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(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第八章立体几何初步必考考点训练全国通用版高中数学第八章立体几何初步必考考点训练 单选题 1、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图 1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图 2 是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为 2，则该鲁班锁的表面积为（）A8(6+62+3)B6(8+82+3)C8(6+63+2)D6(8+83+2)答案：A 解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了 8 个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+22的正方体截去了 8 个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为 =6 (2+22)2 4 12 2 2+8 12 2 3=8(6+62+3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.2、如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，=2，=1，点P在线段EF上.给出下列命题：存在点P，使得直线/平面ACF；存在点P，使得直线 平面ACF；直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是55,1；三棱锥 的外接球被平面ACF所截得的截面面积是98.其中所有真命题的序号（）ABCD 答案：D 分析：当点P是线段EF中点时判断；假定存在点P，使得直线 平面ACF，推理导出矛盾 判断；利用线面角的定义转化列式计算判断；求出 外接圆面积判断作答.取EF中点G，连DG，令 =，连FO，如图，在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则/且=，即四边形DGFO是平行四边形，即有/，而 平面ACF，平面ACF，于是得/平面ACF，当点P与G重合时，直线/平面ACF，正确；假定存在点P，使得直线 平面ACF，而 平面ACF，则 ，又/，从而有 ，在Rt 中，=90，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，因此，假设是错的，即不正确；因平面 平面，平面 平面=，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，=，sin=sin=12+2=11+2，而0 2，则55 sin 1，当P与E重合时，=2，sin=1，因此，55 sin 1，正确；因平面 平面，平面 平面=，平面，则 平面，=2，在 中，=2+2=3，显然有 ，sin=2+2=23，由正弦定理得 外接圆直径2=sin=32，=322，三棱锥 的外接球被平面ACF所截得的截面是 的外接圆，其面积为2=98，正确，所以所给命题中正确命题的序号是.故选：D 小提示：名师点评两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.3、下列命题：有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3 答案：A 分析：均可举出反例.如图 1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故错误；如图 2，满足两侧面11与底面垂直，但不是直棱柱，错误；如图 3，四边形11为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，错误；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，错误 故选：A 4、已知圆锥的母线长为 3，其侧面展开图是一个圆心角为23的扇形，则该圆锥的体积为（）A23B223CD2 答案：B 分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.设圆锥的底面圆半径为，故可得2=23 3，解得=1，设圆锥的高为，则=32 12=22，则圆锥的体积=13 2 =13 22=223.故选：B.5、如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点D是线段的中点，点E在底面圆的圆周上，且的长度等于的长度，则异面直线与所成角的余弦值是（）A24B64C104D144 答案：A 分析：过点A作 于点O，过点A作 于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则有（或其补角）就是异面直线与所成的角，设圆锥的底面半径为 2，解三角形可求得答案.解：过点A作 于点O，过点A作 于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则/，且=12，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角，设圆锥的底面半径为 2，则=1，=2，=23，所以=3，在Rt 中，=1，=2，所以=2+2=5，在Rt 中，=5，=3，所以=2+2=22，在Rt 中，=3，=2，=2+2=7，所以在 中，满足2+2=2，所以=90，所以cos=122=24，故选：A.6、下列条件中，能得出直线与平面平行的是（）A直线与平面内的所有直线平行 B直线与平面内的无数条直线平行 C直线与平面没有公共点 D直线与平面内的一条直线平行 答案：C 分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对 A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故 A 错误；对 B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；对 C，能推出与平行；对 D，当直线在平面内时，与不平行.故选：C.7、下列说法正确的有（）两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；经过球面上不同的两点只能作一个大圆；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；圆锥的轴截面是等腰三角形.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：A 解析：根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以不正确；中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以是正确的.故选：A 8、下列命题中 空间中三个点可以确定一个平面.直线和直线外的一点，可以确定一个平面.如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.真命题的个数为（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：A 分析：根据空间位置关系可直接判断各命题.命题：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；命题：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题错误；命题：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题错误；命题：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题错误；故选：A.9、如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：平面；平面；平面；平面；平面.其中不正确的是（）ABCD 答案：D 解析：根据平面的表示方法判断 中不为对角线，故错误；中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.10、在正方体 1111中，P为11的中点，则直线与1所成的角为（）A2B3C4D6 答案：D 分析：平移直线1至1，将直线与1所成的角转化为与1所成的角，解三角形即可.如图，连接1,1,，因为1 1，所以1或其补角为直线与1所成的角，因为1平面1111，所以1 1，又1 11，1 11=1，所以1平面1，所以1，设正方体棱长为 2，则1=22,1=1211=2，sin1=11=12，所以1=6.故选：D 11、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A100cm3B200cm3C300cm3D400cm3 答案：B 分析：根据题意可知圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，解得：=10，则大圆锥的底面半径为 5，高为 10，小圆锥的底面半径为 3，高为 6，所以该壶的容积=13 52 10 13 32 6=1963 2003.故选：B.12、已知直线a与平面,，能使/的充分条件是（）,/,/,/,ABCD 答案：D 解析：根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.对，若 ,，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故错误；对，若/,/，则/，平面的平行具有传递性，故正确；对，若/,/，平行于同一直线的两平面可以相交，故错误；对，,，垂直于同一直线的两平面平行，故正确.综上：正确，故选：D.填空题 13、如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为 8，则平面图形的面积为_.答案：162 分析：根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可 根据直观图与原图的面积比值为定值24，可得平面图形的面积为824=162.所以答案是：162.14、如图，过球的一条半径的中点1，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为_ 答案：316 分析：求出截面圆半径后可得面积比 截面圆半径为，球半径为，则由题意得=2(12)2=32，所以截面圆面积与球表面积比为1=242=34242=316 所以答案是：316 15、设，是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则/；若 ，/，则/其中真命题的序号为_ 答案：分析：由直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.解：由线面垂直的判定定理可得，若要使 ，则要垂直中的两条相交的直线，通过分析，只垂直来中的一条直线，故不能做出判断，故错误；根据面面垂直的判定定理可得，若 ，则 ，故正确；由线面垂直的性质定理可得，两条不同的直线都垂直同一个平面，则这两条直线必平行，故正确；由面面平行的性质定理可得，只有若 ，/，不能得出/，如果加上条件,在同一平面内，则可得线线平行，故错误，所以答案是：16、已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 答案：如果l，m，则lm或如果l，lm，则m.分析：将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l，m，则lm.正确；（2）如果l，lm，则m.正确；（3）如果lm，m，则l.不正确，有可能l与 斜交、l.小提示：本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.17、词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著九章算术商功，是古代人对一些特殊锥体的称呼在九章算术商功中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中 平面，=2，=22，则四面体PABC的外接球的表面积为_ 答案：16 分析：确定外接球球心求得球半径后可得表面积 由于 平面，因此与底面上的直线,都垂直，从而与不可能垂直，否则 是锐角三角形，由于 ，因此有 ，而与是平面内两相交直线，则 平面，平面，所以 ，所以的中点到,四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心 2=2+2=2+2+2=22+22+(22)2=16，=4，所以所求表面积为=4 (2)2=4 22=16 所以答案是：16 解答题 18、有一堆规格相同的铁制（铁的密度为7.8g/cm3）六角螺帽共重6kg，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，（1）求一个六角螺帽的体积；（精确到0.001cm3）（2）问这堆六角螺帽大约有多少个？（参考数据：=3.14,3=1.73,2.952 7.8 23,1.083 7.8 8.45）答案：（1）2.952(cm3)；（2）261 个.解析：（1）利用六棱柱的体积减去圆柱的体积即得解；（2）计算6 1000(7.8 2.952)即得解.（1）由题得=34(12)2 6 10 3.14(102)2 10=3736.8 785=2951.8 2952(mm3)=2.952(cm3)（2）这堆螺帽的个数为：6 1000 (7.8 2.952)261（个）答：每个螺帽的体积为2.952cm3，共有 261 个螺帽.小提示：本题主要考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为7032，钝角为10928）的原因 答案：理由见解析.分析：蜂房是蜜蜂用来盛蜂蜜的在体积一定的情况下，为了节约空间，蜜蜂建造蜂房时，首先希望蜂房既对称而又有规律，而正多边形正好符合这一要求，我们知道并非任意的正多边形都能铺满平面的，那么能铺满整个平面的正多边形又有哪些呢？谁最佳呢？这也就是我们要回答问题：为什么蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为7032，钝角为10928）？因为蜜蜂建造蜂房时需要使用材料（蜂腊）最少，在空间(体积)一定的情况下，这种形状容积最大.用正六边形才能蜂腊的用料最小.菱形的大小不影响蜂房的容积，只影响蜂房的表面积，但会影响到制造蜂房所用的材料；蜂房的底能够无间隙地粘合在一起.数学模型 I：能铺满平面的正多边形有哪些？在周长一定的情况下，哪种面积最大？数学模型 I 的求解：由于正边形的每一个内角都等于(2)180，要将平面铺满，则有：(2)180=360，解得=2+42,+，故=3,4,5时，符合要求.当周长一定时，正三角形的面积为S3=3362；正四边形的面积为S4=1162；正六边形的面积为S6=3242.此时有：S3S4S6，所以正六边形是最佳的设计.数学模型：蜂房口的正六边形及蜂房的容积一定的情况下，问题是底面菱形的各角分别多大时，蜂房的表面积最小？数学模型求解：假定六棱柱的边长是1，先求的长度，是腰长为 1，夹角为120的等腰三角形.以为对称轴作一个三角形 (图 3).三角形是等边三角形.因此，12=1 (12)2=32，即得=3.把图 4 的表面分成六份，把其中之一摊平下来，得出图 7 的形状.从一个宽为1的长方形切去一角，切割处成边.以为腰，32为高作等腰三角形.问题:怎样切才能使所作出的图形的面积最小?假定被切去的三角形的高是.从矩形中所切去的面积等于12.现在看所添上的三角形的面积。AP 的长度是1+2，因此的长度等于2(1+)234=1+42 因而三角形的面积等于341+42.问题再变而为求12+341+42的最小值的问题.令=12+341+42，故+12=341+42，两边平方，整理得 2 2+38 22=0 因为是实数，故二次方程判别式 =238+22=3238 0，而必大于0，因此的最小值为88，即=88.当=88时取最小值，即在一棱上过=88处（图 5 中点）以及与该棱相邻的二棱的端点（图 5 中，点）切下来洴上去的图形的表面积最小.设=，由余弦定理得，并将=88代入可得 cos=2(2+1)(42+1)2(2+1)=1222(2+1)=381+18=13.因此得出=7032.小提示：建模的关键是围绕蜂房是蜜蜂用来盛蜂蜜的在体积一定的情况下，为了节约空间和蜂房既对称而又有规律，材料最少的原则.20、如图在四棱锥 中，底面为菱形，为正三角形，平面 平面，、分别是、的中点.（1）证明：；（2）若M是棱上一点，三棱锥 与三棱锥 的体积相等，求M点的位置.答案：（1）证明见解析；（2）M点在上靠近P点的四等分点处.解析：（1）连接，由/，可证明 ，从而得 平面，得证线线垂直；（2）设设=，则=+1，根据棱锥的体积公式，利用体积法得出结论，由=+1=+1，=14=14，可得值（1）连接，=且E是的中点，.又平面 平面，平面 平面=，平面.平面，平面，.又为菱形，且、分别为棱、的中点，/.，又 ，=，平面；平面，.（2）如图，连接、，设=，则=+1，=+1=+1，=14，则=14=14，又=.+1=14.解得=13，即M点在上靠近P点的四等分点处.小提示：方法点睛：本题考查由线面垂直证明线线垂直，考查由体积法求线段的比值若是棱锥 棱上一点，则=三棱锥求体积时可以换底，这样求体积比较灵活简便