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2021-2022学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2 圆与圆的位置关系学案 新人教A版必修2

2021-2022学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2 圆与圆的位置关系学案 新人教A版必修2

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4.2.2　圆与圆的位置关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解圆与圆的位置关系的种类．(重点、易错点)
2．掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系. (重点、难点)
通过圆与圆的位置关系的推导，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学学科素养．

1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含．
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示

d与r1、r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜
d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
0≤d＜
|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
思考：将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
[提示]　两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A.相离　　　B．相交　　　C．外切　　　D．内切
B　[圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝<r1＋r2＝3，即两圆相交．]
2．设r＞0，两圆C1：(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与C2：x2＋y2＝16不可能(　　)
A.相切 B．相交
C.内切或内含或相交 D．外切或相离
D　[圆C1的圆心为(1，－3)，圆C2的圆心为(0，0)，圆心距d＝，于是d＝＜4＋r，但可能有d＝|4－r|或d＜|4－r|，故两圆不可能外切或相离，但可能相交、内切、内含．]
3．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．
0或±2　[圆心距d＝，又r1＝1，r2＝5.
当两圆外切时＝6，解得a＝±2.
当两圆内切时＝4，解得a＝0.]
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
x＋3y＝0　[(x－1)2＋(y－3)2＝20化为一般式为：x2＋y2－2x－6y－10＝0，①
又圆x2＋y2＝10，即x2＋y2－10＝0，②
①－②得：x＋3y＝0，即为直线AB的方程．]

圆与圆的位置关系的判断
【例1】　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
[解]　将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|＜5＜1＋，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当1＋＜5时，
即34＜k＜50时，两圆外离．

判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要).
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
(5)根据大小关系确定位置关系．

1．圆A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，圆B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断圆A和圆B是否相交．若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由．
[解]　圆A的方程可写为(x－1)2＋(y－1)2＝9，
圆B的方程可写为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
∴两圆心之间的距离满足3－2＜|AB|＝＝2＜3＋2，
即两圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差，∴两圆相交．
圆A的方程与圆B的方程左、右两边分别相减得－4x－4y－5＝0，
即4x＋4y＋5＝0为过两圆交点的直线的方程．

两圆相切问题
【例2】　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为________．
(2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.
思路探究：⇒⇒
(1)(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169　(2)2或－5　[(1)设所求圆的半径为r，则＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169.
(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1, m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.]

处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).

2．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[解]　已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为C(1，0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0).
由题意，可得
解得或
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.

两圆相交的问题
【例3】　求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长.
思路探究：⇒⇒
[解]　设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B的坐标是方程组
的解，
两式相减得x＋y－1＝0.
因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，
所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，
即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，
圆C3的圆心为(1，1)，其到直线AB的距离d＝，由条件知r2－d2＝－＝，
所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×＝.

1．本例条件不变，如何求圆C1与圆C2的公共弦长？
[解]　由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0，对于圆C1：x2＋y2＝1，该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距
离为d＝＝，由条件知r2－d2＝1－＝，所以公共弦长为2×＝.
2．本例中若将圆C3的方程“(x－1)2＋(y－1)2＝”改为“(x－1)2＋(y－1)2＝4”，其他条件不变，又如何求解呢？
[解]　由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.圆C3的圆心为(1，1)，其到直线l的距离d＝＝，由条件知，r2－d2＝4－＝，
所以弦长为2×＝.

1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

1．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系．
2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．

1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有(　　)
A.1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．4条
B　[因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2.]
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
C　[AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.]
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________．
1　[将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.]
4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，求圆C的方程．
[解]　设圆C的半径为r，
圆心距为d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.