2021-2022学年高中数学-综合测评巩固练习北师大版必修第一册.docx

2021-2022学年高中数学 综合测评巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 综合测评巩固练习北师大版必修第一册

年级：
姓名：

综合测评(A)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合N=x12<2x+1<4,x∈Z,M={-1,1},则M∩N=(　　)
A.{-1,1} B.{0} C.{-1} D.{-1,0}
解析:∵集合N=x12<2x+1<4,x∈Z={x|-1<x+1<2,x∈Z}={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0},M={-1,1},∴M∩N={-1},故选C.
答案:C
2.某村有旱地与水田若干公顷,现在需要估计平均产量.用分层随机抽样的方法按5%抽取15公顷旱地和45公顷水田进行调查,则这个村的旱地与水田的公顷数分别为(　　)
A.150,450 B.300,900 C.660,600 D.75,225
解析:由题意知,该村有旱地15÷5%=300(公顷),水田45÷5%=900(公顷).
答案:B
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
A.12 B.13 C.14 D.16
解析:从1,2,3,4中任取2个不同的数,试验的样本空间共有6个样本点,而事件“2个数之差的绝对值为2”包含的样本点有(1,3),(2,4),共有2个,所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率是26=13.
答案:B
4.设a=log123,b=130.2,c=213,则(　　)
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
解析:∵由指数函数、对数函数的性质可知,
a=log123<log121=0,0<b=130.2<1,而c=213>1,因此,a<b<c.
答案:A
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则y=f(x)在R上的解析式为(　　)
A.f(x)=-x(x+2) B.f(x)=|x|(x-2)
C.f(x)=x(|x|-2) D.f(x)=|x|(|x|-2)
解析:当x<0时,-x>0,则f(-x)=x2+2x.
∵f(x)是奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x.
∴f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0.
∴f(x)=x(|x|-2).
答案:C
6.为了解电视对生活的影响,一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层随机抽样方法抽出100人做进一步调查,因此在[2.5,3)h时间段内应抽出的人数是(　　)

A.25 B.30 C.50 D.75
解析:调查的10000人中平均每天看电视的时间在区间[2.5,3)上的频率是0.5×0.5=0.25,所以这10000人中平均每天看电视的时间在区间[2.5,3)上的人数是10000×0.25=2500,抽样比是10010000=1100,则在[2.5,3)(h)时间段内抽出的人数是2500×1100=25.
答案:A
7.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
A.15 B.25 C.35 D.45
解析:设正方形ABCD的中心为O.从五个点中任取两个点,有10种取法,分别是AO,AB,AC,AD,OB,OC,OD,BC,BD,CD,其中两点间的距离不小于正方形边长的有AB,AC,AD,BC,BD,CD.故所求概率为610=35.
答案:C
8.设集合M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系的是(　　)

解析:由函数的定义,知
选项A中,函数的定义域为[-2,0],不是[-2,2];
选项C中,不是唯一对应,故不是函数;
选项D中,函数的值域不是[0,2];
选项B中图象符合.故选B.
答案:B
9.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.438)=0.165
f(1.406 5)=-0.052

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为(　　)
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
解析:由二分法知,方程x3+x2-2x-2=0的根在区间(1.4065,1.438)内,故方程的一个近似根精确至0.1为1.4.
答案:C
10.对“小康县”的经济评价标准:
①年人均收入不低于7 000元;
②年人均食品支出不大于收入的35%.
某县有40万人,调查数据如下:
年人均收入/元
0
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
16 000
人数/万人
6
3
5
5
6
7
5
3

则该县(　　)
A.是“小康县”
B.达到标准①,未达到标准②,不是“小康县”
C.达到标准②,未达到标准①,不是“小康县”
D.两个标准都未达到,不是“小康县”
解析:通过计算可得,年人均收入为7050>7000,达到了标准①;年人均食品支出为2695,而年人均食品支出占收入的26957050×100%≈38.2%>35%,未达到标准②,所以不是“小康县”.
答案:B
11.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、……第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为(　　)

A.6 B.8 C.12 D.18
解析:设样本容量为n.由题意得n(0.24+0.16)=20,所以n=50.所以第三组的频数为50×0.36=18.
因此,第三组中有疗效的人数为18-6=12.
答案:C
12.一个盒子中装有6张卡片,上面分别写着如下6个定义域为R的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=x5,f5(x)=ax(a>0,且a≠1),f6(x)=|x|.现从盒子中任取2张卡片,将卡片上的函数相加得到一个新函数,则所得函数是奇函数的概率是(　　)
A.15 B.14 C.34 D.25
解析:从条件可知,f1(x),f3(x),f4(x)是奇函数,从中抽取2个的情形有3种,而从6张卡片中抽取2张的情形有15种,故所求的概率为315=15.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取　　　　　名学生. 
解析:高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,高二年级学生人数在总体中所占的比例是33+3+4=310,因为用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,所以要从高二年级抽取310×50=15(名).
答案:15
14.抽样统计甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92

则成绩较为稳定(方差较小)的那名运动员成绩的方差为　　　　　环2. 
解析:由表中数据可得x甲=90环,x乙=90环.
于是s甲2=15[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4(环2),s乙2=15[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2(环2).由s甲2>s乙2,可知乙运动员成绩稳定.故应填2.
答案:2
15.设A,B是非空集合,则A∩B=A是A=B的　　　　　　条件. 
解析:①若A∩B=A,则A⊆B,A⊆B得不到A=B,
∴A∩B=A不是A=B的充分条件.
②若A=B,则A∩B=A,
∴A∩B=A是A=B的必要条件.
∴A∩B=A是A=B的必要不充分条件.
答案:必要不充分
16.已知函数f(x)=2-x-1,x≤0,x,x>0.若f(f(x0))=1,则x0=　　　　　. 
解析:若x0=0,则f(x0)=f(0)=2-0-1=0,f(f(x0))=f(0)=0,不符合题意.
若x0<0,则f(x0)=2-x0-1>0,
从而f(f(x0))=f(2-x0-1)=2-x0-1=1,
解得x0=-1.
若x0>0,则f(x0)=x0>0,
从而f(f(x0))=x0=1,解得x0=1.
故x0=-1或x0=1.
答案:-1或1
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.
解:∵全集为R,A∪B={x|2<x<10},
∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}.
∵A={x|3≤x<7},
∴∁RA={x|x<3或x≥7}.
∴(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.
18.(12分)不用计算器求下列各式的值:
(1)21412-(-9.6)0-338-23+(1.5)-2;
(2)log34273+lg 25+lg 4+7log72.
解:(1)原式=9412-1-278-23+32-2
=322×12-1-323×-23+32-2
=32-1-32-2+32-2=12.
(2)原式=log33343+lg(25×4)+2
=log33-14+lg102+2=-14+2+2=154.
19.(12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2018年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.
组号
分组
频数
1
[4,5)
2
2
[5,6)
8
3
[6,7)
7
4
[7,8]
3

(1)现从融合指数在区间[4,5)和区间[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在区间[7,8]内的概率;
(2)根据分组统计表,求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
解:(1)(方法一)融合指数在区间[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在区间[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.
从融合指数在区间[4,5)和区间[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共有10种等可能的结果.
其中,至少有1家融合指数在区间[7,8]内的可能结果是(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),共9种.
故所求的概率P=910.
(方法二)(1)融合指数在区间[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;
融合指数在区间[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.
从融合指数在区间[4,5)和区间[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共有10种等可能的结果.
其中,没有1家融合指数在区间[7,8]内的可能结果是(B1,B2),共1种.
故所求的概率P=1-110=910.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数为4.5×220+5.5×820+6.5×720+7.5×320=6.05.
20.(12分)设f(x)=x+2(x≤-1),x2(-1<x<2),2x(x≥2).
(1)在下列直角坐标系中画出f(x)的图象;
(2)若f(t)=3,求t的值;
(3)用单调性定义证明函数在区间[2,+∞)上单调递增.

解:(1)如图:

(2)由函数的图象可得f(t)=3,即t2=3,且-1<t<2,因此,t=3.
(3)设2≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x1-2x2=2(x1-x2).
∵x1<x2,∴x1-x2<0.∴f(x1)<f(x2).
故f(x)在区间[2,+∞)上单调递增.
21.(12分)为了解某地高二年级女生的身高情况,从其中的一个学校随机选取容量为60的样本(60名女生的身高,单位:cm),分组情况如下:
身高分组/cm
[151.5,158.5)
[158.5,165.5)
[165.5,172.5)
[172.5,179.5]
频数
6
21

m
频率

a
0.1

(1)求表中a,m的值;
(2)画出频率分布直方图;
(3)试估计该地区高二年级女生身高不低于165.5 cm的概率.
解:(1)m=0.1×60=6,a=1-660-2160-0.1=0.45.
(2)
(3)由题意及所求a的值知这60名女生中身高不低于165.5cm的频率是0.45+0.1=0.55.故估计该地区高二年级女生身高不低于165.5cm的概率是0.55.
22.(12分)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)与时间t(单位:h)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=116t-a(a为常数),函数的大致图象如图所示.根据图中提供的信息,回答下列问题:

(1)写出从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y与时间t之间的函数关系式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?
解:(1)由题意和题图可知,当0≤t≤0.1时,可设函数关系式为y=kt(k>0).因为当t=0.1时,y=1,所以1=0.1k,解得k=10.所以y=10t(0≤t≤0.1).
当t≥0.1时,由t=0.1,y=1,得1160.1-a=1,解得a=0.1.所以y与t的函数关系式为y=10t(0≤t≤0.1),116t-110(t>0.1).
(2)由题意得116t-110<14,即142t-15<14,解得t>35(h).
故至少需要经过0.6h后,学生才能回到教室.