垂直平分线与角平分线讲义.doc

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线段的垂直平分线与角平分线
知识要点详解
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
几何语言：∵ CD是线段AB的垂直平分线 ∴CA=CB
定理的作用：证明两条线段相等
（2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：∵ CA=CB ∴ 点C在线段AB的垂直平分线
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OA＝OB＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
几何语言表示：∵ OE是∠AOB的平分线，CF⊥OA，DF⊥OB ∴CF＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
几何语言表示：∵ PC⊥OA，PD⊥OB， PC＝PD，∴点P在∠AOB的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.

线段垂直平分线练习题
B
C
D
E
A
1　如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，
求AC的长度

B

2已知：
1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点 E，如果△EBC的周长是24cm，
那么BC=
2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，
那么△EBC的周长是
3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是

3、已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC。 求证：点O在BC的垂直平分线
N
A

B
C
O

4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，
求证：BD＝AC＋CD.
证明：

测一测：
1、如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）
A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对
2、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
3、下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，
求证：AO⊥BC.

5、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线
MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.

6、如图，在△ABC中，∠ABC=120°，点D是AB延长线和AC垂直平分线的交点。联接CD，这时BC恰好
平分∠DCA。求∠A的度数。

角平分线练习题
1、已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点， PB=PC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别是E、F。
求证：PE=PF

2、如图10，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，EF⊥AD，E为BC中点，连接AE、DE，
DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.

3、如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等.

测一测
1、 △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。
2、 如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。

3、三角形中到三边距离相等的点是（　　）
A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点　
C、三条中线的交点　 D、三条角平分线的交点
4、如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）
A、PD＝PE　 　B、OD＝OE　 　C、∠DPO＝∠EPO　 　D、PD＝OD
5、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，
则可供选择的地址有（　　） A、4处　　 B、3处　　 C、2处　　　D、1处
6、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，
则△DEB的周长为（　　） A、4㎝　 　B、6㎝　 　C、10㎝　 　D、不能确定

第4题 第5题 第6题
7、如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（　）
A、TQ＝PQ　　B、∠MQT＝∠MQP　　C、∠QTN＝90°　　D、∠NQT＝∠MQT

第7题 第8题 第9题
8、如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
9、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；
③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①和② D．①②③
10、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.

12、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，
求证：AM平分∠DAB.

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