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湘教版八年级上册单元小结与复习
第一章：分式
班级： 学号： 姓名：
一、课前构建：
认真阅读教材P1－40回顾相关知识：
—分式的定义
—分式的概念——分式无意义
—分式的值为零
—分式的性质
分式— —乘、除运算
—分式的运算——整数指数幂的运算
—加、减运算
—分式方程

二、课堂点拨：
知识点一：分式的概念
★考点1:分式的定义：
一个整式除以一个 （ ），所得的商叫做分式。
例1、下列式子中，是分式的是 。
★考点2:分式无意义：
在分式中，当 时，分式无意义； 时，分式有意义。
例2、当= 时，分式没有意义；当 时，分式有意义。
★考点3:分式的值为零：
在分式中，当 且 时，分式的值为0。
例3、若分式的值为零，则x的值为 。
知识点二：分式的性质
★考点4:分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘 ，所得分式与原分式相等。即 （其中）
分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。即 （其中）
分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。即 。
例4、如果把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（ ）
A、扩大4倍 B、扩大2倍 C、不变 D、缩小2倍
例5、根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A、 B、 C、 D、

★考点5:最简分式
（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。
约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。
（2）最简分式：分子与分母没有 分式，叫做最简分式。
注：分式运算的最终结果若是分式，一定要化成最简分式。
例6、化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、

知识点三：分式的运算
★考点6:分式的加减法
①同分母分式相加减，分母 ，把分子 。即 。
②异分母分式相加减，要先 ，即把各个分式的分子与分母都乘适当的同一个非零多项式，化为同分母的分式，再加减。即 。
注：最简公分母：①最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母和式子是各分母的所有字母和式子。
③最简公分母的每个字母或式子的指数是它在各分母中次数最高。
例7、计算的结果是 。
例8、已知两个分式：，，其中，则A与B 的关系是（　　）
A、相等　　　B、互为倒数　 　C、互为相反数　　　D、A大于B

★考点7:分式的乘除法
乘：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式。即 。
除：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即 （其中 ）。
分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母各自乘方。即 （其中是正整数）。
例9、化简= 。
例10、先化简，再取一个你认为合理的值，代入求原式的值。

知识点四：分式方程
★考点8:分式方程的解法：
⑴去分母法①去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
②解方程：解上面所得的整式方程；
③检验：把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使 的根是原方程的根，使 的根是增根。
⑵换元法 也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数。
例11、解下列方程：
⑴ ⑵

★考点9:分式方程的应用：
分析清楚题目中各个量，找出它们的等量关系。
除了解分式方程必须检验外，还需要检查原方程的根是否符合实际问题的要求。
例12、曙光中学计划组织学生观看爱国主义教育影片，包场费1500元；后来实验中学的200名师生也一同观看了影片，商定包场费1500元由两校按人数均摊，这样曙光中学人均比原来少支付2元，问曙光中学有多少人观看了影片？

三、随堂巩固：
1、当＝ 时，分式没有意义；当 时，分式无意义。
2、当分式的值为零时，= 。
3、化简= 。
4、若，则 。
5、方程的解是 。
6、某同学解分式方程，得出原方程的解为或。你认为他的解答对吗?请你作出判断，并说明理由 。
7、当=_____时，方程+=无解。
8、分式有意义，则应满足（ ）
A、≠-4 B、≠-3 C、≠-4或≠-3 D、≠-4且≠-3
9、化简的结果是（ ）
A、-4 B、4 C、 D、+4
10、若关于的方程有增根，则的值是（ ）
A、3 B、2 C、1 D、－1
11、化简与计算：
⑴、 ⑵、 ⑶、解方程：

12、先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的的值代入求值。

13、先化简再求值：，其中满足。

湘教版八年级上册单元小结与复习
第二章：三角形
班级： 学号： 姓名：
一、知识构建

二、知识点拨
★考点1：三角形三边的关系
三角形的任意两边之和 第三边。
例1：已知一个三角形的两边长分别是1和5，则第三边C的取值范围是（ ）
A．1<C<5 B．4≤C≤6 C．4<C<6 D．1<C<6
★考点2：三角形的高、角平分线和中线
①从三角形的一个 向它的 所在直线作 ， 和 之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高；
②在三角形中，一个角的 与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；
③在三角形中，连接一个顶点和它的对边 的线段叫做三角形的中线。
例2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是（ ）
A.中线 B.高 C.角平分线 D.以上都不是
★考点3：三角形的内角和
三角形的内角和等于 。
例3、已知△ABC中，∠A=20°，∠B－∠C=40°，则∠B=____。
★考点4：三角形按角分类
三角形中，三个角都是 的三角形叫做锐角三角形；有一个角是 的三角形叫做直角三角形；有一个角是 的三角形叫做钝角三角形。
例4：满足下列条件的△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？
(1) ∠A=20°,∠B =65°，则△ABC是 ；
(2) ，则△ABC是
(3)∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC是
★考点5：三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一边的 所组成的角叫做三角形的外角；
②性质：三角形的一个外角等于 。
例5：在△ABC中，∠A的外角是80°，则∠B+∠C=（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
★考点6：命题与逆命题
①一般地，对某一件事情做出 的语句（陈述句）叫做命题，命题常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是 ，“那么”引出的部分是 ；
②对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ，那么这两个命题称为 ，其中一个叫做 ，另一个叫做 。
例6：下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短； （2）请画出两条互相平行的直线；
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（4）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余.
A．（2）（3） B．（3）（4） C．（1）（2） D．（1）（4）
★考点7：真命题与假命题
正确地命题叫做 ，错误的命题叫做 。
例7、下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．若a-b=0，则a=b=0 B．若a-b＞0，则a＞b
C．若a-b＜0，则a＜b D．若a-b≠0，则a≠b
★考点8：等腰三角形的性质
定义： 的三角形叫做等腰三角形；
①对称性：等腰三角形是 图形，对称轴是 ；
②“三线合一”：等腰三角形 上的高、中线及 的角平分线重合；
③“等边对等角”：等腰三角形的两 相等。
例8：等腰三角形的两边长为25cm和12cm， 那么它的第三条边长为______；等腰三角形的一个外角是70°，则其底角等于 °；等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数有 条。
★考点9：等边三角形的性质
定义： 的三角形叫做等边三角形；
①等边三角形的三个内角 ，且都等于 ；
②等边三角形是特殊的 三角形。
例9：等边三角形的对称轴有（ ）
A．1条 　　B．2条 　　　C．3条 　　D．4条
★考点10：等腰（等边）三角形的判定
等腰三角形的判定定理： 的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）；
等边三角形的判定定理：①三个角都是 的三角形是等边三角形；
②有一个角是 的 三角形是等边三角形。
例10：下列叙述不正确的是（ ）
A、有两个内角是700和400的三角形是等腰三角形
B、一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C、有两个内角不相等的三角形一定不是等腰三角形
D、三个外角都相等的三角形是等边三角形
★考点11：线段的垂直平分线
定义： 且 一条线段的 叫做这条线段的垂直平分线；
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 ；
性质定理的逆定理：到线段两端距离 的点在线段的垂直平分线上。
例11：在△ABC中，AB边的垂直平分线交AC于点E，△ABC和△BEC的周长分别是24和14，则AB= 。

★考点12：全等三角形的性质
定义： 的两个三角形叫做全等三角形；
性质：全等三角形的对应边 ；全等三角形的对应角 。
例12：已知△ABC≌△DFE，∠A=25°，∠C=96°，AC=10，则∠BOD的度数是 ，BD的长是 。
★考点13：全等三角形的判定
两边及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”；
两角及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”；
两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”；
分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。

三、当堂测评
一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)
1. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11 B．8，8，16 C．4，5，10 D．6，9，14
2. 在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为（ ）
A．19cm B．19cm和14cm C．11cm D．10cm
3. 对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40°
4. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为（ ）
A.80°    B.50°    C.80°或50°    D.65.5°
5. 下列有关垂直平分线的说法中不正确的是( )
A、垂直平分线是一条射线； B、垂直平分线是一条直线
C、线段的垂直平分线是这条线段的对称轴；
D、到线段的两端点距离相等的点在它的垂直平分线上。
6. 如右图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
7. 下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是( )
A、AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′ B、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′
C、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′ D、∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
8. 如右图，在中，AB=AC，AD=DE，，，
则的度数为（ ）
A. B. C. D.

二、填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分)
9. 已知线段AB=8㎝，直线CD是AB的垂直平分线，且AB交CD于E，则AE= ㎝,∠AEC= °。
10. 请将“同位角相等”改写成“如果···，那么···”的形式，
11. 一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是 三角形。
12. 已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____。
13. 等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________，底边长为________。
14. 已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______。
15. 如左图，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO平行于β，入射到α上，经两次反射后的出射光线CB平行于α，则角θ等于________。
16. 如右图，在中，点是上一点，，，则 。

三、解答题(本题共3小题，共36分)
17. 在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB=∠B+30°，求∠AEB．

18、如图，中，，于 ，平分交于，交于，求证：是等腰三角形．

19、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
　(2)证明：DC⊥BE .

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第三章：无理数
班级： 学号： 姓名：
一、课前构建：
认真阅读教材P104－126回顾相关知识：
实数与数轴上的点一一对应
无理数
有理数

相反数

绝对值

平方根
实数的大小比较
实数

开方

立方根
实数的运算

加、减、乘、除、乘方

二、课堂点拨：
知识点一：平方根
★考点1:平方根的定义
例1、判断下列说法是否正确；
(1)、—5是25的平方根； （ ） (2)、25的平方根是—5； （ ）
(3)、0的平方根是0；　　 （ ） (4)、﹣1的平方根是±1； （ ）
（5)、(—3)２的平方根是—3； （ ） （6）、的值是4。 （ ）
【归纳小结】正数有 个平方根，且它们互为 ；0有且只有 个平方根；
负数 平方根。只有 数才有平方根。

知识点二：平方根和算术平方根的区别与联系
★考点2:利用平方根、算术平方根的概念求值
例2、(1）、0.09的平方根是 ，算术平方根是 ；的平方根是 ，算术平方根是 。
（2）、的算术平方根为_________，=_________ 。
（3）、若=2，则2x+5的平方根是_________ 。
例3、（-2）2的算术平方根是（ ）A． 2 B． ±2 C．－2 D．

知识点三：立方根
★考点3：求一个数的立方根
例4、求下列各式的值；
(1)、 (2)、 （3)、 (4)、
例5、若，则k的值是 。
【归纳小结】一个正数有 个立方根，是 数；负数有 个立方根，是 数；
0的立方根是 ；任何数的立方根有 个。

知识点四：无理数
★考点4：无理数的概念
例5、无理数是（ ）
A、无限循环小数 B、无限小数
C、带根号的数 D、无限不循环小数
例6、四个数－5，－0.1，，中为无理数的是( ).
A. －5 B. －0.1 C. D.
例7、的整数部分是________，小数部分是___________；

知识点五：实数
★考点5:实数的概念及分类
例8、下列各数填入相应的集合内：-5，3.7，，0.2121121112、、、填入相应的集合里。
有理数集合___________________________,无理数集合_________________________________,
正实数集合___________________________,负实数集合_________________________________.
例9、和数轴上的点一一对应的是（　　）
A、整数　 B、有理数　 C、无理数　　　D、实数

★考点6:实数的相反数、绝对值、倒数的意义
例10：⑴的相反数是 ，绝对值是 ；
⑵ ；
⑶ ；

★考点7：实数的大小比较
例11、如在实数0，中最小的是（ ）.
A． B． C．0 D．｜－2｜

★考点8:实数的加、减、乘、除、乘方运算
例12、计算下列各式的值；
（1） （2）+|﹣3|﹣（π﹣2013）0．
（3） （4）

例13、解方程；
（1） （2）

三、随堂巩固：
1、a的算术平方根是5，则a= ,它的另一个平方根是 。
2、若，则x－y的值 。
3、某数的立方根等于它本身，则这个数是 。
4、若的算术平方根是2，则______.
5、若，则的取值范围是________.
6、的相反数是 ，绝对值是 。
7、比较大小：－７ 。
8、当_______时，；当_______时，.
10、在两个连续整数和之间，即，那么、的值是 。
11、按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是___________；

12、4的算术平方根是（　　）
A． 　B．2　 C．　 D．
13、若使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14、四个数－5，－0.1，，中为无理数的是( ).
A. －5 B. －0.1 C. D.
15、下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16、对于实数、，给出以下三个判断：
①若，则．②若，则．
③若，则．其中正确的判断的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
17、若为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B.-1 C.2 D.-2
18、设，则按由小到大的顺序排列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
19、计算：（1）|－3|＋(－1)2011×(π－3)0－＋()－2

（2） （3）

20、已知：，求x－y的立方根。

湘教版八年级上册单元小结与复习
第五章：二次根式
班级： 学号： 姓名：
一、课前构建：
认真阅读教材P154－173回顾相关知识：
—最简二次根式
—同类二次根式
—
二次根式——性质——
—
—
—二次根式的运算

二、课堂点拨：
知识点一：二次根式的概念
二次根式：式子叫做二次根式。
★考点1: 最简二次根式：①被开方数的因数是 ，因式是 ；
②被开方数中不含 。
例1：在根式中，最简二次根式有 。
★考点2: 同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数 二次根式，叫同类二次根式。
例2：若最简二次根式与是同类二次根式，则= 。

知识点二：二次根式的性质
⑴、 ⑵、
⑶、 ⑷、
例3：（1）已知，化简的结果是 。
（2）化简的结果是 。

知识点三：二次根式的运算
⑴二次根式的加减：将各根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。
⑵二次根式的乘法：二次根式相乘，把被开方数相乘，所得的积仍作为积的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。
①乘法通式：
②多项式的乘法公式适用于二次根式的乘法。
⑶二次根式的除法：二次根式相除，把被开方数相除，所得的商仍作为商的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。
除法通式：
补充：分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
注：有理化因式：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不再含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。
常用的有理化因式有:与,
⑸二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。
例4：先化简，再求值：，其中。

三、随堂巩固：
1、化简:=________。
2、已知25, 化简 =___________。
3、如果最简二次根式与是同类二次根式, 则=__________。
4、从、、、4中随机抽取一个根式与是同类二次根式的概率是_____。
5、等式中的括号应填入 。
6、观察分析下列数据，按规律填空：,2,,2,,…, (第个数)。
7、将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为 。(不计损耗)
8、观察下列分母有理化的计算：
，， ，
，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
＝__ _。
9、若 有意义，则的取值范围（ ）
A、2 B、≥ 2 C、2 D、≤ 2
10、已知，那么可化简为（ ）
A、- B、 C、-3 D、3
11、当时,化简的结果是( )
A、-1 B、1 C、 D、-
12、已知,则化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
13、下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
14、设,则的大小关系是（ ）
A、 B、 C、 D、
15、适合=3―a的正整数的值有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
16、已知为实数，且，则的值为（ ）
A、3 B、– 3 C、1 D、– 1
17、当为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
⑴中　　　　　　；　　　　　　　⑵－中　　　　　　；
⑶中　　　　　　。
18、化简下列各式：
（1）（0＜＜2） （2）

19、化简：（0＜＜3）

20、已知，求值。

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