2023年人教版高中数学第八章立体几何初步重点易错题.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第八章立体几何初步重点易错题年人教版高中数学第八章立体几何初步重点易错题 单选题 1、如图所示，在三棱柱 111中，侧棱1底面111，=90，=1=1，D是棱1的中点，P是AD的延长线与11的延长线的交点，若点Q在线段1上，则下列结论中正确的是（）.A当点Q为线段1的中点时，平面1 B当点Q为线段1的三等分点时，平面1 C在线段1的延长线上，存在一点Q，使得 平面1 D不存在DQ与平面1垂直 答案：D 分析：依据线面垂直性质定理，利用反证法即可否定选项 ABC；按照点Q为线段1的中点和点Q不为线段1的中点两种情况利用反证法证明选项 D 判断正确.连接1，交1于H 在三棱柱 111中，侧棱1底面111，=1=1，则四边形11为正方形，则1 1 又=90，即 ，又1，1=，1面11，面11 则 面11，则 1 又1 1，1 =，1面1，面1 则1 面1，选项 A：当点Q为线段1的中点时，又 D是棱1的中点，则/1 若 平面1，则1平面1 又1 面1，则面1/平面1，这与1 1=矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段1的中点时，平面1不正确；选项 B：当点Q为线段1的三等分点时，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段1的点三等分时，平面1，不正确；选项 C：在线段1的延长线上一点Q，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即在线段1的延长线上，存在一点Q，使得 平面1不正确；选项 D：由选项 A 可知，点Q为线段1的中点时，平面1不成立；假设点Q在线段1上，且不是中点，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即点Q在线段1上，且不是中点时，平面1不正确；故不存在DQ与平面1垂直.判断正确.故选：D 2、在正方体 1111中，是正方形的中心，则直线1与直线1所成角大小为（）A30B45C60D90 答案：A 分析：如图，连接1，利用余弦定理可求1的值，从而可得直线1与直线1所成角大小.设正方体的棱长为2，连接1，因为1/1，故1或其补角为直线1与直线1所成角.而1=22，=2，1=12+2=42+22=6，故12=12+2，所以1，所以cos1=622=32，因为1为锐角，故1=30，故选：A.3、在正方体 1111中，为线段11的中点，则异面直线1与1所成角的余弦值为（）A55B105C155D255 答案：B 分析：连接1，得到1/1，把异面直线1与1所成角转化为直线1与1所成角，取1的中点，在直角 1中，即可求解.在正方体 1111中，连接1，可得1/1，所以异面直线1与1所成角即为直线1与1所成角，即1为异面直线1与1所成角，不妨设1=2，则1=22，1=5，取1的中点，因为1=，所以 1，在直角 1中，可得cos1=11=25=105.故选：B.4、设、为两个不重合的平面，能使/成立的是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C 内有无数个点到 的距离相等 D、垂直于同一平面 答案：B 分析：应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确 应用立方体，如下图所示：选项A：内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与 平行，但如上图 与 可相交于l，故A不一定能使/成立；选项B：由面面平行的判定，可知B正确 选项C：在 内有一条直线平行于l，则在 内有无数个点到 的距离相等，但如上图 与 可相交于l，故C不一定能使/成立；选项D：如图，但 与 可相交于l，故D不一定能使/成立；故选：B 小提示：本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题 5、如图，在直三棱柱 111中，棱与直线1异面有（）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案：C 分析：根据异面直线的定义即可判断.在直三棱柱 111的棱所在的直线中，与直线1异面的直线有11,1，共 3 条.故选:C.6、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图 1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图 2 是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为 2，则该鲁班锁的表面积为（）A8(6+62+3)B6(8+82+3)C8(6+63+2)D6(8+83+2)答案：A 解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了 8 个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+22的正方体截去了 8 个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为 =6 (2+22)2 4 12 2 2+8 12 2 3=8(6+62+3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.7、已知abc为三条直线，则下列四个命题中是真命题的为（）A若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 B若a与b相交，b与c相交，则a与c相交 C若 ，则ab与c所成的角相等 D若 ，则 答案：C 分析：根据空间里面直线的位置关系逐项分析判断即可.在 A 中，若直线ab异面，bc异面，则ac相交异面或平行，故 A 错误；在 B 中，若直线ab相交，bc相交，则ac平行相交或异面，故 B 错误；在 C 中，若 ，则ab与c所成的角相等，故 C 正确；在 D 中，若 ，则a与c相交平行或异面，故 D 错误.故选：C.8、牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为牟球=4，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即牟8=3 方盖差，从而计算出球=433.如果记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，则方差盖:=（）A22B1C2D22 答案：C 分析：计算出方盖差，即可得出结论.由题意，方盖差=318牟=318443 3=133，所有棱长都为的正四棱锥的体积为正=13 2(22)2=263，方盖差正=133236=2，故选：C 9、边长为 5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（）A10cmB52cm C52+1cmD52 2+4cm 答案：D 分析：将圆柱展开，根据题意即可求出答案.圆柱的侧面展开图如图所示，展开后=12 2 52=52()，=52+(52)2=522+4()，即为所求最短距离 故选:D.10、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A100cm3B200cm3C300cm3D400cm3 答案：B 分析：根据题意可知圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，解得：=10，则大圆锥的底面半径为 5，高为 10，小圆锥的底面半径为 3，高为 6，所以该壶的容积=13 52 10 13 32 6=1963 2003.故选：B.11、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A11B12C21D23 答案：A 分析：按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是 2r，圆柱的侧面积=2 2=42，球的表面积为42，其比例为 1:1，故选：A.12、如图已知正方体 1111，M，N分别是1，1的中点，则（）A直线1与直线1垂直，直线/平面 B直线1与直线1平行，直线 平面11 C直线1与直线1相交，直线/平面 D直线1与直线1异面，直线 平面11 答案：A 分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证/,1 平面1，即可得出结论.连1，在正方体 1111中，M是1的中点，所以为1中点，又N是1的中点，所以/，平面,平面，所以/平面.因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面11，所以选项 B,D 不正确；在正方体 1111中，1 1，平面11，所以 1，1 =，所以1 平面1，1 平面1，所以1 1，且直线1,1是异面直线，所以选项 C 错误，选项 A 正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.双空题 13、佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目图 1 的平行四边形ABCD由六个边长为 1 的正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体形状的香囊那么在图 2 这个六面体中内切球半径为_，体积为_.答案：69 86729 分析：由两个同底且棱长都为 1 的正三棱锥构成的几何体求解.解：如图所示：易知该几何体是侧棱长为 1，以边长为 1 的等边三角形 为底的两个正三棱锥组成，O为 的中心，即内切球的球心，M为FB的中点，连接HM，作 ，则ON为内切球的半径，因为=36,=32,=2 2=63，所以=12 =12 ，所以内切球的半径为=69，内切球的体积为=433=86729，所以答案是：69，86729 14、称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，已知圆柱的轴截面是正方形，且面积为4cm2，则圆柱的母线长为_，底面面积为_.答案：2cm cm2 分析：根据圆柱轴截面的性质，结合正方形的面积公式，可得线段长，根据圆的面积公式，可得答案.由正方形的面积公式，可得其边长为2cm，即圆柱的母线长为2cm，且底面圆的直径为2cm，则面积为cm2.所以答案是：2cm；cm2 15、根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的，则的度数分别为_，的度数分别为_ 答案：45或135；90 分析：由斜二测画法的规则即可求出答案.根据斜二测画法的规则，的度数为45或135，的度数为90.所以答案是：45或135；90.16、如图，平面四边形,=90,=120,=2，将沿折起到的位置，此时二面角 的大小为60，连接，则三棱锥 外接球的表面积为_;三棱锥 的体积为_.答案：16 3 分析：根据题意，可知、都是以为斜边的直角三角形，故三棱锥 外接球的球心为中点，直径为，即可求出三棱锥 外接球的表面积；结合题意求出点到平面的距离，即可得到三棱锥 的体积.由=90，可知三棱锥 外接球的直径为，三棱锥 外接球的半径=2=cos602=2，故三棱锥 外接球的表面积=42=16；由题意得点到直线的距离=sin60=3，因二面角 的大小为60，所以点到平面的距离=sin60=32，故三棱锥 的体积=13=13223232=3.所以答案是：16；3.17、九章算术是中国古代的数学专著，收有 246 个与生产、生活有联系的应用问题早在隋唐时期便已在其他国家传播书中提到了“阳马”它是中国古代建筑里的一种构件，抽象成几何体就是一底面为矩形，其中一条侧棱与底面垂直的直角四棱锥问：在一个阳马中，任取其中 3 个顶点，能构成_个锐角三角形，一个长方体最少可以分割为_个阳马 答案：1 3 分析：根据阳马的结构特征，排除掉所有的直角三角形，即可找到锐角三角形，结合长方体的性质及阳马的特征，可得最少分割阳马的个数.如下图示，面，又底面为矩形，易知 面，面，仅有 是锐角三角形，如下图示，一个长方体最少可以分割为 3 个阳马：、所以答案是：1,3 解答题 18、如图，长方体 1111中，|=|=1，|1|=2，点为1的中点.(1)求证：直线1/平面PAC；(2)求异面直线1与AP所成角的大小.答案：(1)证明见解析(2)30 分析：（1）设和交于点，可得 1，根据线面平行的判定定理即可得证（2）由/1，得即为异面直线1与所成的角求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.（1）设和交于点，则为的中点，连接，是1的中点，/1，又 平面，1平面，直线1/平面；（2）由(1)知，/1，即为异面直线1与所成的角，|=|=2+2=2，|=12|=22，且 ，sin=|=222=12 又 (0，90，=30 故异面直线1与所成角的大小为30 19、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，且=，过点M作 于点H求证：平面平面BCE 答案：证明见解析 分析：结合正方形性质可知/，即/平面BCE，同时=，又由条件可知=，即可判断/，进而证明即可.证明：因为正方形中 ，所以/，则=，因为 平面，所以/平面BCE 因为=，=，所以=，所以=，所以/，因为 平面，则/平面BCE 因为 平面，平面，=，所以平面/平面BCE 20、已知正方体 1111中，E、F是BD、1的中点求证：(1)/平面11；(2)/1 答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析.分析：（1）连接,1，由中位线性质有/1，根据线面平行的判定即可证结论.（2）由正方体的性质，结合平行公理的推论可证/1.（1）连接,1，则与必交于，即也是中点，所以在 1中/1，而 面11，1面11，则/平面11；（2）在正方体中，1/1，由（1）知：/1，故/1.