《算法设计与分析》-第二章-递归与分治17037-404.ppt
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1、算法设计与分析算法设计与分析-第二章第二章 递归与递归与分治分治1703717037第二章第二章 递归与分治递归与分治l2.1 分治法的基本思想l2.2 分治法的适用条件l2.3 分治法的基本步骤l2.4 分治法的应用2.1 分治法(分治法(divide-and-conquer)的基本)的基本思想思想l为求解大问题,可以:分割成k个更小规模的子问题。对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。l将要求解的较大规模的问题分割
2、成k个更小规模的子问题。2.1 分治法的基本思想分治法的基本思想nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=l对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。l对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)
3、T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)2.1 分治法的基本思想分治法的基本思想l将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n
4、/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)2.1 分治法的基本思想分治法的基本思想nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T
5、(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)2.1 分治法的基本思想分治法的基本思想l将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。个击破,分而治之。2.1 分治法的基本思想分治法的基本思想2.1 分治法的基本思想分治法的基本思想2.2 分治法的适用条件分治法的适用条件分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:分治法所能解决的问题一般具有以下几个特
6、征:分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:l该问题的的规模模缩小到一定的程度就可以容易地解决;小到一定的程度就可以容易地解决;l该问题可以分解可以分解为若干个若干个规模模较小的相同小的相同问题,即,即该问题具有具有最优子结构性质最优子结构性质l利用利用该问题分解出的子分解出的子问题的解可以合并的解可以合并为该问题的的解;解;l该问题所分解出的各个子所分解出的各个子问题是相互独立的,即子是相互独立的,即子问题之之间不包含公共的子不包含公共的子问题。2.3 分治法的基本步骤分治法的基本步骤divide-and-conquer(P)if(|P|=n0)a
7、dhoc(P);/解决小规模的问题 divide P into smaller subinstances P1,P2,.,Pk;/分解问题 for(i=1,i1时,perm(R)由(r1)perm(R1),(r2)perm(R2),(rn)perm(Rn)构成。2.4 分治法的应用分治法的应用全排列算法全排列算法lvoid perm(int list,int k,int m)l/产生listk.m的所有排列l/其中list0.k-1是前缀,后缀是listk.ml/调用perm(list,0,n-1)则产生list0.n-1的全排列lif(k=m)l For(i=0;i=m;i+)l Print
8、f(“%d”,listi);l Printf(“n”);llelsel For(i=k;i=m;i+)l Swap(listk,listi);l Perm(list,k+1,m);l Swap(listk,listi);l ll例例3 二分搜索技术二分搜索技术二分搜索技术二分搜索技术给定已按升序排好序的定已按升序排好序的n个元素个元素a0:n-1,现要在要在这n个个元素中找出一特定元素元素中找出一特定元素x。分析:分析:该问题的的规模模缩小到一定的程度就可以容易地解决;小到一定的程度就可以容易地解决;该问题可以分解可以分解为若干个若干个规模模较小的相同小的相同问题;分解出的子分解出的子问题的解
9、可以合并的解可以合并为原原问题的解;的解;分解出的各个子分解出的各个子问题是相互独立的。是相互独立的。2.4 分治法的应用分治法的应用二分搜索算法二分搜索算法:int binarySearch(int a,int x,int n)left=0;right=n-1;while(left amiddle)left=middle+1;else right=middle-1;return-1;/未找到x 思考思考思考思考题题:写出二分搜索的:写出二分搜索的:写出二分搜索的:写出二分搜索的递归递归算法算法算法算法。l例例3 二分搜索技术二分搜索技术二分搜索技术二分搜索技术2.4 分治法的应用分治法的应用
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