高中数学解三角形(有答案).doc

解三角形　
一．选择题（共20小题）
1．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（　　）

A．
18
B．
19
C．
16
D．
17

2．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（　　）

A．
17
B．
19
C．
16
D．
18

3．（2014•云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（　　）

A．
30°
B．
60°
C．
120°
D．
150°

4．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（　　）

A．
锐角三角形
B．
直角三角形
C．
钝角三角形
D．
不确定

5．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（2013•温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，B=105°，a=1．则c=（　　）

A．
﹣1
B．
.
C．
.
D．
.2

7．（2013•天津模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（　　）

A．

B．
3
C．

D．
7

9．（2013•浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（　　）

A．

B．

C．

D．

11．（2012•天河区三模）在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（　　）

A．
30°
B．
45°
C．
135°
D．
45°或135°

12．（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（　　）

A．
﹣
B．

C．
﹣
D．

13．△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列，则的取值范围是（　　）

A．
（0，+∞）
B．
（0，2+）
C．
（1，+∞）
D．
（1，2+）

14．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（　　）

A．
﹣
B．

C．
1
D．

15．（2014•重庆三模）在△ABC中，若，则∠B等于（　　）

A．
30°
B．
45°
C．
60°
D．
90°

16．（2014•萧山区模拟）在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（　　）

A．

B．

C．
（0，2）
D．

17．（2014•南平模拟）在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（　　）

A．
30°
B．
45°
C．
60°
D．
120°

18．（2014•广西模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A：∠B=1：2，且a：b=1：，则cos2B的值是（　　）

A．
﹣
B．

C．
﹣
D．

19．（2014•鄂尔多斯模拟）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则边a的值为（　　）

A．

B．

C．

D．
3

20．（2014•文登市二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B（　　）

A．

B．

C．

D．

二．解答题（共10小题）
21．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

22．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．

23．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

24．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

25．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；
（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．

26．（2014•福建模拟）设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．
（Ⅰ）当时，求角A的度数；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

27．（2014•江西模拟）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．
（1）求内角B的余弦值；
（2）若b=，求△ABC的面积．

28．（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

29．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

30．（2014•启东市模拟）在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，，且．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若，求的取值范围．

参考答案与试题解析

一．选择题（共20小题）
1．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（　　）

A．
18
B．
19
C．
16
D．
17

考点：
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专题：
解三角形．
分析：
利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosB的值代入求出b的值，即可确定出三角形ABC周长．
解答：
解：∵△ABC中，a=3，c=8，B=60°，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=9+64﹣24=49，即b=7，
则△ABC周长为3+8+7=18，
故选：A．
点评：
此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

2．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（　　）

A．
17
B．
19
C．
16
D．
18

考点：
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专题：
解三角形．
分析：
利用余弦定理列出关系式，将a，b及cosB的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
解答：
解：∵a=3，c=9，B=60°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即：b2=9+64﹣24，即b=7，
则a+b+c=18
故选：D．
点评：
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

3．（2014•云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（　　）

A．
30°
B．
60°
C．
120°
D．
150°

考点：
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专题：
解三角形．
分析：
利用余弦定理表示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB的值，即可确定出B的度数．
解答：
解：∵在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴cosB==﹣，
则∠B=150°，
故选：D．
点评：
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

4．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（　　）

A．
锐角三角形
B．
直角三角形
C．
钝角三角形
D．
不确定

考点：
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专题：
解三角形．
分析：
由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．
解答：
解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，
即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，
故选B．
点评：
本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

5．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
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专题：
计算题；解三角形．
分析：
利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
解答：
解：∵在△ABC中，2asinB=b，
∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，
∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，
∴A=．
故选D．
点评：
本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．

6．（2013•温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，B=105°，a=1．则c=（　　）

A．
﹣1
B．
.
C．
.
D．
.2

考点：
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专题：
解三角形．
分析：
由已知可先求C，然后结合正弦定理可求
解答：
解：∵A=30°，B=105°，
∴C=45°
∵a=1．
由正弦定理可得，
则c===
故选B
点评：
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题

7．（2013•天津模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
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专题：
解三角形．
分析：
利用余弦定理列出关系式，把c，b，以及cosB的值代入求出a的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
解答：
解：∵在钝角△ABC中，已知AB=c=，AC=b=1，∠B=30°，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即1=a2+3﹣3a，
解得：a=1或a=2，
当a=1时，a=b，即∠A=∠B=30°，此时∠C=120°，满足题意，△ABC的面积S=acsinB=；
当a=2时，满足a2=c2+b2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则△ABC面积是．
故选：B．
点评：
此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

8．（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（　　）

A．

B．
3
C．

D．
7

考点：
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专题：
解三角形．
分析：
由△ABC的面积S△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．
解答：
解：∵S△ABC==×AB×ACsin60°=×2×AC×，
∴AC=1，
△ABC中，由余弦定理可得BC==，
故选A．
点评：
本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出 AC，是解题的关键．

9．（2013•浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
余弦定理．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
知道两边求角的范围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有范围的，这样转化到角的范围．
解答：
解：利用余弦定理得：4=c2+8﹣4ccosA，即c2﹣4cosAc+4=0，
∴△=32cos2A﹣16≥0，
∵A为锐角
∴A∈（0，]，
故选：C．
点评：
此题属于解三角形题型，解题思路为：利用余弦定理解答三角形有解问题，知道两边求角的范围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有范围的，这样转化到角的范围，有一定难度．

10．（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
正弦定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
结合已知，根据正弦定理，可求AC
解答：
解：根据正弦定理，，
则
故选B
点评：
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题

11．（2012•天河区三模）在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（　　）

A．
30°
B．
45°
C．
135°
D．
45°或135°

考点：
正弦定理的应用．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinB的值，进而求出B，再由角B的范围确定最终答案．
解答：
解：由正弦定理得，
∴B=45°或135°
∵AC＜BC，
∴B=45°，
故选B．
点评：
本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．

12．（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（　　）

A．
﹣
B．

C．
﹣
D．

考点：
正弦定理．菁优网版权所有
分析：
根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．
解答：
解：根据正弦定理可得，
，
解得，
又∵b＜a，
∴B＜A，故B为锐角，
∴，
故选D．
点评：
正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．

13．△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列，则的取值范围是（　　）

A．
（0，+∞）
B．
（0，2+）
C．
（1，+∞）
D．
（1，2+）

考点：
正弦定理；等比数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
设==q，则由任意两边之和大于第三边求得q的范围，可得的取值范围
解答：
解：设==q，则==q+q2，则由，求得＜q＜，
∴＜q2＜，∴1＜q+q2＜2+，
故选：D．
点评：
本题考查数列与三角函数的综合应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形三边关系的灵活运用

14．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（　　）

A．
﹣
B．

C．
1
D．

考点：
余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．
解答：
解：∵3a=2b，∴b=，
根据正弦定理可得===，
故选：D．
点评：
本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．

15．（2014•重庆三模）在△ABC中，若，则∠B等于（　　）

A．
30°
B．
45°
C．
60°
D．
90°

考点：
正弦定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据所给的等式和正弦定理，得到要求角的正弦和余弦相等，由根据这是一个三角形的内角得到角的度数只能是45°．
解答：
解：∵，
又由正弦定理知，
∴sinB=cosB，
∵B是三角形的一个内角，
∴B=45°，
故选B．
点评：
本题考查正弦定理，是一个基础题，解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时，一定要说清楚这个角的范围，这样好确定角度．

16．（2014•萧山区模拟）在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（　　）

A．

B．

C．
（0，2）
D．

考点：
正弦定理；函数的值域．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由正弦定理得，再根据△ABC是锐角三角形，求出B，cosB的取值范围即可．
解答：
解：由正弦定理得，∵△ABC是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，
即有 ，0＜π﹣C﹣B=π﹣3B＜
解得，又余弦函数在此范围内是减函数．故＜cosB＜．
∴＜＜
故选A
点评：
本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质．易错点是B角的范围确定不准确．

17．（2014•南平模拟）在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（　　）

A．
30°
B．
45°
C．
60°
D．
120°

考点：
正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
分析：
本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，由在△ABC中，如果，我们根据正弦定理边角互化可以得到a=c，又由B=30°，结合余弦定理，我们易求出b与c的关系，进而得到B与C的关系，然后根据三角形内角和为180°，即可求出A角的大小．
解答：
解：∵在△ABC中，如果
∴a=c
又∵B=30°
由余弦定理，可得：
cosB=cos30°===
解得：b=c
则B=C=30°
A=120°．
故选D．
点评：
余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．余弦定理可以变形为：cosA=（b2+c2﹣a2）÷2bc，cosB=（a2+c2﹣b2）÷2ac，cosC=（a2+b2﹣c2）÷2ab

18．（2014•广西模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A：∠B=1：2，且a：b=1：，则cos2B的值是（　　）

A．
﹣
B．

C．
﹣
D．

考点：
正弦定理；二倍角的余弦．菁优网版权所有
分析：
根据正弦定理得到sinA：sinB，因为∠A：∠B=1：2，利用二倍角的三角函数公式得到A和B的角度，代入求出cos2B即可．
解答：
解：依题意，因为a：b=1：，
所以sinA：sinB=1：，
又∠A：∠B=1：2，则cosA=，
所以A=30°，B=60°，cos2B=﹣
故选A
点评：
考查学生灵活运用正弦定理解决数学问题的能力，以及灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值的能力．

19．（2014•鄂尔多斯模拟）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则边a的值为（　　）

A．

B．

C．

D．
3

考点：
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专题：
解三角形．
分析：
根据正弦定理的面积公式，结合题中数据算出边c=4，再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子算出a2=13，即可算出边a的长度．
解答：
解：∵△ABC中，∠A=60°，b=1，
∴可得△ABC的面积为S=bcsinA=×1×c×sin60°=
解之得c=4
根据余弦定理，得
a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×cos60°=13，所以a=（舍负）
故选C
点评：
本题给出三角形一边、一角和面积，求边a的长度．着重考查了正弦定理的面积公式和利用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．

20．（2014•文登市二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
正弦定理．菁优网版权所有
专题：
计算题；解三角形．
分析：
由已知结合正弦定理可得，，然后利用余弦定理可得，cosB==﹣，可求B
解答：
解：∵asinA+csinC+asinC=bsinB，
∴由正弦定理可得，
由余弦定理可得，cosB==﹣
∵0＜B＜π
∴B=．
故选：D．
点评：
本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．

二．解答题（共10小题）
21．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

考点：
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专题：
解三角形．
分析：
（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．
（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．
解答：
解：（Ⅰ）∵cosA=，
∴sinA==，
∵B=A+．
∴sinB=sin（A+）=cosA=，
由正弦定理知=，
∴b=•sinB=×=3．
（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞
∴cosB=﹣=﹣，
sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，
∴S=a•b•sinC=×3×3×=．
点评：
本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．

22．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．

考点：
正弦定理；两角和与差的正切函数．菁优网版权所有
分析：
本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，
（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．
解答：
解：（Ⅰ）在△ABC中，，
由正弦定理得

即sinAcosB=4cosAsinB，
则；
（Ⅱ）由得
tanA=4tanB＞0

当且仅当时，等号成立，
故当时，
tan（A﹣B）的最大值为．
点评：
在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．

23．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

考点：
正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．
求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．
（Ⅱ）由 sinA= 求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为 的值．
解答：
解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，
∴﹣=sin2A﹣sin2B，
即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．
∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，
∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．
（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．
由正弦定理可得，=，即 =，∴a=．
∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，
∴△ABC的面积为 =×=．
点评：
本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．

24．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

考点：
正弦定理；两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；
（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：
解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，
代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，
∴cosA===；
（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，
∴sinA==，
∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，
则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

25．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；
（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．

考点：
正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用正弦定理化简已知条件，根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，由sinC不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数，
（Ⅰ）根据余弦定理，由b，cosB和a+c的值，求出ac的值，然后利用三角形的面积公式，由ac的值和sinB的值即可求出三角形ABC的面积；
（Ⅱ）由求出的B的度数，根据三角形的内角和定理得到A+C的度数，用A表示出C，代入已知的等式，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围．
解答：
解：由已知及正弦定理得：（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBcosA=0，
即2sinCcosB﹣sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB﹣1）=0，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴2cosB﹣1=0，所以B=60°（3分）
（Ⅰ）由b2=a2+c2﹣2accos60°=（a+c）2﹣3ac，
即72=132﹣3ac，得ac=40（5分）
所以△ABC的面积；（6分）
（Ⅱ）因为=
=，（10分）
又A∈（0，），∴，
则sinA+sin（C﹣）=2sin（A+）∈（1，2]．
点评：
此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．

26．（2014•福建模拟）设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．
（Ⅰ）当时，求角A的度数；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

考点：
正弦定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（I） 由 可求sinB= 且B为锐角，由b=2，a=考虑利用正弦定理可求sinA，结合三角形的大边对大角且a＜b可知A＜B，从而可求A，
（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB，把已知代入，结合a2+c2≥2ac可求ac的范围，在代入三角形的面积公式 可求△ABC面积的最大值．
解答：
解：∵∴sinB= 且B为锐角
（I）∵b=2，a=
由正弦定理可得，
∴
∵a＜b∴A＜B
∴A=30°
（II）由，b=2
利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB
∴
从而有ac≤10
∴
∴△ABC面积的最大值为3
点评：
本题（I）主要考查了利用正弦定理及三角形的大边对大角解三角形（II）利用余弦定理及基本不等式、三角形的面积公式综合求解三角形的面积．考查的是对知识综合运用．

27．（2014•江西模拟）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．
（1）求内角B的余弦值；
（2）若b=，求△ABC的面积．

考点：
正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
（Ⅰ） 三角形ABC中，由条件化简可得sinA=2sinC，故有a=2c．再由b2=ac=2c2，求得cosB=的值．
（Ⅱ）根据b=，b2=ac=2c2，求得c和a的值，求得sinB= 的值，再根据△ABC的面积S=ac•sinB，计算求得结果．
解答：
解：（Ⅰ） 三角形ABC中，
∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，
∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，sinA=2sinC，
∴a=2c．
又因为b2=ac=2c2，
∴cosB==．
（Ⅱ）∵b=，b2=ac=2c2，
∴c=，∴a=．
又∵sinB==
∴△ABC的面积S=ac•sinB=．
点评：
本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．

28．（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

考点：
余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；
（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．
解答：
解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，
∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），
∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∴cosB==≥=，
当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．

29．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

考点：
余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；
（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．
解答：
解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，
∴c=8﹣（a+b）=，
∴由余弦定理得：cosC===﹣；
（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，
整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，
∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∴sinA+sinB=3sinC，
利用正弦定理化简得：a+b=3c，
∵a+b+c=8，
∴a+b=6①，
∵S=absinC=sinC，
∴ab=9②，
联立①②解得：a=b=3．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

30．（2014•启东市模拟）在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，，且．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若，求的取值范围．

考点：
正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
专题：
计算题；解三角形．
分析：
（1）先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，利用二倍角公式和两角和公式整理求得sinB=sin2C，进而根据B，C的范围，求得B+2C=π，判断出A=C，即三角形为等腰三角形．
（2）利用平面向量的性质，依据已知条件求得a2+c2+2ac•cosB=4，根据a的值求得cosB的值．
解答：
解：（1）由及正弦定理，得，
即sinBsinA﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C，即sinBsinA=sinAsin2C，
因为A是三角形内角，所以sinA≠0，
可得sinB=sin2C，
∵，∴，∴B+2C=π，
∵A+B+C=π，∴A=C，△ABC为等腰三角形．
（2）∵∴B∈（0，），
∴cosB∈（，1）
由（1）可知a=c，
由，得a2+c2+2ac•cosB=4，
∴a2=，
∴