2023年人教版高中数学选修一考点大全笔记.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学选修一考点大全笔记年人教版高中数学选修一考点大全笔记 单选题 1、已知正方体 1111的棱长为a，则平面11与平面1的距离为（）A2B3C23D33 答案：D 分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解 由正方体的性质，1 1,11，1 11=1，1 =，易得平面11平面1，则两平面间的距离可转化为点B到平面11的距离 以D为坐标原点，DA，DC，1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系，则(,0,0)，(,0)，1(,0,)，(0,0)，1(,)，1(0,0,)所以1=(,)，=(0,0)，1=(0,)，11=(,0)连接1，由1 1=(,)(0,)=0，1 11=(,)(,0)=0，且1 11=1，可知1 平面11，得平面11的一个法向量为 =(1,1,1)，则两平面间的距离=|=3=33 故选：D 2、如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足的是（）AB CD 答案：A 分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为 2，点(1,1,0)，对于 A，(0,0,2),(2,0,0),(2,0,1)，=(2,0,-2),=(1,-1,1)，=0，A 是；对于 B，(2,0,2),(0,2,2),(0,2,1)，=(-2,2,0),=(-1,1,1)，=40，与不垂直，B 不是；对于 C，(0,2,2),(0,0,0),(2,1,2)，=(0,-2,-2),=(1,0,2)，=-40，与不垂直，C 不是；对于 D，(2,2,2),(0,2,0),(0,0,1)，=(-2,0,-2),=(1,0,1)，=-40，与不垂直，D 不是.故选：A 3、直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等边三角形，AA1AB，M是A1C1的中点，则AM与平面11所成角的正弦值为（）A710B1510C8510D1510 答案：B 分析：取的中点，以为原点，,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出 如图所示，取的中点，以为原点，,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设=2，则(0,1,0),(0,0,2),(3,0,0),(32,12,2)，所以=(0,1,2)，平面11的一个法向量为 =(32,32,0)设AM与平面11所成角为，向量 与 所成的角为，所以sin=|cos|=|=3253=1510，即AM与平面11所成角的正弦值为1510 故选：B 4、如果复数z满足|+1|=2，那么|2+|的最大值是（）A13+2B2+3 C13+2D13+4 答案：A 分析：复数满足|+1|=2，表示以(1,1)为圆心，2 为半径的圆|2+|表示圆上的点与点(2,1)的距离，求出|即可得出 复数满足|+1|=2，表示以(1,1)为圆心，2 为半径的圆|2+|表示圆上的点与点(2,1)的距离|=32+22=13|2+|的最大值是13+2 故选：A 小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|+1|=2表示的圆的半径为 2，而不是2 5、在平面直角坐标系中，四点坐标分别为(2,0),(3,2 3),(1,2+3),(4,)，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（）A0B1C2D3 答案：C 分析：设出圆的一般式2+2+=0，根据(2,0),(3,2 3),(1,2+3),求出=4=4=4，然后将点(4,)带入圆的方程即可求得结果.设圆的方程为2+2+=0，由题意得22+02+2+=032+(2 3)2+3+(2 3)+=012+(2+3)2+(2+3)+=0，解得=4=4=4，所以2+2 4 4+4=0，又因为点(4,)在圆上，所以42+2 4 4 4+4=0，即=2.故选：C.6、已知方程x2y22x2k30 表示圆，则k的取值范围是（）A(，1)B(3，)C(，1)(3，)D(32,+)答案：A 分析：把圆的方程x2y22x2k30 化为标准型，利用2 0，解出k的取值范围.方程可化为(x1)2y22k2，只有2k20，即k1 时才能表示圆 故选：A.7、若点在曲线1:21629=1上，点在曲线2:(5)2+2=1上，点在曲线3:(+5)2+2=1上，则|的最大值是（）A9B10C11D12 答案：B 分析：分析可知两圆圆心为双曲线1的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得|的最大值.在双曲线1中，=4，=3，=5，易知两圆圆心分别为双曲线1的两个焦点，记点1(5,0)、2(5,0)，当|取最大值时，在双曲线1的左支上，所以，|2|+1 (|1|1)=|2|1|+2=2+2=10.故选：B.8、在正方体 1111中，P为11的中点，则直线与1所成的角为（）A2B3C4D6 答案：D 分析：平移直线1至1，将直线与1所成的角转化为与1所成的角，解三角形即可.如图，连接1,1,，因为1 1，所以1或其补角为直线与1所成的角，因为1平面1111，所以1 1，又1 11，1 11=1，所以1平面1，所以1，设正方体棱长为 2，则1=22,1=1211=2，sin1=11=12，所以1=6.故选：D 9、已知四棱锥 ，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，=13，=，设=，=，=，则向量 用 ,为基底表示为（）A +13+12 B +16+12 C 13+12 D 16+12 答案：D 分析：由图形可得=+，根据比例关系可得=13，=12，再根据向量减法=，代入整理并代换为基底向量 =+=13 +12=13 +12()=16+12 即=16+12 故选：D 10、如图所示，在空间四边形中，,=,=，点在上，且=2，为中点，则（）A12 23+12 B23 +12+12 C12 +12 12 D23 +23 12 答案：B 分析：由向量的加法和减法运算法则计算即可 =12(+)23=23 +12+12 故选：B 11、若圆2+2=1上总存在两个点到点(,1)的距离为 2，则实数a的取值范围是（）A(22,0)(0,22)B(22,22)C(1,0)(0,1)D(1,1)答案：A 分析：将问题转化为圆()2+(1)2=4与2+2=1相交，从而可得2 1 2+12 2+1，进而可求出实数a的取值范围.到点(,1)的距离为 2 的点在圆()2+(1)2=4上，所以问题等价于圆()2+(1)2=4上总存在两个点也在圆2+2=1上，即两圆相交，故2 1 2+12 2+1，解得22 0或0 0，点A（1，2）在圆C外可得12+22+2 2+2 0，求解即可 由题意，2+2+2+2=0表示圆 故2+(2)2 4 2 0，即 2或 0，即 3 故实数m的取值范围为 2或3 0)的焦点重合，则实数的值为_.答案：4 4 分析：利用2=2+2及抛物线的焦点横坐标为2计算即可.由已知，=3,=1，故=2+2=2，所以焦距为2=4，又双曲线右焦点为(2,0)，所以有2=2，=4.所以答案是：（1）4；（2）4.小提示：本题考查抛物线、双曲线的定义及应用，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.15、已知点(0,0),(4,0),(0,4).若从点(1,0)射出的光线经直线反射后过点(2,0)，则反射光线所在直线的方程为_；若从点(,0),(0,4)射出的光线经直线反射，再经直线反射后回到点，则光线所经过的路程是_（结果用表示）.答案：2+2=0 22+32 解析：首先求出点(1,0)关于直线的对称点，由(2,0)结合点斜式即可求解；求出点(,0),(0,4)关于轴对称点，关于直线对称点，|即为光线经过的路程.设点(1,0)关于直线的对称点为(0,0)，直线：+4=0，所以0001(1)=10+12+0+02 4=0 解得0=4，0=3，故(4,3)，由(2,0)：0=304(2)(+2)，即 2+2=0.点(,0),(0,4)关于轴对称点(,0)，设关于直线对称点(1,1)，由101(1)=11+2+1+02 4=0 解得1=4，1=4 ，故(4,4 ).故|=(4+)2+(4 )2=22+32 所以答案是：2+2=0；22+32 小提示：本题主要考查点斜式方程、中点坐标公式、两点间的距离公式，考查了学生的基本知识，属于基础题.16、过圆：2+2=2外一点(0,0)作圆的切线，切点分别为，我们可以把线段叫做圆的切点弦，其所在直线方程为0+0=2.现过点(1,3)作圆：2+2=4的切线，切点分别为，则切点弦所在直线的方程为_；若点是直线：4=0上的动点，过点作圆：2+2=4的切线，切点分别为，则切点弦所在直线恒过定点_.答案：+3 4=0；(1,1)分析：根据题意，对第一空：由题目中“切点弦”所在直线的方程，直接代入点(1,3)坐标即可得答案；对第二空：设的坐标为(,)，求出“切点弦”所在直线方程，结合m，n之间的关系可求解.解：根据题意，圆：2+2=4中，由2=4，点(1,3)在圆外，过点(1,3)作圆：2+2=4的切线，切点分别为，则切点弦所在直线的方程为+3 4=0，设的坐标为(,)，则 4=0，即=+4，过点作圆：2+2=4的切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为+4=0，又由=+4，则直线的方程变形可得(+)+4 4=0，则有+=04 4=0，解可得=1=1，则直线恒过定点(1,1)，所以答案是：+3 4=0；(1,1).小提示：名师点评（1）过圆：2+2=2上一点(0,0)作圆的切线，则切线方程为：0+0=2；（2）过圆：2+2=2外一点(0,0)作圆的切线，设切点分别为，则切点弦所在直线方程为：0+0=2.17、在长方体 1111中，=1=1，=2，点在棱上移动，则直线1与1所成角的大小是_，若1 ，则=_ 答案：90 1 分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线1和1的方向向量，由向量的夹角得异面直线所成的角，利用垂直求出点坐标后可得的长 长方体 1111中以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，又=1=1，=2，点在棱上移动，则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,2,0)，设E(1,m,0)，0m2，则1=(1,m,1)，1=(1,0,1)，1 1=1+0+1=0，直线D1E与A1D所成角的大小是 90 1=(1,m,1)，=(1,2m,0)，D1EEC，1 =1+m(2m)+0=0，解得m=1，AE=1 所以答案是：90；1 小提示：本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，求空间线段的长，解题关键是建立空间直角坐标系，这在长方体中易得 解答题 18、抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：=1交C于P，Q两点，且 已知点(2,0)，且 与l相切（1）求C，的方程；（2）设1,2,3是C上的三个点，直线12，13均与 相切判断直线23与 的位置关系，并说明理由 答案：（1）抛物线:2=，方程为(2)2+2=1；（2）相切，理由见解析 分析：（1）根据已知抛物线与=1相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,坐标，由 ，即可求出；由圆与直线=1相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑12斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若12,13,23斜率存在，由1,2,3三点在抛物线上，将直线12,12,23斜率分别用纵坐标表示，再由12,12与圆相切，得出2+3,2 3与1的关系，最后求出点到直线23的距离，即可得出结论.（1）依题意设抛物线:2=2(0),(1,0),(1,0)，,=1 02=1 2=0,2=1，所以抛物线的方程为2=，(2,0),与=1相切，所以半径为1，所以 的方程为(2)2+2=1；（2）方法一：设1(11),2(2,2),3(3,3)若12斜率不存在，则12方程为=1或=3，若12方程为=1，根据对称性不妨设1(1,1)，则过1与圆相切的另一条直线方程为=1，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3，不合题意；若12方程为=3，根据对称性不妨设1(3,3),2(3,3),则过1与圆相切的直线13为 3=33(3)，又13=1313=11+3=13+3=33,3=0，3=0,3(0,0)，此时直线13,23关于轴对称，所以直线23与圆相切；若直线12,13,23斜率均存在，则12=11+2,13=11+3,23=12+3，所以直线12方程为 1=11+2(1)，整理得 (1+2)+12=0，同理直线13的方程为 (1+3)+13=0，直线23的方程为 (2+3)+23=0，12与圆相切，|2+12|1+(1+2)2=1 整理得(12 1)22+212+3 12=0，13与圆相切，同理(12 1)32+213+3 12=0 所以2,3为方程(12 1)2+21+3 12=0的两根，2+3=21121,2 3=312121，到直线23的距离为：|2+23|1+(2+3)2=|2+3 1212 1|1+(2112 1)2=|12+1|(121)2+412=12+112+1=1，所以直线23与圆相切；综上若直线12,13与圆相切，则直线23与圆相切.方法二【最优解】：设1(1,1),12=1,3(3,3),32=3,2(2,2),22=2 当1=2时，同解法 1 当1 2时，直线12的方程为 1=2121(1)，即=1+2+121+2 由直线12与 相切得|2+121+2|(11+2)2+1=1，化简得212+(1 1)2 1+3=0，同理，由直线13与 相切得213+(1 1)3 1+3=0 因为方程21+(1 1)1+3=0同时经过点2,3，所以23的直线方程为21+(1 1)1+3=0，点M到直线23距离为|2(11)1+3|412+(11)2=|1+1|(1+1)2=1 所以直线23与 相切 综上所述，若直线12,13与 相切，则直线23与 相切【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用12,13的对称性，抽象出2+3,2 3与1关系，把2,3的关系转化为用1表示，法二是利用相切等条件得到23的直线方程为21+(1 1)1+3=0，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路 19、求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心在x轴上，半径为 5，且过点(2,3)；(2)经过点(4,5)、(6,1)，且以线段AB为直径；(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点(2,1)；(4)圆心在直线x-2y-3=0 上，且过点(2,3)，(2,5)答案：(1)(+2)2+2=25或(6)2+2=25(2)(1)2+(+3)2=29(3)(1)2+(+2)2=2(4)(+1)2+(+2)2=10 分析：利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程.（1）设圆的标准方程为()2+2=25 因为点(2,3)在圆上，所以(2 )2+(3)2=25，解得a=-2 或a=6，所以所求圆的标准方程为(+2)2+2=25或(6)2+2=25（2）设圆的标准方程为()2+()2=2(0)，由题意得=4+62=1，=512=3；又因为点(6,1)在圆上，所以2=(6 1)2+(1+3)2=29 所以所求圆的标准方程为(1)2+(+3)2=29（3）设圆心为(,2)因为圆与直线y=1-x相切于点(2,1)，所以|21|12+12=(2)2+(2+1)2，解得a=1所以所求圆的圆心为(1,2)，半径=(1 2)2+(2+1)2=2 所以所求圆的方程为(1)2+(+2)2=2（4）设点C为圆心，因为点C在直线 2 3=0上，故可设点C的坐标为(2+3,)又该圆经过A、B两点，所以|=|所以(2+3 2)2+(+3)2=(2+3+2)2+(+5)2，解得a=-2，所以圆心坐标为(1,2)，半径=10 故所求圆的标准方程为(+1)2+(+2)2=10 20、已知点C的坐标为(1,2)，O为原点(1)直线l不过原点且在x轴、y轴上的截距相等，点(1,2)到直线l的距离为 2，求直线的方程；(2)已知点(0,0)，直线 ，且|=2，若|=|，求使|取最小值时点P的坐标 答案：(1)直线l方程为+=1+22和+=1 22(2)|min=510,此时(110,15)分析：（1）由题意，设直线l的方程为+=，根据点到直线的距离公式求出的值即可得答案；（2）由|=|=|2 4，可得20 40+1=0，代入|=|2 4=02+02+20 40+1消去0，利用二次函数知识即可求解.（1）解：因为直线l不过原点且在x轴、y轴上的截距相等，所以设直线l的方程为+=，又点(1,2)到直线l的距离为 2，所以|1+2|2=2，所以=1 22，所以直线l方程为+=1+22和+=1 22；（2）解：根据题意，可得|2=|2 4，因为|=|，所以|2 4=|，即(0+1)2+(0 2)2 4=02+02，所以20 40+1=0，所以|=|2 4=02+02+20 40+1=502 20+14=5(015)2+120，所以当0=15时，|min=510，此时(110,15)