2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识点梳理.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识点梳理年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识点梳理 单选题 1、已知不共线的平面向量,两两所成的角相等，且|=1,|=4,|+|=7，则|=（）A2B2C3D2 或 3 答案：D 分析：先求出=23，转化|+|=(+)2=7，列方程即可求出.由不共线的平面向量，两两所成的角相等，可设为，则=23.设|=m.因为|=1，|=4，|+|=7，所以|+|2=7，即 2+2 +2+2 +2 +2=7，所以12+2 1 4cos23+42+2 4 cos23+2 1 cos23+2=7 即2 5+6=0，解得：=2或 3.所以|=2 或 3 故选：D 2、在 中，已知=120，=19，=2，则=（）A1B2C5D3 答案：D 分析：利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.设=,=,=，结合余弦定理：2=2+2 2cos可得：19=2+4 2 cos120，即：2+2 15=0，解得：=3（=5舍去），故=3.故选：D.小提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形 3、在 中，已知=11，=20，=130，则此三角形（）A无解 B只有一解 C有两解 D解的个数不确定 答案：A 分析：根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为180，即可判断解的情况.，180，故此三角形无解 故选:A.4、已知单位向量，则下列说法正确的是（）A =B +=0C|=|D/答案：C 分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于 A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A 错误；对于 B，向量，为单位向量，但向量，不一定为相反向量，B 错误；对于 C，向量，为单位向量，则|=|=1，C 正确；对于 D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即 与不一定平行，D 错误.故选：C.5、设为实数，已知向量=(-1，2)，=(1，).若 ，则向量+2 与之间的夹角为（）A4B3C23D34 答案：A 解析：根据向量垂直的坐标运算解得=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量 =(1,2),=(1,)，若 ，则 =1 1+2=0，解得=12，所以 +2 =(1,3)，所以(+2)=1 (1)+3 2=5，|+2|=12+32=10，|=(1)2+22=5，设向量 +2 与 之间的夹角，则0 ，cos=(+2)|+2|=5105=22，所以向量 +2 与 之间的夹角为4.故选：A.6、在等腰梯形中，=2，,分别为,的中点，为的中点，则 等于（）A38+34 B38+12 C12+34 D14+38 答案：B 分析：根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.因为在等腰梯形中，=2，,分别为,的中点，为的中点，所以可得：=+=12+12=12+14(+)=12+38 故选：B.7、给出下列物理量：密度；温度；速度；质量；功；位移.正确的是()A是数量，是向量 B是数量，是向量 C是数量，是向量 D是数量，是向量 答案：D 分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量 故选：D 8、下列说法错误的是（）A向量 的长度与向量 的长度相等 B零向量与任意非零向量平行 C长度相等方向相反的向量共线 D方向相反的向量可能相等 答案：D 分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.A.向量 与向量 的方向相反，长度相等，故 A 正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故 B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故 C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故 D 不正确.小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.9、下列说法正确的是（）A向量/就是 所在的直线平行于 所在的直线 B长度相等的向量叫做相等向量 C若 =,=，则 =D共线向量是在一条直线上的向量 答案：C 分析：根据共线向量的定义可判断 A，D；由相等向量的定义可判断 B，C；进而可得正确选项.对于 A：根据共线向量的定义可知向量/就是 所在的直线与 所在的直线平行或重合，故选项 A 不正确；对于 B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项 B 不正确；对于 C：若 =,=，则 =，故选项 C 正确；对于 D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项 D 不正确；故选：C.10、已知平面向量,满足|=2,|=1,(+2)，则向量,的夹角为（）A3B4C23D34 答案：D 解析：利用 (+2)=0求出 ，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可.(+2),(+2)=0，即 2+2 =0,=1，cos,=|=121=22 ,0,=34 故选：D 11、如图，正六边形的边长为 2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若 的最大值和最小值分别是，则+=（）A9B10C11D12 答案：D 分析：连接，根据正六边形的特征可得=，从而可得 =|cos,，再根据当在上运动时，|与cos,均逐渐增大，当从移动到时，|与cos,均逐渐减小，即可求得，从而得出答案.解：连接，在正六边形中，=，=|cos,，正六边形的边长为 2，|=23，因为当在上运动时，|与cos,均逐渐增大，当从移动到时，|与cos,均逐渐减小，所以当在上运动时，|cos,取得最大值，为23，当移动到点时，|cos,取得最小值，为 0 =23 23=12，=23 0=0，+=12 故选：D.小提示：12、某人先向东走 3km，位移记为，接着再向北走 3km，位移记为，则+表示（）A向东南走32kmB向东北走32km C向东南走33kmD向东北走33km 答案：B 分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得+表示先向东走 3km，再向北走 3km，即向东北走32km.故选：B.双空题 13、在 中，=60，=2，=3|，则=_；若=，=，0，则 的最大值为_ 答案：1+3 334 分析：利用向量的数量的的定义及向量的投影，即可求出；将 和 分别用 和 表示代入 ，利用基本不等式求解即可.如图，作 ，垂足为，因为 =3|，所以|cos=3|，所以|cos=3，即=3，又=60，=2，所以|cos=2cos60=1，即=1,所以=1+3；因为=，=，所以=1+,=11+,所以 =(1+)2 =(1+)2 ()=(1+)2(2 )=(1+)2(|2|cos)=2+2+1(3 3)=33+1+23321+2=334，当且仅当=1，即=1时，等号成立.所以 的最大值为334.所以答案是：1+3；334.小提示：关键点点睛：本题的关键是灵活应用向量的投影及用基底法表示向量.14、在四边形中，已知/，=60，=2=2，=32点E是线段上的点，且=,=34，则=_若F是线段上的动点，则 的最小值为_ 答案：12 59112 分析：过点作 交于点，以为原点，,分别为,轴建立平面直角坐标系，由=得出点的坐标，分别求出向量，的坐标，从而求出；设=，则0 1，分别表示出向量，的坐标，可得 的表达式，从而可得答案.过点作 交于点，由=60，=32 则=34,=343 以为原点，,分别为,轴建立平面直角坐标系，则(34,0),(54,0),(0,334),(1,334)=(+34,0)=(2,0),所以+34=2，所以=2 34，即(2 34,0)则=(2 74,334)，=(54，334)=(2 74)54+2716=34，解得=12，则=(34,334)设=(4,334)，则0 1 =+=(34,334)+(4,334)=(+34,334(1 )=+=(1,0)+(4,334)=(+44,334)=+34+44334(1 )334=116(282 20+12)=14(72 5+3)当0 1时，由514 0,1，故14(72 5+3)59112 所以 的最小值为：59112 所以答案是：12；59112 小提示：关键点睛：本题考查向量的坐标运算，数量积的坐标运算，解答本题的关键是根据题意建立坐标系，分别向量，的坐标，由条件得出 =(2 74)54+2716=34；分别表示出向量，的坐标，得出 =14(72 5+3)，属于中档题.15、如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为 1设=+，则+=_；是平面图形边上的动点，则 的取值范围是_ 答案：1 3,32 分析：建立平面直角坐标系，利用相等向量的坐标相等，列式求解；设(,)，求出 =32+32，通过直线平移即可求解 的取值范围.建立以为原点，如图所示的平面直角坐标系，连接，因为六边形为正六边形，所以=，=120，作 于，所以=12=12 1=12，=3=32，=2=3 所以(32,32)，(3,1)，(0,1)，(3,1)所以=(332,12)，=(32,12)，=(32,12)=+332=32 3212=12+12 +=1 设(,)，(3,0)，(32,32)，(3,1)所以=(32,32)，=(3,+1)所以 =32(3)+32(+1)=32+32 如图所示，在平面直角坐标系中，其中=33，作直线32+32=0，平移使之经过多边形内每一个点，当直线经过线段时，32+32取得最大值32，当当直线经过线段时，32+32取得最小值3.所以答案是：1；3,32 16、点C在线段上，且=52，则=_，=_ 答案：57 27 解析：根据题意画出图形，分析即可得解.由点 C 在线段上，且=52，可画出图形，设=5，则=2，=7，和 同向，且=57，和 反向，且=27.小提示：本题考查向量的意义，属于基础题.17、若向量 =(2,3)与向量=(1,+2)相等，则=_，=_ 答案：3 1 分析：利用平面向量相等，列出方程组并求解作答.向量 =(2,3)，=(1,+2)，而 =，于是得 2=1+2=3，解得=3=1，所以=3,=1.所以答案是：3；1 解答题 18、如图所示，中，=，=，为的中点，为上的一点，且=4，的延长线与的交点为.(1)用向量 ，表示；(2)用向量 ，表示，并求出:和:的值.答案：(1)=18 +34(2)=17 +67，7，6 分析：（1）由已知得=4()，=34+14，为的中点，可得答案；（2）设=，得=+(1 )，设=，可得=18 +34，即=8 +34，由，不共线和平面向量基本定理求得、，可得答案.（1）根据题意因为：=4，所以=4()，所以=34+14，为的中点，=，=，所以=12，=18 +34.（2）因为，三点共线，设=，所以=(1 )+，即=+(1 )，三点共线，设=，由（1）可知=18 +34，即=8 +34，不共线，由平面向量基本定理，所以8=1 34=，所以=87，=67，所以=87，=67，则:的值为 7，:的值为 6.19、如图，平行四边形中，=12，为线段的中点，为线段上的点且=2.（1）若=+，求的值；（2）延长、交于点，在线段上（包含端点），若=+(1 )，求的取值范围.答案：（1）1427；（2）1,0 分析：（1）由题意可得=13+23，=+13,=+12，进而可得结果.（2）设=，则1 2，则=(1 )+=+(1 )，=1 ，由1 2，即可得出结果.（1）=2 =2()=13+23 由已知=+13,=+12 =23+79，=23，=79 =1427（2）/，N为的中点，易证 与 全等，则=，设=，则1 2 =(),=(1 )+=+(1 )1 =,=1 1 1 2,1 0 1,0 20、在 中，sin2=3sin(1)求；(2)若=6，且 的面积为63，求 的周长 答案：(1)6(2)6+63 分析：（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得 的周长.（1）解：因为 (0,)，则sin 0，由已知可得3sin=2sincos，可得cos=32，因此，=6.（2）解：由三角形的面积公式可得=12sin=32=63，解得=43.由余弦定理可得2=2+2 2cos=48+36 2 43 6 32=12，=23，所以，的周长为+=63+6.