2.2.1椭圆及其标准方程优秀课件.ppt

圆锥曲线2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程椭圆形的实物椭圆形的实物每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。椭圆的一个焦点上。观察做图过程观察做图过程(1)绳长应当大于绳长应当大于F1、F2之间的距离。之间的距离。(2)由于绳长固定，所以由于绳长固定，所以 M 到两个到两个定点的距离和也固定。定点的距离和也固定。数学实验数学实验v(1)取一条细绳，取一条细绳，v(2)把它的两端固定在板上把它的两端固定在板上的两点的两点F1、F2v(3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细绳把细绳拉紧，在板上慢慢移动看拉紧，在板上慢慢移动看看画出的看画出的 图形图形探究点探究点1 1：椭圆的画法及图像：椭圆的画法及图像椭圆定义：椭圆定义：我们把平面内与两个定点我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常的距离的和等于常数数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆.两个定点两个定点F1，F2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点.两焦点间的距离叫做两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距.MF2F1|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|F|F1 1F F2 2|椭圆椭圆|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|线段线段|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|F|F1 1F F2 2|不存在不存在思考：思考：在平面内动点在平面内动点M M到两个定点到两个定点F F1 1，F F2 2的距离之的距离之和等于定值的点的轨迹是否一定为椭圆？和等于定值的点的轨迹是否一定为椭圆？【提升总结提升总结】探究点探究点2 2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程思考：思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？求曲线的方程的基本步骤是什么呢？设设M是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为为F1 1和和F2 2，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为2c(c0)2c(c0)，M与与F1 1和和F2 2 的距的距离的和等于离的和等于2a(2a2c0)2a(2a2c0)，求椭圆的轨迹方程，求椭圆的轨迹方程.第一步：第一步：如何建立适当的坐标系呢？如何建立适当的坐标系呢？想一想：想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？的方法呢？OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM解：解：以焦点以焦点F F1 1,F,F2 2的所在直线为的所在直线为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的的垂直垂直平分线平分线为为y y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系xOyxOy(如图如图).).设设M(xM(x,y),y)是椭圆上任意一点，椭圆是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为的焦距为2c(c0)2c(c0)，M M与与F F1 1和和F F2 2的距离的的距离的和等于正常数和等于正常数2a 2a(2a2c)(2a2c)，则，则F F1 1，F F2 2的坐标分别是的坐标分别是(c,0)c,0)、(c,0)(c,0).x xF F1 1F F2 2M MOy y由椭圆的定义得由椭圆的定义得因为因为移项，再平方移项，再平方整理得整理得两边再平方，得两边再平方，得总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：椭圆的标准方程椭圆的标准方程1oFyx2FM1 12 2yoFFMx 图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的关系之间的关系c2 2=a2 2-b2 2MF1+MF2=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表两类标准方程的对照表两类标准方程的对照表两类标准方程的对照表注注:由标准方程判断焦点位置由标准方程判断焦点位置“大定轴大定轴”例1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并写出焦点坐标答：在答：在 X 轴（轴（-3，0）和（）和（3，0）答：在答：在 y 轴（轴（0，-5）和（）和（0，5）答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）下列方程哪些表示椭下列方程哪些表示椭圆？若圆？若是是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?练习：练习：练习：练习：0b3a33.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是 .(0,4)椭圆方程的理解椭圆方程的理解椭圆方程的理解椭圆方程的理解例例2 写出写出适合下列条件的椭圆的标准方程适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)a=4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴上上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；，焦点在坐标轴上；(3)两个焦点的坐标是（两个焦点的坐标是（0，-2）和（）和（0，2），并且经），并且经 过点过点P（-1.5，2.5）.解解：因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，轴上，设它的标准方程为设它的标准方程为 c=2，且 c2=a2-b2 4=a2-b2 又又椭圆经过点椭圆经过点 联立联立可求得：可求得：椭圆的椭圆的标准方程为标准方程为(法一法一)xyF1F2P或类型一类型一类型一类型一 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程(法二法二)因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的轴上，所以设它的标准方程为标准方程为由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为练习练习1 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),),(2,0),(2,0),并且经过点并且经过点 .求它的标准方程求它的标准方程.解解:因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上,所以设所以设它的标准方程为它的标准方程为由椭圆的定义知由椭圆的定义知【变式练习变式练习1】已知椭圆经过两点已知椭圆经过两点 和和 ，求椭圆的，求椭圆的标准方程标准方程.解：解：设椭圆设椭圆的的标标准方程准方程为为则则有有 解得解得 所以，所求所以，所求椭圆椭圆的的标标准方程准方程为为 .【变式练习2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过经求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过经过点过点P P(2,0)2,0)和和Q(0,Q(0,3)3)的椭圆的标准方程的椭圆的标准方程.例例3.已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，请，请填空：填空：(1)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点，并且并且CF1=2,则则CF2=_.8（2）若）若CD为过左焦点为过左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_0类型二类型二类型二类型二 椭圆的定义及其应用椭圆的定义及其应用椭圆的定义及其应用椭圆的定义及其应用练习练习1.在在ABC中，已知中，已知A（-3，0）、）、B（3，0），），动点动点C满足满足|CA|、|AB|、|CB|成成等差数列，则点等差数列，则点C的轨迹方程的轨迹方程为为 。例例4.已知圆已知圆A：(x3)2y2100，圆，圆A内内一定一定点点B(3，0)，圆，圆P过过B点且与圆点且与圆A内切，求圆内切，求圆心心P的轨迹方程的轨迹方程解：解：设设PBr圆圆P与圆与圆A内切，圆内切，圆A的半径为的半径为10两圆的圆心距两圆的圆心距PA10r，即即PAPB10(大于大于AB)点点P的轨迹是以的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆两点为焦点的椭圆2a10，2cAB6，a5，c3b2a2c225916即点即点P的轨迹方程为的轨迹方程为 1练习：练习：一一动圆过点动圆过点B（-3，0），），内切，求该动圆圆心内切，求该动圆圆心M 的轨迹方程。的轨迹方程。而且与圆而且与圆3-3xyMABC例例5.已知点已知点P 是椭圆是椭圆 一点一点 ，F1和和F2 是椭圆的焦点，是椭圆的焦点，PF1F2d若若F1PF2=90，求，求 F1PF2的面积的面积若若F1PF2=60，求，求 F1PF2的面积的面积若若F1PF2=，求，求 F1PF2的面积的面积PF1F2d解解 由椭圆定义得由椭圆定义得:|PF1|+|PF2|=10又又a=5 b=3,c=4,2c=8由勾股定理得由勾股定理得:|PF1|2+|PF2|2=642-得 2|PF1|PF2|=36由余弦定理得由余弦定理得:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=64 由余弦定理得由余弦定理得:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos=642-得 3|PF1|PF2|=362-得 2(1+cos)|PF1|PF2|=36练习练习1.已已知知F1、F2是椭圆是椭圆 的焦点，的焦点，P为椭圆上为椭圆上一点，且一点，且 ，则，则 的面积为的面积为_.