2021-2022学年高中数学-第四章-圆与方程-4.1.2-圆的一般方程学案-新人教A版必修2.doc
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1、2021-2022学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修22021-2022学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2年级:姓名:4.1.2圆的一般方程学 习 目 标核 心 素 养1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径(重点)2会在不同条件下求圆的一般式方程(重点)1. 通过圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算的数学核心素养2. 通过学习圆的一般方程的应用,培养数学运算的数学核心素养圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念:当D2E24F0时,二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程(2)圆的
2、一般方程对应的圆心和半径:圆的一般方程x2y2DxEyF0 (D2E24F0)表示的圆的圆心为,半径长为思考:所有形如x2y2DxEyF0的二元二次方程都表示圆吗?提示不是,只有当D2E24F0时才表示圆当D2E24F0时表示点.当D2E24F0时不表示任何图形1圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A.(2,3)B(2,3)C.(2,3) D(2,3)D2,3,圆心坐标是(2,3).2方程x2y2xyk0表示一个圆,则实数k的取值范围为()A.k BkC.k Dk0k0,解得k1.故实数k的取值范围是(,1).故选B.(2)由题可得a2a2,解得a1或a2.当a1时,方程为x2y24x8y50
3、,表示圆,故圆心为(2,4),半径为5.当a2时,方程不表示圆形如x2y2DxEyF0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义令D2E24F0,成立则表示圆,否则不表示圆(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解,应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解1下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径(1)2x2y27y50;(2)x2xyy26x7y0;(3)x2y22x4y100;(4)2x22y25x0.解(1)方程2x2y27y50中x2与y2的系数不相同,它不能表示圆(2)方程x2
4、xyy26x7y0中含有xy这样的项它不能表示圆(3)方程x2y22x4y100化为(x1)2(y2)25,它不能表示圆(4)方程2x22y25x0化为y2,它表示以为圆心,为半径的圆求圆的一般方程【例2】求经过两点A(4,2),B(1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程解设圆的一般方程为x2y2DxEyF0,令y0,得x2DxF0,所以圆在x轴上的截距之和为x1x2D;令x0,得y2EyF0,所以圆在y轴上的截距之和为y1y2E;由题设,x1x2y1y2(DE)2,所以DE2.又A(4,2),B(1,3)两点在圆上,所以1644D2EF0,19D3EF0,由可得D2,E0,F1
5、2,故所求圆的方程为x2y22x120.待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D、E、F.2求经过点A(2,4)且与直线x3y260相切于点B(8,6)的圆的方程解设所求圆的方程为x2y2DxEyF0,则圆心坐标为.圆与x3y260相切于点B,1,即E3D360.(2,4),(8,6)在圆上,2D4EF200,8D6EF1000.联立,解得D11,E3,F30,故所求圆的方程为x2y2
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