2021-2022学年高中数学-第四章-圆与方程-4.1.2-圆的一般方程学案-新人教A版必修2.doc

2021-2022学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2

2021-2022学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2

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4.1.2　圆的一般方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)
2．会在不同条件下求圆的一般式方程．(重点)
1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学核心素养．
2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学核心素养．

圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为．
思考：所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？
[提示]　不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆．
当D2＋E2－4F＝0时表示点.
当D2＋E2－4F<0时不表示任何图形．

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A.(2，3)　 B．(－2，3)
C.(－2，－3) D．(2，－3)
D　[－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).]
2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　)
A.k≤ B．k＝
C.k≥ D．k<
D　[方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k<.]
3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C.x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
D　[由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.]
4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．
　[∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝＝，∴m＝.]

圆的一般方程的概念
【例1】　(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)
A.R　 B．(－∞，1)
C.(－∞，1] D．[1，＋∞)
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(1)B　(2)(－2，－4)　5　[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1).故选B.
(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．]

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．

1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
[解]　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．
∴它不能表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，
∴它表示以为圆心，为半径的圆．

求圆的一般方程
【例2】　求经过两点A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
[解]　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2.①
又A(4，2)，B(－1，3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.

待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.

2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．
[解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为.
∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B，∴·＝－1，
即E－3D－36＝0.①
∵(－2，－4)，(8，6)在圆上，
∴2D＋4E－F－20＝0，②
8D＋6E＋F＋100＝0.③
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，
故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.

与圆有关的轨迹方程问题
[探究问题]
1．已知点A(－1，0), B(1，0)，则线段AB的中点的轨迹是什么？其方程又是什么？
[提示]　线段AB的中点轨迹即为线段AB的垂直平分线，其方程为x＝0.
2．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？
[提示]　设M(x，y)，由题意有＝2，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
思路探究：(1)→→
(2)→→→
[解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y).
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．

3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．

[解]　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).

1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．

标准方程
一般方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝y2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
过(0，0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程，体现数学运算的核心素养．
3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．

1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A．一个点　 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2).]
2．若a∈{－2，0，1，3}，则方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0表示的圆的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
C　[由(3a)2＋a2－4＞0，得a＜1，满足条
件的a只有－2与0，所以方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0表示的圆的个数为2.]
3．圆心是(－3，4)，经过点M(5，1)的圆的一般方程为________．
x2＋y2＋6x－8y－48＝0　[只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程即可．]
4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．
4　[由题意，知D＝－4，E＝8，r＝＝4，∴F＝4.]
5．已知圆心为C的圆经过点A(1，0)，B(2，1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程．
[解]　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆心C在y轴上，∴D＝0.
又∵A(1，0)，B(2，1)在圆上，
∴解得
所以所求的圆的一般方程为x2＋y2－4y－1＝0.