期、车辆低峰期等，对这些数据进行整理分析，确定最佳出行方案。

参考文献
[1] 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2000
[2] 谢金星，《优化建模与LINDO/LINGO软件》，北京：清华大学出版社，2009
[3] 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005
[4] 郭大伟，数学建模[P65],合肥：安徽教育出版社，2009.2
[5] 刘会灯，朱飞，[MATLAB]编程基础与典型应用[P45].北京：人民邮电出版社，2008.7

附录
附录1
clear all
a1=[315 356 408 711]; %历届发来回执的代表数量
a2=[89 115 121 213]; %历届发来回执但未与会的代表数量
a3=[57 69 75 104]; %历届未发回执而与会的代表数量
a4=a1-a2+a3; %历届实际与会人数
plot(a1,a4,'*-r')
grid on
hold on
b1=[154 104 32 107 68 41]; %本届回执男性各分类人数
b2=[78 48 17 59 28 19]; %本届回执女性各分类人数
c=sum(b1)+sum(b2); %本届回执总人数
a4=662; %本届平均与会人数
plot(c,a4,'*g')
hold on
a4=679; %本届最大与会人数
plot(c,a4,'*b')
legend('往届实际与会人数情况','本届实际与会人数平均值','本届实际与会人数最大比例预测值')
xlabel('回执人数');
ylabel('实际与会人数');

附录2
最少宾馆数目优化模型Lingo求解程序
Model:
sets:
min=300*x1+450*x2+1200*x3+950*x4+300*x5+300*x6
+200*x8+350*x9+1000*x10;
210*x1+300*x2+175*x3+190*x4+220*x5+210*x6+170*x7
+205*x8+180*x9+200*x10>=662;
85*x2+50*x3+50*x4+70*x5+50*x7+40*x8>=168;
50*x1+65*x2+24*x3+45*x4+40*x5+40*x6+40*x8>=67;
30*x1+30*x6+60*x9+100*x10>=25;
27*u3+40*x6+40*x7>=80;
30*x1+30*x6+45*x8>=85;
20*x1+30*x7+60*x9>=50;
@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);@bin(x5);
@bin(x6);@bin(x7);@bin(x8);@bin(x9);@bin(x10);

附录3
最少宾馆数目优化模型Lingo求解结果
Global optimal solution found.
Objective value: 1250.000
Objective bound: 1250.000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost
X1 1.000000 300.0000
X2 1.000000 450.0000
X3 0.000000 1200.000
X4 0.000000 950.0000
X5 0.000000 300.0000
X6 1.000000 300.0000
X8 1.000000 200.0000
X9 0.000000 350.0000
X10 0.000000 1000.000
X7 1.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 1250.000 -1.000000
2 433.0000 0.000000
3 7.000000 0.000000
4 128.0000 0.000000
5 35.00000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 20.00000 0.000000
8 0.000000 0.000000

附录4
会议室距离最短优化模型Lingo求解程序：

min=300*x11+300*x12+300*x13+450*x21+450*x22+450*x23+300*x61+300*x62+200*x71+200*x72+200*x73+200*x81+200*x82+200*x83;
x11+x12+x13+x21+x22+x23+x61+x62+x71+x72+x73+x81+x82+x83=6;
@bin(x11);@bin(x12);@bin(x13);@bin(x21);@bin(x22);
@bin(23);@bin(x61);@bin(x62);@bin(x71);@bin(x72);
@bin(x73);@bin(x81);@bin(x82);@bin(x83);

附录5
会议室距离最短优化模型Lingo求解结果：

Global optimal solution found.
Objective value: 1200.000
Objective bound: 1200.000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost
X11 0.000000 -150.0000
X12 0.000000 -150.0000
X13 0.000000 -150.0000
X21 0.000000 0.000000
X22 0.000000 0.000000
X23 0.000000 0.000000
X61 0.000000 -150.0000
X62 0.000000 -150.0000
X71 1.000000 -250.0000
X72 1.000000 -250.0000
X73 1.000000 -250.0000
X81 1.000000 -250.0000
X82 1.000000 -250.0000
X83 1.000000 -250.0000