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数形结合在初中数学教学中的应用案例研究
周矶学校 杨 利
初中数学新课程《标准》中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域，在每一个学习领域，都离不开两要素---数与形。三千多年前，我国古代数学家赵爽最先在《周髀算经》作注时给出“弦图”，他通过几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，赵爽的“弦图”证明可谓别具匠心，体现了“数形结合”的思想。现代初中数学教材中，如平方差公式、完全平方等公式的推导都采用了几何图形验证方式，这是代数问题几何化的代表性问题。“数形结合”，直观性强、形象具体,在平常的学习中更容易被同学们所认可。近观数学中考压轴题，都是代数、几何高度综合， “数形结合”作用突显。在数形结合问题中，主要有三个方面：一是“以形助数”，二是“以数助形”，三是“数形互化”。本文仅针对如下几个问题进行讨论课堂教学的“数形结合”。
一、以形助数，简化易解
解决数学上数量关系的问题主要体现在把抽象的理论知识转化为适当的几何图形，巧妙地用图形来表达抽象的数学知识，构建出清晰的数学知识体系，促进知识的“消化”。有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。
初中数学中，如有理数中数轴的引入、不等式及不等式组的解集在数轴上表示，使抽象的概念、性质得到直观的理解；解二元一次方程组、解不等式时，利用平面直角坐标系，通过转化成一次函数图像图解，问题变得简化易懂；统计部分三类统计图应用后即可使啰嗦文字语言变成简洁明了；用“树形图”分析事件的概率，可使事件简单而明确。以上均属于“以形助数”代表性内容，是课堂教学中必需性基础内容。学生在画图中整理信息分析信息，用时不多找到解决问题的方法，学生在老师的引领下，领悟到了一种有效解决问题的方法------图解法。
1、有理数教学中， 初识图解法 
数轴的引入是有理数体现“数形结合”思想的力量源泉。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的[4]。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透“数形结合”的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
案例1：
在《有理数》一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容。这样，在讨论相反数、绝对值、倒数的几何意义时,形象易记。下面具体分析一下。
（1）利用图象，创造学习负数情境。初一学生通过温度计引出数轴概念，能够具体、直观地掌握负数的意义。利用数轴把点与数的对应关系揭示出来，这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。
（2）相反数 在数轴上,相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图：

（3） 绝对值 在数轴上,一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。在下图中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大。

（4） 倒数在数轴上表示a与1的位置关系。可以结合数轴来加以分析，把0、+1、-1作为分界点，然后再作讨论。
2、求解不等式（组），运用图解法
教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解，这里蕴藏着数形结合的思想方法[4]。在数轴上表示数是“数形结合”思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更直观、更为有效。
案例2：
解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
      解：解不等式①，得
解不等式②，得．
不等式组的解集在数轴上表示如下：

所以，不等式组的解集是
3、方程组、不等式，巧用“图解法”
“图解法”解二元一次方程组，具体方法是先把每个二元一次方程变形成一次函数解析式，然后画出图像，两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解，利用两条图像线的交点位置，可快捷求出相关不等式的解集。这充分体现了“数形结合”的思想，构建了数与形的和谐美。在解题方面，通过把问题转化成图形的方法，直观得出问题结论，避开了相对复杂的计算。
案例3：
二元一次方程组的解有三种情况：
① 无解；②无数个解；③ 只有一个解。
一种解法：把交点的横纵坐标代入两直线的解析式求出与a,b的值，再代入不等式求解，这种方法显然很复杂，但也是大部分学生的解法。
另一种解法：由两个一次函数的图象的交点直接得出不等式的解。
这三种情况可以转化为两条直线a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三种位置关系：①平行；②重合；③ 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当a1：a2=b1：b2≠c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。当a1：a2=b1：b2=c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。当a1：a2≠b1：b2时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点，因而方程组只有一个解。
例：①，方程组无解。两条直线2x+y+3=0、4x+2y+1=0的位置关系如图：平行。
②，方程组只有一个解。两条直线2x+y+1=0、x+2y=0的位置关系如图：相交。
③，方程组有无数个解。两条直线2x+4y=0、x+2y=0的位置关系如图：重合。
y
x
o
y
x
o
y
x
o
（1）
（2）
（3）

4、函数应用教学，凸显“图解法” 
一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数关系比较抽象，因此，若能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出了透彻分析，从而探求出解决问题的途径。许多应用性问题的分析，如传统的“鸡兔同笼”问题，它的数量关系，比较抽象而隐蔽，解决这类问题有相当难度，但如果有图形辅助便可使隐含问题直观化。函数应用题更需要图解帮助，优化解题。
案例4：
某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满。当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲，如果旅客居住客房，馆需对每间客房每天支出60元的各种费用。
（1） 请写出该宾馆每天的利润y与（元）每间客房涨价x（元）之间的函数关系式；
（2） 设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？
（3） 请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？
根据第一步解题分析可知，利润Y关于涨价X是呈二次函数关系；第二步是求利润最值问题，利用最值公式可求出相应结果；第三步求定价范围，按常规思路是建立不等式来解题。但目前学生求解不等式只限于会解一元一次不等式，解一元二次不等式仍是一个数学难题。怎样才能做到有效解题目的呢？
8450
50
180
-80
X
Y
8450
50
180
-80
X
Y
方案是：教学中引导学生把数转化成形，利用五点法画出图像

观察图像可知，这是一条开口向下的抛物线，当涨价了50元时，利润最大值为8450元，因而8000元并非最大利润，顺利解决第二题。如何解决第三个问题呢？有效方法还是要借助图像进行，学生发现抛物线在横轴上半方就表示获得利润大于零，图像所对应X轴上两个界点数据是-80元和+180元，这就得出在原价每间客房出租140元基础上，租金只要大于（140-80）元少于（140+180）元，即客房定价60元以上而320以内的范围内宾馆就可获得利润。
本题教学借助图形，通过“以形助数”方法，将形象思维与抽象思维相结合；借助于“形”的几何直观性来阐明“数”的大小关系，思维有冲击，更好帮助学生理解题意，用学生看图便知道了答案。
用一种直观而有效的策略、简化易懂的方法，找到了问题的结论，学生耳目一新，激发了兴趣，这比老师苦口婆心帮助学生分析数量关系更有数学学习价值。体验“数形结合”在解决问题中的使用价值，让学生清晰而明确认识“数形结合”的妙处，感知数学思想之睿智。
二、“以数助形”，精化解题方法
数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，触及其内在的数量特征，探索由图形到数量的联系与规律，即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现“数形结合”。
（一）“以数助形”，在“数与式”教学中的应用
在“数与式”这一部分，经常会遇到一些探索规律题，在教学中图形规律题的探索也是常见一种形式，遇到这一类问题，我们必须学会分析图形位置序号与图形本身一种联系，将几何图形变化情况进行数字化、代数化，这就是“以数解形”。
案例五、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律，拼成若干个图案：
（1）第四个图案中有白色地砖＿＿＿＿＿＿＿块；
（2）第n个图案中有白色地砖＿＿＿＿＿＿＿块。
分析：本题是借助于图形中的数量关系来解决问题,第一个图案中有白色地砖6块，第二个图案中有白色地砖10块，第三个图案中有白色地砖14块，根据前面的分析，很快就能判断出第四个图案中有白色地砖18块，并且每个图案比前一个图案增加4个白色地砖，所以第n个图案中有白色地砖4n+2块

第一个 第二个

第三个
人教版七年级数学上册第三章“字母表示数”，本章的不少小节的内容是探索几何图形（或几何图案）的数量关系，教学中，老师指导学生会用代数式表示几何图形（或几何图案）的数量关系，老师若注重了数形结合思想方法的渗透，会使学生很快领悟几何图形（或几何图案）的规律，从而找出其中的数量关系。
图形规律探索题，重在考查学生的观察、分析、归纳的能力，要使学生具备这些能力，需要教师在平常教学中多引导。教学中引导学生观察分析各个图形之间变化情况是其一，另一点是此类问题还要懂得将图形变化情况数字化，找到数字与序号间一种隐性关系，从而将一个在不断变化中几何图形代数化，达到精化解题目的。
（二）“以数助形”，在平面几何教学中的应用
如果在一个几何问题中，条件和结论都容易用代数中的式子表示出来，那么，我们就可以把解决这个问题的过程转化为代数中的演算来完成。把一个几何问题转化成数计算性的问题，这是数学解题课堂教学常用的一种方法。
1、“以数助形”，在三角形中的应用
在直角三角形这一部分，面对不同变异的几何问题，在计算时有多种方法,其中比较突出的方法是还可以与几何图形本身特点相结合进行解题。抓住几何图形本身的特殊性：线段之间、角与线段之间特殊的位置关系与数量关系，实现“形到数”的转化，形可以是正方形也可以为三角形等。通过“数形结合”的方法从深层的角度挖掘数学之美。让学生欣赏到数学中问题中的风格美、形式之美，吸引学生的眼球，让课堂更具活力。
案例6：
将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．
【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是．现在我们只需要在图中找出来一段边长为的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．
【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现．
2、“以数助形”，在多边形中的应用
利用本题图形的特殊性，通过“数形结合”，发掘特殊几何位置的代数意义，演绎数量关系描述的几何属性，这是几何计算题常用一种方法。
案例7：
在长为m，宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图），则此时余下草坪的面积为 ．
如下图所示：（分析）通过把下半部分草地向上平移方法，则草地部分的面积均形成一个新矩形，其中矩形宽为（b-1）m，长为am,则草坪面积为a(b-1)

把草坪所在矩形向上平移

如上问题，实质考查是特殊四边形------矩形面积问题，学生马上回忆起矩形的面积公式=长×宽。解决如上问题，首先要紧抓图形本身一种特殊性，引导学生发现这样一个结论，无论道路笔直还是弯曲，不管弯曲程度如何，只要确保道路宽相同，那么可通过平移把图形平移形成一个新的矩形。即先用了“以形促形”方法形成一个新的图形。再用代数式表示长和宽，根据图形面积间的关系，把一个几何图形边的关系转化成数学语言，通过代数算式关系，即用“以数解形”方法得出相应结论。
3、“以数助形”，在函数教学中的应用
初中数学函数主要学习正比例、一次函数、反比例函数及二次函数这四块内容，函数部分知识突出的重点与特色就是数学建模与“数形结合”思想[4]。函数问题大都不是纯代数运算问题，很多是根据图像再提出相应的问题或者是函数图像结合直线（线段、射线）、三角形、四边形、圆等几何图形的综合问题。对于很多的函数问题在课堂教学中，我们往往抓住形的特征通过直角坐标系将几何图形数字化，寻找解题途径，这一种解题方法是学生必须有的一种常见的方法[。
案例8：
某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟。下图表示快递车距离A地的路程（单位：千米）与所用时间（单位：时）的函数图象。已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时。
(1) 请在下图中画出货车距离A地的路程（千米）与所用时间(时)的函数图象；
(2) 求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
(3) 求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时。
(时)
(千米)
1
2
4
3
5
6
7
8
9
-1
-21
50
100
150
200
O

-50

（1）问中的图象如图所示； （2）4次；
(时)
(千米)
1
2
4
3
5
6
7
8
9
-1
50
100
150
200
O

F
G
C
E
D
利用一次函数的思想进行求解对第（3）问进行求解。（3）如图所示，，设直线的解析式为，∵图象过，，

。①
设直线的解析式为，
图象过，，
。②
解由①，②组成的方程组得
最后一次相遇时距离地的路程为100km，货车从地出发8小时 。
像这种利用函数图象解决相关代数问题的题型在人教版八年级下册第19章中比较多，另外像初中代数中的一元一次不等式，在函数中可以利用函数图象来看这样的一元一次不等式。对于有些可以比较繁琐的不等式利用函数观点求解可以使得求解的过程得到简化。
评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征（包括分段函数），充分挖掘图象中的已知条件，从而确定函数的解析式，再利用函数的图象性质来解．
三、 “数形互变”，优化解题方法
就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并揭示隐含的数量关系。
数形结合的基本思想方法，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形的性质问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。
案例9、在一次数学活动中，小明为了求的值，他设计了如下图边长为1的正方形纸片，并用不同的标记标出了正方形面积的，，，…请你根据掌握的数形结合的思想，推出当n为正整数时，的结果。（用n表示）

①

②

③
④

…
分析：为了求出如果直接去求出的值，对于初中的学生来说还是非常难的，我们可以考虑用数形结合思想来解决。
我们可以这样理解，用剪刀去剪这个正方形纸片，第一次剪去正方形纸片的一半，正方形剩余面积是，第二次剪去剩余图形的一半，得到的图形面积是，第三次剪去第二次剪剩的图形的一半，得到的图形面积是，即每次剪去前一次剩余图形面积的一半，……那么当第n次剪后得到的图形面积是，把每次剪下来的图形面积相加，即得到＝
案例10、等腰三角形的面积为2，腰长为，底角为，求。
分析：本题是斜三角形问题，因此要作高化斜三角形为解直角三角形。但是本题又没有给出三角形的形状，所以在画高时就要考虑高在三角形内、三角形上和三角形外三种情况，这是一种解题方法，但非常麻烦，我们可以考虑用数形结合的思想来解决本题，用数学中的方程或方程组来解。
解： 过A点作AD⊥BC于D，如右图
B
D
C
A
∵△ABC是等腰三角形，面积为2，腰长为
∴BD=DC
设BD=x，AD=y
在Rt△ABD中， ①
在△ABC中， ②
由 ①、②得：
该方程组可化为如下两个方程组：
分别解之得：
∵BD、AD均为正数
∴取
∴
本题应用了数形结合思想，“形题数解”往往可以使求解思路新颖，而且几何中的多解问题可以转化为方程或方程组的多解问题。
总而言之，“数无形不直观，形无数难入微”。见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合的思想解决数学问题。
数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离。”通过数与形有机结合，使学生的思维完成从“形象”到“抽象”的概括，从“抽象”到“形象”的再现。数学思想方法既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用。