两圆的公切线.pdf

1.掌握求两圆内外公切线长的方法。2.掌握两圆内公切线的性质，并能根据内公切线的概念及 其性质解答有关的计算和证明问题。3.掌握用直尺作两圆内公切线的方法，了解用两圆内公切 线的尺规作图法。1.内公切线的概念：在上一讲的学习中，我们已经知道：和两个圆都相切 的直线，叫做两圆的公切线，若两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一 条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。2.内公切线的性质：两圆外离时，有两条内公切线、由圆的对称性可知这 两条内公切线的长相等，且两公切线的交点在连心线上，连心线平分两内公切线的夹角。如图所示：内公切线 AB=CD,AB与CD的交点P在连心线OQ2上，ZAPO=ZCPO?.1 L3.内公切线长的计算：如图，作OEAB交OzB的延长线于E,E构成 RtOiEO),JL/设。Oi和。2的半径分别为，R，则O?E=R+r,0.0=d,AB=OE=个cP-(R+r)2o例2、(教材例2)已知：。0和。2的半径分别 为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，AB是。O和。2的一条内公切线，切点分别是A,B.求：公切线的长AB。解：连结 OA、O2B,作 OA_LAB,o2bab.过作OiC_L()2B，交O2B的延长线于C,贝肛C=AB,OA=BC.A在 RtZ()2COi 和.01。02=10,O2C=O2B+0=6 J B/.Oz 7102-62=8(cm).CAAB=8(cm)4.范例解析：例1要做一个如图那个的V形架，将两个钢管托起，已知 钢管的外径分别为200mm和80mm,求V形角a的度数。例2已知。与。2的半径之和等于8cm,两圆的一条 内公切线长为6cm,求这两圆的圆心距。（如图）解：连结OB、。八 O2B,过5作OCAB交O2B延长 线于C,则O1A_LAB,O2BAB,四边形AOQB为矩形。AO1C=AB=6cm,OXA=BCO?C=O?B+BC=O.B+O A=8cmi2=a/82+62=10（cm）例3如图5,已知。Oi和。2的内公切线CD和外公切 线AB分别与连心线。1。2相交于P、Q，BO4P OF _ iQ 求证：底一西 分析：Q直接证明这个比例式较困难,为此先看比黑，2注意CD为内公切线，连OQ、。2口可得OQ/O2D,因此可得照=空，09P 09D同样注意需和AB为公切线，连。声、02A可得。声。2人，可知黑=黑1 乙 1 乙 02Q 02A9而O1C=C2B，o2a=o2d,得罄，故可以得证.证明：连结0、OB、O,A O.DCD为。O和。O2的内公切线.O1CCD,O2DCD0(0rD OP_O】Co 07-0,又AQ为。O1和。2的外公切线AO1BAB,O?AAB 1 40 xQ _ 0 xA o2q o2b，OB。/VO1C=O1B,O,D=O2A M _ OQ02P。2、本讲着重介绍了求内公切长的方法、内公切线的性质、内 公切线的作法以及内公切线条数与两圆位置之间的联系，这些都 是有关内公切线的基本知识，应当认真体会，确实掌握好。内公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质，例如内 公切线垂直过切点的半径。在解答有关内公切的问题时，常常要 连结圆心和切点，得出垂直关系，并且据此可以推出两圆外切时,内公切线垂直连心线。如集两圆外切瓦内切时，过切点作两圆的公切线是解题时 常用的辅助线，因为这条切线是两圆公共的切线，其作用是可以 构成两个图中的有关角的关系，从而为利用弦切角、圆周角、圆 心角等的性质创造了条件。由此达到计算和论证的目的。i.篇向半径分别为8和5,若两圆共有三条公切线，那么圆心距 伪（）A.d=3 B.3d132.。与。C2的半径分别为万cm和万cm,O1O2=2x/6cm,贝|（）A.两圆有两条外公切线，有且只有一条内公切线。B.两圆既有两条外公切线，又有两条内公切线。C.两圆只有两条外公切线，没有内公切线。D.两圆既无外公切线，又无内公切线。3.若。O和。2的半径分别为3cm和km,其内公切线长为 4cm,则。1（）2 长为。4.两圆外离，圆心距为25cm,两圆的周长为15?rcm和lOircm,则内公切线与连心线的夹角（锐角）等于。5.已知：如图(6),。1与。2外切于点T，外公切线AB 与连心线。1。2交于P，A、B是切点，求证：(l)NATB=90。；(2)PT2=PB PA.6.若两圆内切时，圆心距为14cm,外切时，圆心距为40cm,则两圆圆心距为50cm时，内公切线的长为 cmo7.若外离两圆的半径是5cm和3cm,内公切线与连心线所夹 锐角的正弦为高，则内公切线长cm,圆心距为emo8.如图所示，已知两圆的内公切线互相垂直，若两圆的 半径分别为5和4厘米，则两圆圆心距为（）A.9cmB.972cmC -y72cmD 741 cm上集与。2外离，线的交点，则AB防长（A.等于一条外公切的长。A、10.已知：如图，两圆外切于p，直线MN与两圆分别切于 M、N,过P彳乍一直磁交两圆于A、B,求证：AM1BN.课外作业1.如果两圆半径分别为4cm和6cm,其圆心距为20cm,贝！|两圆的两条内公切线所成的角是 度。2.两圆的半径分别为2.5和L5,圆心距为5,则两圆的内公切线 长为 o3.两圆共有四条公切线，如果两圆圆心距为12,大圆半径为7,则小圆半径的所有可能的正整数值是。4.已知：如图(7),。1与。2外切于点A，BC是。Oi和 的外公切线，B、C为切点，过A作直线EF交。O于E,交。2于F，连结EB、FC并延长交于G,求证：GB2+GC2=BC2oF5.如图(8),。1与。CD2外切于E点，AF是外公切线，直线 AB、CD过点E,分别与。交于点A、C、B、D,若AF=2AE,3AE=2CE,AF=4,求DE的长。6.若两圆外离且外公切线长m与内公切线长n的大小关系 是（）A.mn B.m=n C.m O.DCD为。O和。O2的内公切线.O1CCD,O2DCD0(0rD OP_O】Co 07-0,又AQ为。Oi和。2的外公切线AO1BAB,O?AAB 1 40 xQ _ 0 xA o2q o2b，OB。/VO1C=O1B,O,D=O2A M _ OQ02P。2、9.设相离的半径分别为4cm和2cm,且它们的两条内公切线互相垂直，则内公切线的长为 cmo10.若两外切，内公切线和一条外公切线相交成60。的角,则小圆半径与大圆半径之比为 O