必修四简单的三角恒等变换(附答案).docx
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1、_简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用知识点一半角公式及其推导 (1):sin ;(2):cos ;(3):tan (无理形式)(有理形式)思考1试用cos 表示sin 、cos 、tan .答案cos cos2sin212sin2,2sin
2、21cos ,sin2,sin ;cos 2cos21,cos2,cos ;tan2,tan .思考2证明tan .证明tan ,tan ,同理可证tan .tan .知识点二辅助角公式asin xbcos xsin(x)使asin xbcos xsin(x)成立时,cos ,sin ,其中称为辅助角,它的终边所在象限由点(a,b)决定辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用思考1将下列各式化成Asin(x)的形式,其中A0,0,|.(1)sin xcos xsin;(2)sin xcos xsin;(3)sin xcos x2sin;(4)sin xcos x2sin;(5)sin x
3、cos x2sin;(6)sin xcos x2sin.思考2请写出把asin xbcos x化成Asin(x)形式的过程答案asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中sin ,cos )题型一半角公式的应用例1已知cos ,为第四象限角,求sin 、cos 、tan .解sin ,cos ,tan .为第四象限角,为第二、四象限角当为第二象限角时,sin,cos,tan;当为第四象限角时,sin,cos,tan.跟踪训练1已知sin ,且3,求cos 和tan .解sin ,3,cos .由cos 2cos21得cos2.cos .tan 2. 题型二
4、三角恒等式的证明例2(1)求证:12cos2cos 22.(2)求证:.证明(1)左边12cos2cos 212cos 22右边所以原等式成立(2)原式右边所以原等式成立跟踪训练2证明:tan .证明左边tan 右边所以原等式成立题型三与三角函数性质有关的综合问题例3已知函数f(x)cos(x)cos(x),g(x)sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)(cos xsin x)(cos xsin x)cos2xsin2xcos 2x,f(x)的最小正周期T.(2)h(x)f(x)g(x)c
5、os 2xsin 2xcos(2x),当2x2k(kZ)时,h(x)有最大值.此时x的取值集合为x|xk,kZ跟踪训练3如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使OAB的周长最大?解设AOB,OAB的周长为l,则ABRsin ,OBRcos ,lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )RRsin()R.0,.l的最大值为RR(1)R,此时,即,即当时,OAB的周长最大构建三角函数模型,解决实际问题例4如图,ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮,其中AST是半径为90 m的扇形小山,其余部分都是平地一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点P
6、在ST上,相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上,求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值分析解答本题可设PAB并用表示PR、PQ.根据S矩形PQCRPQPR列出关于的函数式,求最大值、最小值解如图连接AP,设PAB(090),延长RP交AB于M,则AM90cos ,MP90sin .所以PQMB10090cos ,PRMRMP10090sin .所以S矩形PQCRPQPR(10090cos )(10090sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .令tsin cos (1t),则sin cos .所以S矩形PQCR10 0009 000t8 10
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