2021-2022学年高中数学-第三章-不等式-2.1-一元二次不等式的解法教案-北师大版必修5.doc

2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 2.1 一元二次不等式的解法教案 北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 2.1 一元二次不等式的解法教案 北师大版必修5

年级：
姓名：

§2　一元二次不等式
2.1　一元二次不等式的解法
学
习
目
标
1.通过实例了解一元二次不等式的含义.(数学抽象)
2.掌握一元二次不等式的解法,弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的内在联系.(数学运算)
3.能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来.(逻辑推理)
4.能够利用分类讨论方法,求解简单的含字母的一元二次不等式.(数学抽象、数学运算)
【必备知识·自主学习】
导思
1.一元二次不等式的形式是怎样的?
2.如何求解一元二次不等式?
1.一元二次不等式及其解集
(1)形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
(2)一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值,叫作这个一元二次不等式的解,一元二次不等式的所有解的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.
【思考】
一元二次不等式中未知数的最高次数是多少?
提示:一元二次不等式中未知数的最高次数是2.
2.
判别式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
函数
y=f(x)(a>0)的示意图

方程f(x)=0的解
有两相异实根x=x1或x=x2
有两相同实根x=x1=x2
无实根
不等式的解集
f(x)>0
(-∞,x1)∪
(x2,+∞)
(-∞,x1)∪
(x1,+∞)
R
f(x)<0
(x1,x2)
⌀
⌀
【思考】
在解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)时,若ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),还需要判断Δ的符号吗?
提示:不需要,因为此时方程ax2+bx+c=0一定有解,即Δ≥0一定成立.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式x2>y是一元二次不等式. (　　)
(2)不等式x2≥0的解集是R. (　　)
(3)存在实数x,满足x-1>x2. (　　)
提示:(1)×.不等式x2>y是二元二次不等式.
(2)√.对于任意实数x,不等式x2≥0恒成立, 所以不等式x2≥0的解集是R.
(3)×.不等式x-1>x2即x2-x+1<0,
因为二次函数y=x2-x+1=+的图像恒在x轴上方,所以不存在实数x,满足x-1>x2.
2.若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2),则下列说法不正确的是 (　　)
A.函数y=ax2+bx+c的零点为1,2
B.关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为1,2
C.函数y=ax2+bx+c的图像开口向上
D.ax2+bx+c<0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞)
【解析】选C.因为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2),所以函数y=ax2+bx+c的零点为1,2,即关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为1,2,函数y=ax2+bx+c的图像开口向下,不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞).
3.(教材二次开发:例题改编)不等式-x2-x+2≥0的解集是(　　)
A.{x|x≤-2或x≥1} B.{x|-2<x<1}
C.{x|-2≤x≤1} D.∅
【解析】选C.由-x2-x+2≥0,整理得x2+x-2≤0,即(x+2)(x-1)≤0,解得-2≤x≤1,即该不等式的解集为{x|-2≤x≤1}.
【关键能力·合作学习】
类型一　解简单的一元二次不等式(数学运算)
【题组训练】
1.不等式≤的解集为 (　　)
A.[-1,3] B.[-3,-1]
C.[-3,1] D.[1,3]
2.(2020·济宁高一检测)不等式2x2-x-3>0的解集为 (　　)
A. B.
C. D.
3.(2020·邯郸高一检测)不等式-2x2+3x+14≥0的解集为 (　　)
A.(-∞,-2]∪ B.∪[2,+∞)
C. D.
【解析】1.选C.≤得≤2-1,故x2+2x-4≤-1,所以x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.
2.选B.由2x2-x-3>0,可得(2x-3)(x+1)>0,解得x>或x<-1.即该不等式的解集为.
3.选D.因为-2x2+3x+14≥0,所以-(2x-7)(x+2)≥0,
解得-2≤x≤.
【解题策略】
一元二次不等式的求解步骤
(1)通过对不等式的变形,使不等式右边为零,左边二次项系数大于零,即将不等式化为ax2+bx+c>0(≥0)(a>0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a>0);
(2)计算出相应的一元二次不等式的判别式;
(3)求出一元二次方程ax2+bx+c=0的实根(或判断相应方程有没有实根);
(4)结合函数图像写出不等式的解集.
简记为:一看、二判、三求、四写.
提醒:(解集记忆口诀,a>0)大于零取两边,小于零取中间.
【补偿训练】
在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 (　　)
A.(0,2) B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)
【解析】选B.由a☉b=ab+2a+b,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2<0,所以-2<x<1.
类型二　解含参数的一元二次不等式(逻辑推理)
【典例】(2020·焦作高一检测)已知ax2+2ax+1≥0恒成立,解关于x的不等式x2-x-a2+a<0.
四步
内容
理解
题意
恒成立指的是无论x为何值,此不等式始终成立
思路
探求
先根据恒成立分析出a的范围,然后根据a的范围分类讨论求解不等式的解集.
书写
表达
当a=0时,1≥0,不等式恒成立;
当a≠0时,则
解得0<a≤1.综上0≤a≤1.
由x2-x-a2+a<0得(x-a)[x-(1-a)]<0.因为0≤a≤1,
所以①当1-a>a即0≤a<时a<x<1-a;
②当1-a=a,即a=时<0,不等式无解;
③当1-a<a,即<a≤1时1-a<x<a.
综上,当0≤a<时,原不等式的解集为{x|a<x<1-a};当a=时,原不等式的解集为∅;
题后
反思
本题考查根据分类讨论的方法求解不等式解集,难度一般.对于所解不等式中含有字母的情况,首先要思考是否需要对字母分类讨论,然后再考虑求不等式解集.
【解题策略】
含参数的一元二次不等式的解法策略
(1)当二次项系数不确定时,要分二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行讨论.
(2)判别式大于零时,只需讨论两根大小.
(3)判别式不确定时,要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论.
【跟踪训练】
解关于x的不等式:ax2-2(a+1)x+4<0(a>0).
【解析】因为a>0,所以原不等式化为:a(x-2)<0,
①当0<a<1时,2<,
此时原不等式的解集为;
②当a>1时,<2,
此时原不等式的解集为;
③当a=1时,原不等式的解集为⌀.
类型三　“三个二次”之间的关系(逻辑推理)
　角度1　由不等式的解集确定参数值 
【典例】(2020·新余高一检测)不等式cx2+5x+a>0的解集为,则a、c的值为 (　　)

A.6,1 B.-6,-1
C.1,1 D.-1,-6
【思路导引】根据不等式的解集,即为不等式对应方程的两个根,由根与系数的关系即可求得.
【解析】选D.因为不等式cx2+5x+a>0的解集为
,故方程cx2+5x+a=0对应的两根为和.故可得c≠0,-=+,=
解得c=-6,a=-1.
【变式探究】
关于x的不等式ax2+2x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围为 (　　)
A.{a|a>1} B.{a|a<-1}
C.{a|a=0或a≥1} D.{a|a=0或a≤-1}
【解析】选B.当a=0时,2x-1≥0,即x≥,不符合题意;当a≠0时,因为关于x的不等式ax2+2x-1≥0的解集为空集,即所对应方程ax2+2x-1=0无实根,且a<0,所以Δ=4+4a<0,解得a<-1,故实数a的取值范围是{a|a<-1}.
　角度2　与不等式有关的恒成立问题 
【典例】已知:f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求y=f(x)的解析式.
(2)c为何值时,ax2+bx+c≤0的解集为R.
【思路导引】(1)由不等式的解集可联想到相应方程的解.
(2)由ax2+bx+c≤0的解集为R以及Δ的取值,可考虑相应二次函数的图像位置情况、相应方程解的个数进而求解.
【解析】(1)因为不等式f(x)>0的解集为x∈(-3,2).
所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根.
所以且a<0,可得
所以f(x)=-3x2-3x+18.
(2)由a<0,知二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下,要使不等式-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需Δ≤0,
即25+12c≤0,故c≤-.
所以当c≤-时,不等式ax2+bx+c≤0的解集为R.
【解题策略】
含参数的一元二次不等式的解法策略
(1)一元二次方程的根与一元二次不等式的解集间的关系
设一元二次不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2},{x|x1<x<x2}(x1<x2),则有
即不等式的解集的端点值是相应方程的根.
(2)与一元二次不等式有关的题型与方法.
方法
解　读
适合题型
判别
式法
(1)ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立的条件是
(2)ax2+bx+c≤0对任意实数x恒成立的条件是
二次不等式在R上恒成立
分离
参数
法
如果不等式中的参数比较“孤单”,分离后其系数与0能比较大小,便可将参数分离出来,利用下面的结论求解:a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
主参
换位
法
把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立的问题,若f(x)>0恒成立⇔
若f(x)<0恒成立⇔
若在分离参数时遇到讨论参数与变量,使求函数的最值比较麻烦,或者即使能容易分离出却难以求出时
【题组训练】
1.若不等式ax2+bx-2>0的解集为,则实数a,b的值分别是 (　　)
A.a=-4,b=9 B.a=4,b=9
C.a=-4,b=-9 D.a=-1,b=2
【解析】选C.由题意得,-2、-为方程ax2+bx-2=0的两个根,由根与系数的关系可得
解得
2.(2020·北京高一检测)若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-2,2] B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2]
【解析】选A.由题意可知不等式(m-2)x2+(2m-4)x-4<0对任意x∈R恒成立.①当m-2=0时,
即当m=2时则有-4<0,合乎题意;
②当m-2≠0时,
则,
解得-2<m<2.
综上所述,实数m的取值范围是(-2,2].
3.设f(x)=(m+1)x2-mx+m-1.
(1)当m=1时,求不等式f(x)>0的解集.
(2)若不等式f(x)+1>0的解集为,求m的值.
【解析】(1)当m=1时,不等式f(x)>0为2x2-x>0,
因此所求解集为(-∞,0)∪.
(2)不等式f(x)+1>0,
即(m+1)x2-mx+m>0,
由题意知,3是方程(m+1)x2-mx+m=0的两根,
因此⇒m=-.
【补偿训练】
不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2},则a-b=　　　　. 
【解析】由题意,得,　
解得.
所以a-b=0.
答案:0
【课堂检测·素养达标】
1.不等式x2+2x-3≥0的解集为 (　　)
A.{x|x≥3或x≤-1} B.{x|-1≤x≤3}
C.{x|x≥1或x≤-3} D.{x|-3≤x≤1}
【解析】选C.由x2+2x-3≥0整理可得(x-1)(x+3)≥0,解得x≥1或x≤-3.
2.若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(0,1)
C.(-∞,0]∪(1,+∞) D.[0,1]
【解析】选B.因为一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,所以解得0<a<1,即a的取值范围是.
3.(教材二次开发:习题改编)已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|-1<x<1},则A∩B= (　　)
A.{x|-1<x<2} B.{x|x<-1或x>2}
C.{x|0<x<1} D.{x|x<0或x>1}
【解析】选C.由题意可得A={x|0<x<2},B={x|-1<x<1},所以A∩B={x|0<x<1}.
4.下列四个不等式:
①-x2+x+1≥0; ②x2-2x+>0;
③x2+6x+10>0; ④2x2-3x+4<1.
其中解集为R的是　　　　. 
【解析】①中a=-1,Δ=12-4×(-1)×1>0,解集不为R;
②中Δ=(-2)2-4×>0,解集不为R;
③中Δ=62-4×10<0.满足条件;
④中不等式可化为2x2-3x+3<0,所对应的二次函数图像开口向上,显然不可能.
答案:③
5.求不等式4x2-4x+1>0的解集.
【解析】因为Δ=(-4)2-4×4×1=0,
所以方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,
所以原不等式的解集为{x|x≠}.