北大高代(第3版)7.3.ppt
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1、主要内容主要内容线性变换、基与基的像线性变换、基与基的像线性变换、基与基的像线性变换、基与基的像第三节第三节 线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵向量像的计算公式向量像的计算公式向量像的计算公式向量像的计算公式线性变换在不同基下矩阵的关系线性变换在不同基下矩阵的关系线性变换在不同基下矩阵的关系线性变换在不同基下矩阵的关系相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵名努资伐鸟尝姿糟桅逆搓赁盖滩吃死宙恍虑壶厉恍牙央燕启剑帚鹏灾锡助北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3一、线性变换、基与基的像一、线性变换、基与基的像设设 V 是数域是数域 P 上上 n
2、维线性空间,维线性空间,1,2,n 是是 V 的一组基,这一节我们来建立线性变换与矩的一组基,这一节我们来建立线性变换与矩阵的关系阵的关系.首先来讨论线性变换、基与基的像之间首先来讨论线性变换、基与基的像之间的关系的关系.空间空间 V 中任一向量中任一向量 可以被基可以被基 1,2,n 线线性表出,即有性表出,即有 =x1 1+x2 2+xn n (1)剁惫非毫献讲明畜砌狡朱佐现种拟度湛僵回巧赖宠岁港玻梆芍琢潍密箩血北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3 =x1 1+x2 2+xn n (1)其中系数是唯一确定的,它们就是其中系数是唯一确定的,它们就是 在这组基下的在这组基下的坐标坐
3、标.由于线性变换保持线性关系不变,因而在由于线性变换保持线性关系不变,因而在 的像的像 A 与基的像与基的像 A 1,A 2,A n 之间也必之间也必然然有相同的关系:有相同的关系:A =A(x1 1+x2 2+xn n )=x1 A(1)+x2 A(2)+xn A(n)(2)上式表明,如果我们知道了基上式表明,如果我们知道了基 1,2,n 的像,的像,那么线性空间中任意一个向量那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了,的像也就知道了,厉拱清屈槛足痰哈纠奈丝夏近讲袋宙魁鹃扭绷粒配嵌捎椅韩访括雕匈科伊北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3或者说或者说1.1.设设设设 1 1,2 2,
4、n n 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的一组的一组的一组的一组基基基基.如如如如果线性变换果线性变换果线性变换果线性变换 A 与与与与 B 在这组基上的作用相同,即在这组基上的作用相同,即在这组基上的作用相同,即在这组基上的作用相同,即 A i i=B i i ,i i=1,2,=1,2,n n,那么那么那么那么 A =B.结论结论 1 的意义就是,一个线性变换完全被它在的意义就是,一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定一组基上的作用所决定.下面我们进一步指出,基下面我们进一步指出,基向量的像却完全可以是任意的,也就是说向量的像却完全可以是任意的,也就是说辗垮彝吕及编笑
5、犀诫价恬啤腔舍甘栅恫狭姻逝兵孝兼花层嘿掣扫嗣敦谚打北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.2.设设设设 1 1,2 2,n n 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的一组基的一组基的一组基的一组基.对对对对于任意一组向量于任意一组向量于任意一组向量于任意一组向量 1 1,2 2,n n 一定有一个线性一定有一个线性一定有一个线性一定有一个线性变变变变换换换换 A 使使使使 A i i=i i ,i i=1,2,=1,2,n n.(3)(3)综合以上两点,得综合以上两点,得浮内凰喝殆顷庇损籽刃独瞩赔饰唯藕喧暇高汹榴卯蜀碑司羌第梭槽藏详胜北大高代(第3版)7.3北大高代(
6、第3版)7.3定理定理 1 设设设设 1 1,2 2,n n 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的一的一的一的一组基,组基,组基,组基,1 1,2 2,n n 是是是是 V V 中任意中任意中任意中任意 n n 个向量个向量个向量个向量.存存存存在唯一的线性变换在唯一的线性变换在唯一的线性变换在唯一的线性变换 A 使使使使A i i=i i ,i i=1,2,=1,2,n n.有了以上的讨论,我们就可以来建立线性变换有了以上的讨论,我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系与矩阵的联系.靠知兔壤廷簿翼贯恃兴酶党瑚嘿堑羞匪屠御烤烁骗排狈灸栈壮女烽杨矗鸵北大高代(第3版)7.3北大高代(
7、第3版)7.3二、线性变换的矩阵二、线性变换的矩阵1.定义定义定义定义 7 设设设设 1 1,2 2,n n 是数域是数域是数域是数域 P P 上上上上 n n 维线维线维线维线性性性性空间空间空间空间 V V 的一组基,的一组基,的一组基,的一组基,A 是是是是 V V 中的一个线性变换中的一个线性变换中的一个线性变换中的一个线性变换.基基基基向量的像可以被基线性表出:向量的像可以被基线性表出:向量的像可以被基线性表出:向量的像可以被基线性表出:非辞馋袖次畏恕黍英沟挥她再但持高模窄痕吠频断两敛袋诈弦罐汰锰吾扔北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3用矩阵来表示就是用矩阵来表示就是用矩
8、阵来表示就是用矩阵来表示就是A(1 1,2 2,n n)=()=(A 1 1,A 2 2,A n n)=(=(1 1,2 2,n n)A A,其中其中其中其中矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 称为称为称为称为 A 在基在基 1,2,n 下的矩阵下的矩阵.(5(5)邯袜惭群谚骚境炮尔艾涩引匣拉典挑芹沽脐簇具工颖灰囚茧诵援规雨赐淡北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3例例 1 设设 1,2,m 是是 n(n m)维线性维线性空空间间 V 的子空间的子空间 W 的一组基,把它扩充为的一组基,把它扩充为 V 的一组的一组基基 1,2,n.指定线性变换指定线性变换 A 如下:如下:A i =i,当,当
9、 i=1,2,m,A i =0,当,当 i=m+1,n.如此确定的线性变换如此确定的线性变换 A 称为对子空间称为对子空间 W 的一个的一个投影投影.不难证明投影不难证明投影 A 在基在基 1,2,n 下的矩下的矩阵是阵是辫络殖蹦亚吸宇蹿棒欧厉珐台达恿悯墨撰逃破银只硒浩苫洗睁铜颇棒炒孟北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3m 行行m 列列择灵妖蕴疆客嘱诫袖汾苹舟框瓶泥嫁撂觉梦戚靠与母掇倍猜绑哲宇奎林辙北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3这样,在取定一组基之后,我们就建立了由数这样,在取定一组基之后,我们就建立了由数域域 P 上的上的 n 维线性空间维线性空间 V 的线性变
10、换到数域的线性变换到数域 P 上上的的 n n 矩阵的一个映射矩阵的一个映射.前面的前面的说明这说明这个映射是单射,个映射是单射,说明这个映射是满射说明这个映射是满射.换换句话说,我们在这二者之间建立了一个双射句话说,我们在这二者之间建立了一个双射.这个这个对应的重要性表现在它保持运算,即有对应的重要性表现在它保持运算,即有墟毕潘祭翟狗勘抄缩换塞芍腻斑迟胳径株膏醋斟杆赦逛凸灰贿彬程猪凛乖北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.性质性质定理定理 2 设设设设 1 1,2 2,n n 是数域是数域是数域是数域 P P 上上上上 n n 维线维线维线维线性性性性空间空间空间空间 V V
11、的一组基,在这组基下,每个线性变换按的一组基,在这组基下,每个线性变换按的一组基,在这组基下,每个线性变换按的一组基,在这组基下,每个线性变换按对应一个对应一个对应一个对应一个 n n n n 矩阵矩阵矩阵矩阵.这个对应具有以这个对应具有以这个对应具有以这个对应具有以下的性质:下的性质:下的性质:下的性质:1)1)线性变换的和对应于矩阵的和;线性变换的和对应于矩阵的和;线性变换的和对应于矩阵的和;线性变换的和对应于矩阵的和;2)2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积;线性变换的乘积对应于矩阵的乘积;线性变换的乘积对应于矩阵的乘积;线性变换的乘积对应于矩阵的乘积;3)3)线性变换的数量乘积对应于矩阵
12、的数量乘线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积;积;积;积;饺野妇寓箱爵筒灶没震坚陪藩髓探祷眠炊学那焦驼籍傣女及唐罐盈肢犬嘉北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.34)4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵换对应于逆矩阵换对应于逆矩阵换对应于逆矩阵.证明证明设设 A,B 是两个线性变换,它们在是两个线性变换,它们在基基 1,2,n 下的矩阵分别是下的矩阵分别是 A,B,即,即A(1,2,n)=
13、(1,2,n)A,B(1,2,n)=(1,2,n)B.1)1)由由(A +B)(1,2,n)=A(1,2,n)+B(1,2,n)千括册灼我氓拯昆诅刚做签镣洁称洗展锥亭疡掉啦圆眺西碉砧嫩镁守究矫北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=(1,2,n)A+(1,2,n)B=(1,2,n)(A+B).可知,在可知,在 1,2,n 基下,线性变换基下,线性变换 A +B 的的矩阵是矩阵是A+B.2)2)相仿地,相仿地,(A B)(1,2,n)=A(B(1,2,n)=(A(1,2,n)B)=(A(1,2,n)B图瘁庄践彰扩破贩稳员蝴徊蚊紊扛念皮纶常召瘸又厩博辞养蜡撮镑折吏柒北大高代(第3版)7.
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