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2021-2022学年高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语章末综合提升学案 新人教B版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语章末综合提升学案 新人教B版必修第一册

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第1章 集合与常用逻辑用语

[教师用书独具]

类型1　集合的交集、并集、补集运算
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得，有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式或方程，再进行集合运算，还有的集合问题比较抽象，解题时需借助维恩图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．
【例1】　已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．
(1)用列举法表示集合A与B；
(2)求A∩B及∁U(A∪B)．
[解]　(1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．
(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，
所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}．

1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)

A．{4} B．{2,4}
C．{4,5} D．{1,3,4}
A　[题图中阴影部分所表示的是集合A中的元素除去与集合B相同的元素构成的集合，故题图中阴影部分所表示的集合是{4}，故选A．]
类型2　集合关系与运算中的求参数问题
已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、维恩图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏．
【例2】　已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，B⊆A，则实数a的取值范围为________．
a＜－2或≤a＜1　[因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠∅.
画数轴如图所示，

由B⊆A知，a＋1＜－1，或2a≥1．
即a＜－2，或a≥.
由已知a＜1，所以a＜－2，或≤a＜1，
即所求a的取值范围是a＜－2或≤a＜1．]

2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B⊆A，求实数k的取值范围.
[解]　由题意知B≠∅，
由于B⊆A，在数轴上表示A，B，如图，

可得解得
所以k的取值范围是.
类型3　充分条件与必要条件
充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其它知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．
【例3】　已知集合A＝{x∈R|2x＋m＜0}，B＝{x∈R|x＜－1或x＞3}．
(1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？
[解]　(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件，则只要⊆{x|x＜－1或x＞3}，则只要－≤－1，即m≥2，故存在实数m≥2时，使x∈A是x∈B成立的充分条件．
(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件，则只要{x|x＜－1或x＞3}⊆，则这是不可能的，
故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件．

3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．
－或　[p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－.
由题意知p q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.
综上可知，a＝－或a＝.]
类型4　全称量词命题与存在量词命题
“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系
(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定其结论的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．
【例4】　(1)下列语句不是全称量词命题的是(　　)
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
(2)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则(　　)
A．p是假命题；¬p：∃x∈R，x2＜0
B．p是假命题；¬p：∃x∈R，x2≤0
C．p是真命题；¬p：∀x∈R，x2＜0
D．p是真命题；¬p：∀x∈R，x2≤0
(1) C　(2) B 　[(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C．
(2)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B．]

4．下列命题不是存在量词命题的是(　　)
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有些一元二次方程无解
D．有一个m使2－m与|m|－3异号
B　[选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]
5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．
存在一个能被7整除的数不是奇数　[原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]

1．(2020·全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)＝(　　)
A．{－2,3} B．{－2,2,3}
C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}
A　[由题意，得A∪B＝{－1,0,1,2}，所以∁U(A∪B)＝{－2,3}，故选A．]
2．(2020·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝(　　)
A．∅ B．{－3，－2,2,3}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
D　[法一：因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2,2}，故选D．
法二：A∩B＝{x|1<|x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<－1或1<x<3，x∈Z}＝{－2,2}．]
3．(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
B　[易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B．]
4．(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝(　　)
A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}
C　[A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝{x|1≤x<4}，故选C．]
5．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
C　[由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C．]
6．(2020·天津高考)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[解一元二次不等式a2＞a可得：a＞1或a＜0，据此可知：“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件．]