必修四简单的三角恒等变换(附答案).docx

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简单的三角恒等变换

[学习目标]　1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．

知识点一　半角公式及其推导
(1)：sin ＝± ；
(2)：cos ＝± ；
(3)：tan ＝± (无理形式)
＝＝(有理形式)．
思考1　试用cos α表示sin 、cos 、tan .
答案　∵cos α＝cos2－sin2＝1－2sin2，
∴2sin2＝1－cos α，∴sin2＝，
∴sin ＝± ；
∵cos α＝2cos2－1，∴cos2＝，
∴cos ＝± ；
∵tan2＝＝＝，
∴tan ＝± .
思考2　证明tan ＝＝.
证明　∵＝＝tan ，
∴tan ＝，同理可证tan ＝.
∴tan ＝＝.

知识点二　辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)
使asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)成立时，cos φ＝，sin φ＝，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．
思考1　将下列各式化成Asin(ωx＋φ)的形式，其中A>0，ω>0，|φ|<.
(1)sin x＋cos x＝sin；
(2)sin x－cos x＝sin；
(3)sin x＋cos x＝2sin；
(4)sin x－cos x＝2sin；
(5)sin x＋cos x＝2sin；
(6)sin x－cos x＝2sin.
思考2　请写出把asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)形式的过程．
答案　asin x＋bcos x
＝
＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝sin(x＋φ)
(其中sin φ＝，cos φ＝)．

题型一　半角公式的应用
例1　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan .
解　sin ＝± ＝± ＝±，
cos ＝± ＝± ＝±，
tan ＝± ＝±＝±.
∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．
当为第二象限角时，
sin＝，cos＝－，tan＝－；
当为第四象限角时，
sin＝－，cos＝，tan＝－.

跟踪训练1　已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan .
解　∵sin θ＝，<θ<3π，
∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1得cos2＝＝.
∵<<π.
∴cos ＝－ ＝－.
tan ＝＝＝＝2.

题型二　三角恒等式的证明
例2　(1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2.
(2)求证：＝.
证明　(1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ
＝1＋2×－cos 2θ
＝2＝右边．
所以原等式成立．
(2)原式＝

＝
＝＝＝
＝＝右边．
所以原等式成立．

跟踪训练2　证明：··＝tan .
证明　左边＝··
＝·＝·
＝＝
＝tan ＝右边．
所以原等式成立．

题型三　与三角函数性质有关的综合问题
例3　已知函数f(x)＝cos(＋x)cos(－x)，g(x)＝
sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
解　(1)f(x)＝(cos x－sin x)(cos x＋sin x)
＝cos2x－sin2x＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos(2x＋)，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的取值集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．

跟踪训练3　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
解　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，
则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin α＋Rcos α
＝R(sin α＋cos α)＋R
＝Rsin(α＋)＋R.
∵0<α<，∴<α＋<.
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，
此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大．

构建三角函数模型，解决实际问题

例4　如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
分析　解答本题可设∠PAB＝θ并用θ表示PR、PQ.根据S矩形PQCR＝PQ·PR列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．
解　如图连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，
则AM＝90cos θ，MP＝90sin θ.
所以PQ＝MB＝100－90cos θ，
PR＝MR－MP＝100－90sin θ.
所以S矩形PQCR＝PQ·PR
＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
令t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤)，
则sin θcos θ＝.
所以S矩形PQCR＝10 000－9 000t＋8 100·
＝(t－)2＋950.
故当t＝时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t＝时，S矩形PQCR有最大值(14 050－9 000) m2.

1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)
A. B．－ C．± D．±
2．下列各式与tan α相等的是(　　)
A. B.
C. D.
3．函数f(x)＝2sin sin的最大值等于(　　)
A. B. C．1 D．2
4．已知π<α<，化简＋
.

5．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．

一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
2．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
A. B. C. D.
3．已知cos α＝，α∈(π，2π)，则sin 等于(　　)
A．－ B. C. D．－
4．函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期是(　　)
A. B. C．π D．2π
5．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)
A．c<b<a B．a<b<c
C．a<c<b D．b<c<a
6．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)
A．－ B. C．2 D．－2

二、填空题
7．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．
8．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.
9．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．
10．sin220°＋sin 80°·sin 40°的值为________．

三、解答题
11．已知函数f(x)＝4cos xsin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

12．已知sin＋sin α＝－，－<α<0，求cos α的值．

13．已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sinsin.
(1)若tan α＝2，求f(α)；
(2)若x∈，求f(x)的取值范围．

当堂检测答案
1．答案　A
解析　由题意知∈(0，)，∴cos >0，cos ＝＝.
2．答案　D
解析　＝＝＝tan α.
3．答案　A
解析　∵f(x)＝2sin
＝sin x－sin2＝sin x－
＝sin x＋cos x－＝sin－.
∴f(x)max＝.
4．解　原式＝
＋，
∵π<α<，∴<<，
∴cos <0，sin >0.
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos .
5．解　3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)
＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60°
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)
＝sin(x＋20°＋φ)
＝7sin
其中cos φ＝，sin φ＝.
所以f(x)max＝7.

课时精练答案
一、选择题
1．答案　C
2．答案　D
解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin.
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.
3．答案　B
解析　由题意知∈(π，π)，
∴sin >0，sin ＝ ＝.
4．答案　B
解析　∵f(x)＝sin4x＋1－sin2x
＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1
＝1－sin2xcos2x＝1－sin22x
＝1－×＝cos 4x＋，
∴T＝＝.
5．答案　C
解析　a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
y＝sin x在[0，]上是递增的．
∴a<c<b.
6．答案　A
解析　∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－.
∴＝＝
＝·
＝＝＝－.
二、填空题
7．答案　π
解析　∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，
∴T＝＝π.
8．答案　
解析　∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2
＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)
＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.
∴80sin(α＋β)＝47，
∴sin(α＋β)＝.
9．答案　3
解析　设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝，底角大小为(180°－α)．
∴tan＝
＝＝＝3.
10．答案　
解析　原式＝sin220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)
＝sin220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°－cos 60°sin 20°)
＝sin220°＋sin260°cos220°－cos260°sin220°
＝sin220°＋cos220°－sin220°
＝sin220°＋cos220°＝.
三、解答题
11．解　(1)因为f(x)＝4cos xsin－1
＝4cos x－1
＝4cos x－1
＝sin 2x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
于是，当2x＋＝，即x＝时，
f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，
f(x)取得最小值－1.
12．解　∵sin＋sin α
＝sin αcos ＋cos αsin ＋sin α
＝sin α＋cos α＝－.
∴sin α＋cos α＝－，
∴sin＝－.
∵－<α<0，∴－<α＋<，
∴cos＝.
∴cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝×＋×＝.
13．解　(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋cos 2x
＝＋sin 2x＋cos 2x
＝(sin 2x＋cos 2x)＋，
由tan α＝2得sin 2α＝
＝＝，
cos 2α＝
＝＝－，
所以f(α)＝×＋＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋
＝sin＋，
由x∈得2x＋∈，
所以sin∈，
从而f(x)＝sin＋∈.

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