排列组合归纳总结.doc

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排列、组合及二项式定理
一、计数
yi 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 →
1.分类加法计数原理定义
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事情共有N＝m1+ m2+…+mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理定义
完成一件事情需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有N＝m1 m2…mn种不同的方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系
联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数．
区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
4. 分类分步标准
分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。
分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。
→ 排列与组合
1．排列
（1）排列定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
（2）排列数公式：A＝=n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成A＝.特殊: An n=n!=n(n-1)!
（3）特征：有序且不重复
2.组合
（1）组合定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
（2）组合数公式：C＝=或写成C＝.
(3)组合数的性质
①C＝C；
②C＝C＋C.
（4）特征：有序且不重复

3.排列与组合的区别与联系：
区别：排列有序，组合无序
联系：排列可视为先组合后全排
4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。
→排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法）
1.抽取问题：
（1）关键：特殊优先；
（2）题型：① 把n个相同的小球，一次性的放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Cmn
②把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn
③把n个相同的小球，放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？mn
④把n个不同的小球，放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn
⑤把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（n≥m），每个盒子至多1个，有多少种不同的方法？Cn-1m-1 隔板法
2.排序问题：特殊优先
（1）排队问题：
① 对n个元素做不重复排序Ann;
② 对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定）排列;如果对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定,k个元素的位置固定）排列;
③ 相邻问题—捆绑法(注意松绑);
④不相邻问题:(a)一方不相邻—先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位; (b)互不相邻先排少的在插入多的;
(2)数字问题;
①各位相加为奇数的-----奇数的个数是奇数;
②各位相加为偶数的-----奇数的个数是偶数;
③组成n为偶数(奇数)的数----特殊优先法;
④能被n整除的数-----特殊优先法;
⑤比某数大的数,比某数小的数或某数的位置----从大于(小于)开始排,再排等于;
(3)着色问题:
①区域优先-----颜色就是分类点;
②颜色优先-----区域就是分类点.
(4)几何问题:①点、 线、 面的关系一般均为组合问题；

B

A
②图中有多少个矩形 C62 C42;从A到B
的最短距离 C83
(5)分组、分配问题：
①非均分不编号;n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽---
②非均分编号;n个不同元素分成m组，每组组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
③均分不编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
④均分编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
二、二项式定理
1.定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0,1,2，…，n)．
2.二项展开式的通项
Tr＋1＝Can－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中C叫做二项式系数．
3.二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，
即C＝C，C＝C，…，C＝C，….
②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数
取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数
， 相等，且同时取得最大值．
③各二项式系数的和
a．C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；
b．C＋C＋…＋C＋…＝C＋C＋…＋C＋…＝·2n＝2n－1.
→二项式定理的应用：
1.求通项;
2.含xr的项：① 项的系数；②二项式系数。
3.常数项（含xr的项中r=0）整数项（含xr的项中r∈N）有理项（含xr的项中r∈Z）无理项（含xr的项中rZ）
4.项的系数和：
（1）已知多项式f(x)=(a+bx)n(a,b>0)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn:
①a0 =f（0）
②a0 +a1+a2+…+an = f(1)= (a+b)n;
③|a0 |+|a1 |+|a2 |+…+|an |= f(1)= (a+b)n;
④a0 +a2+a4+…=
⑤a1 +a3+a5+…=
⑥(a0 +a2+a4+…)2-( a1 +a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。
（2）已知多项式f(x)=(a-bx)n(a,b>0)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn:
①a0 =f（0）
②a0 +a1+a2+…+an = f(1)= (a-b)n;
③|a0 |+|a1 |+|a2 |+…+|an |= f(-1)= (a+b)n;
④a0 +a2+a4+…=
⑤a1 +a3+a5+…=
⑥(a0 +a2+a4+…)2-( a1 +a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。
(3) 已知多项式f(x)=(ax-b)n(a,b>0)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn:
令g(x)=（-1）n(b-ax)n
①a0 =f（0）
②a0 +a1+a2+…+an = f(1)= (a-b)n;
③|a0 |+|a1 |+|a2 |+…+|an |=|(-1)n|g(-1)
④a0 +a2+a4+…=
⑤a1 +a3+a5+…=
⑥(a0 +a2+a4+…)2-( a1 +a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。
(4) 已知多项式f(x)=(-ax-b)n(a,b>0)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn:
令g(x)=（-1）n(ax+b)n
①a0 =f（0）
②a0 +a1+a2+…+an = f(1)= (a-b)n;
③|a0 |+|a1 |+|a2 |+…+|an |=|(-1)n|g(1)
④a0 +a2+a4+…=
⑤a1 +a3+a5+…=
⑥(a0 +a2+a4+…)2-( a1 +a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。
5.最值问题：
① 二项式系数最大：（a）当n为偶数时，二项式系数中， 最大；（b）当n为奇数时，二项式系数中， 最大
②项的是系数最大：表示第r+1项的系数
(a) 个项都为正数时最大;
(b) 一项为正一项为负时最大

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