川大版高数第三册答案(1).doc
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1、精品教育第一章 行列式 1.3 证明:.因为:对换改变排列的奇偶性,即一次变换后,奇排列改变为偶排列,偶排列改变为奇排列当n2时,将所有偶排列变为奇排列,将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等,即所有的情况不变。偶排列与奇排列各占一半。4 (1)不是行列式的项 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列=(4321)=3+2+0+0=5为奇数,应带负号(2)不是行列式的项 = 因为它的列排排列逆序列(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数应带正号。 5 解: 利用为正负数来做,一共六项,为正,则带正号,为负则带负号来做。6 解:(1)因为它是左下三角形=(2)=+=0(3)=32(4)=
2、7.证明:将行列式转化为若 零元多于个时,行列式可变为故可知行列式为0.8.(1)5=55习题一13 (1)根据“定义法”(2)根据“降阶法”(3)注:根据范达蒙行列式原式= -1=(4)=14 (1)证明:(2)证明: (3)(4)“递推法”15.(1) =+=(ab+1)(cd+1)-a(-d)=(ab+1)(cd+1)+ad(2) =(4-6) (-1-15)=32(3) =+=-a(c-d) -a(d-b) -a(d-c) =abd= abd(c-b)(d-b)(c-d)(4) = =( =16. 范达 行列式V()=(1) 因为为常数。所以p(x)是n-1次的多项式(2) 令p(x)
3、=0.得x=.x=.即p(x)的根为第二章 矩阵代数4. 计算下列矩阵乘积(1) =(2) =(3) . (1,-1,2)=(1*2+(-1)*1+2*4,1*1+(-1)*1+2*2,1*0+(-1)*3+2*1=(9,4,1)(4) (x,y,1) =(x,y,1)=(5)=5. 设A=,B=,求=6.(1) A=n=1时 A=n=2时 =n=3时 =A=假设 (1当n=1时,= (2假设当n2时(n为自然数)成立,令n=k,则=成立; 当n=k+1时 =A=成立综上当n微自然数时当n=1时,当n=2时,当n=3时,假设=当n=1时 =假设n=k+1时=成立综上当n为自然数时,当A=2时
4、n=3时 n=4时 n=5时 假设n时成立 当n=3时 假设n=k时成立 当n=k+1时 =整理得成立所以综上 =7、已知B=证明E,当n为偶数; B,当n为奇数证明:=E,当n为偶数; B,当n为奇数8、证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。证明:设两个n阶上三角形矩阵为A,B,且A= B=根据矩阵乘法,有AB=则可知AB为上三角形矩阵同理,可得BA也为上三角形矩阵。9、若AB=BA,AC=CA,证明:A、B、C为同阶矩阵,且A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=BCA.证:设A=,B=,C=由题知AB、BA有意义,则可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB为mn阶矩阵,则可
5、知m=n,所以A、B均为n阶矩阵。同理可知A、C均为n阶矩阵,故可得A、B、C为同阶矩阵 10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA,证明:(1)(2)(3) 11、 12、 证明 13、 14、 15、 当n=1时,当n=2时,当n=3时,假设=当n=1时 =假设n=k+1时=成立综上当n为自然数时,当A=2时 n=3时 n=4时 n=5时 假设n时成立 当n=3时 假设n=k时成立 当n=k+1时 =整理得成立所以综上 =16、(1)解:设 由得:得(2)设由,得:得:(3)设由方程组,得:得(4)设得得:(5)设得得19、(1)解:方程组的解为:(2)方程组的解为:(3)方程组的解为:(
6、4)有且仅有或时,无意义;则其他情况方程组的解为:(4)(5)由得(6)24.证:A为对称矩阵 A=A AA=AA=E AA(A) =E(A) A=(A) A为可逆对称矩阵 (A) =(A) A=(A) 可逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。25.证:(1)(A)=(AA)=AA A为n阶对称矩阵 A=A (A)=A A为对称矩阵 (B)=(BB)=B B B是n阶反对称矩阵 B=-B (B)=(BB)=BB B是n阶反对称矩阵 B=-B (B )=(-B)(-B)=B B是对称矩阵 (AB-BA) =(AB)-(BA) =BA-AB =-BA-A (-B) =AB-BA AB-BA为对称矩阵。(
7、2)必要性:AB为反对称矩阵 (AB)=-AB 又(AB)=BA=-BA AB=BA 充分性: AB=BA (AB)=BA=-BA AB为反对称矩阵 综上所述:AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。26.解:设矩阵X为x= 则= Ax=o=0 即=0 对任意n1矩阵都成立 A=027.证: A为正交矩阵 =A A= = = 又正交矩阵为可逆矩阵 A=A : A= = = A = = = = A28.解: = = 时 依次用V左乘和用U右乘消去得从而得证29.解:(1)判断X可逆即: 因A、C可逆, 则即则X可逆。 (2)设则 由 = =E 30.证明: 31.解:(1) 原式= (2)
8、(3) 第三章 线性方程组1. 证:假设线性相关, 则不会为0,使得 整理得: 又由,故 由于 故由克莱默法则知: 故结论正确。2. 解: 得: 3、不一定。原式:故仅可得到线性无关将每个向量任意拆分得到的新向量显然不一定仍然线性相关例如向量成比例或含有零向量例:或任一一个为零向量4、不正确 使两等式成立的两组系数一般来说是不相等的,所以不可以做那样的公式提取即5、提示:含有零向量就一定线性相关 极大线性相关组中每一向量都无法用其他组中向量给出,因此可用一极大线性无关组加零向量构成向量组6.证:假设线性相关, 由题意知,必存在一组使得 7.证:设 由于 6、证明:假设线性相关,则,线性相关(部
9、分相关则全体相关)所以存在m+1个不完全为0的数满足本来线性相关,故可为0,可不为0(1) 则无法用线性表出(2) 而线性相关,根据定义,至少有一个向量可用其他m-1个向量表出,我们不妨设则这样得到了的另一种表出式,即表出不唯一综上,假设成立条件下得到的结论与“可用唯一表出”矛盾故假设不成立,线性无关7、将A表示为,B表示为若线性无关,则必有同理可证AP117 T8解:(1)由此r=3解:(2)由此r=2解:(3)由此r=3解:(4)由此r=2解:(5)由此r=3解:(6)由此r=5T9 解(1):设向量组线性相关,则由,得: -由,得: = ,= 代入式,得:线性无关由此r=410(1)证:
10、由线性相关则必有一组不全为0的数使得既有:从中每一个向量中去掉第,就相当于在上述方程组中去掉S个方程剩下的方程仍成立既有不全为零的数使得:从而:线性相关显然当线性无关时由上面的证明可知肯定线性无关(2)由(1)的证明很显然得到结论11、证明:把 作为矩阵A行向量写成矩阵A即:只须证A的行量组线性无关即可即证:显然A中有一个阶子式而A内的所有阶子式为0,因为A的行数故有,从而结论成立12、证:先证当可由线性表示出时,的秩小于等于的秩不妨设:的极大无关组为;的极大无关组为只须证:即可假设那么由条件可知:可由线性表出,即存在一矩阵,使得在上式两端同右乘一列向量,即得:只要找到一组不全为0的数,使得:
11、成立就能说明线性相关,与线性无关矛盾事实上:由于,所以上述方程组一定有非0解故结论成立,同理可证,从而有13证:(1)时,若,则说明,向量组B与A可相互线性表示,又由A线性无关,其秩所以,从而B线性无关反之:若B线性无关,考察代入并整理得:令由上式可得:由线性无关,所以若,则有非0角从而由故考查:即将代入上式得:由于线性无关,也线性无关故而方程组只有0解而线性无关只有0解,故结论成立14.记住一下常用矩阵秩的性质(1)(2)(3)若可逆,则(4)证法一:由上述性质(4)条,而所以证法二:设,(A,B同型,所以列则显然的列向量组可由与的极大无关组线性表出若设分别为与的极无关组那么的列向量组可由线
12、性表出,所以14、(第二种)证明:设有向量组A,的行向量组为:,其极大线性无关组为:的行向量组为:其极大线性无关组为:的行向量组记为:其中, 则, 有又即有习题三15、解:对增广矩阵进行初等变换 则无解解:对方程组的增广矩阵进行初等变换 则无解解:对方程组的增广矩阵进行初等变换(课本第页题目出错,应该为B= 则有唯一解。即唯一解为(3,2,1,)。由方程组 解得:(4)、解:对方程组的增广矩阵进行初等变换B= 则6只方程组有无穷多解。先求它的一个特解,与阶梯形矩阵对应的方程组为令上式中的,解得。于是得到特解:导出组的方程为:令解得:.令解得:令。解得:可求得导出组的基础解系:, 于是方程组的通
13、解为:其中为任意常数16.(1)欲使方程有解,须使=其中A= B=对B进行初等行变换,过程如下:B=交换行 -行+行-行+行 行+行 显然,=时,=2此时 取(3,4)故()同样地,欲使该方程有解,须使=其中=对进行初等行变换,得=交换行 -行+行 -行+行交换行行+行时此时=,故方程有解。且解为-时由于,故方程无解。且时,=,方程有唯一解,且故(此处只考虑及-两种特殊情形,原因在于,当或-时会使得矩阵第二、三行的首先为零,从而引起情况的出现)综上,=1时,方程有无穷多解 =-时,方程无解且-时17.证明:记系数矩阵为,增广矩阵为。另外:=假设,可设的前行线性无关且第(r+1)行可用前行线性表
14、出,那么对于第(r+1)行中的每一个值都有。但与相比多了一列,有可能使得(当然,这种关系也有可能满足)。但当这种关系部满足时,故,同理。综上:由于=,故=,方程有解。18.解:首先明确在平面直角坐标系中,直线的方程应为x+By=C.那么用矩阵表示,即为若将.B都看做自变量,将看做系数,那么,增广矩阵即为=由于列向量线向相关,故=故=0若为n(n3)点共线,则增广矩阵B=该矩阵中第个列向量可用前两个线向表出,故。考虑直线的特殊情形:当该直线经过原点(,)时,=;其余情形下,=故,点共线的充要条件为的秩即的秩19.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换B=初等行变换=方程组有解的充要条件为= 4 ,
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