七、八年级数学定理、概念、公式总集.doc

数学定理定义公式总集
有理数
（一）有理数
1、 有理数的分类：
按有理数的定义分类： 按有理数的性质符号分类：
正整数 正整数
整数 零 正有理数
有理数 负整数 正分数
正分数 有理数 0
分数 负整数
负整数 负有理数
负分数

2、 正数和负数用来表示具有相反意义的数。
（二）数轴
1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2、数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。
（三）相反数
1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
2、几何定义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫
做互为相反数。
3、代数定义： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。
（四）绝对值
1、定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
2、几何定义： 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
3、代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值
是0。
a (a＞0)，
即对于任何有理数a,都有|a|＝ 0（a＝0）
–a(a＜0)
4、绝对值的计算规律：
（1）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（2）若|a|＝|b|,则a ＝b或a ＝－b.
（3）若|a|+|b|＝0，则|a|＝0，且|b|＝0.
相关结论：
（1）0的相反数是它本身。
（2）非负数的绝对值是它本身。
（3）非正数的绝对值是它的相反数。
（4）绝对值最小的数是0。
（5）互为相反数的两个数的绝对值相等。
（6）任何数的绝对值都是它的正数或0，即|a|≥0。
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
⑵两个负数，绝对值大的反而小。
（五）倒数
1、定义：乘积为“1”的两个数互为倒数。
2、求法：颠倒这个数的分子和分母。
3、a（a≠0）的倒数是 .
有理数的运算
一、有理数的加法法则：
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、 一个数同零相加，仍得这个数；
4、两个互为相反数的两个数相加得0。
5、两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法交换律：a＋b＝b＋a
三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
二、有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
三、有理数的乘法法则：
1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2、任何数同0相乘，都得0；
3、乘积是1的两个数互为倒数。
4、几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
ab＝ba
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
（ab）c＝a（bc）
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
a（b＋c）＝ab＋ac
数字与字母相乘的书写规范：
⑴数字与字母相乘，乘号要省略，或用“”
⑵数字与字母相乘，当系数是1或－1时，1要省略不写。
⑶带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数。
用字母x表示任意一个有理数，2与x的乘积记为2x，3与x的乘积记为3x，则式子2x＋3x是2x与3x的和，2x与3x叫做这个式子的项，2和3分别是着两项的系数。
一般地，合并含有相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得结果作为系数，再乘字母因数，即
ax＋bx＝（a＋b）x
上式中x是字母因数，a与b分别是ax与bx这两项的系数。
去括号法则：
括号前是“＋”，把括号和括号前的“＋”去掉，括号里各项都不改变符号。
括号前是“－”，把括号和括号前的“－”去掉，括号里各项都改变符号。
括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
四、有理数的除法法则：
1、除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；
2、两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的
数，都得0。
五、乘方
1、定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
2、幂的符号法则：
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
0的任何次正整数次幂都是0。
3、在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。
六、有理数的混合运算顺序：
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
七、科学计数法、有效数字、近似数
1、科学计数法
（1）定义：
把一个绝对值大于10的数表示成 a×10n 的形式(其中a是整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10，n是正整数)，这种计数方法叫做科学计数法。

（2）用科学计数法表示一个n位整数，其中10的指数是这个数的整数位数减1。
2、有效数字的定义：
四舍五入后的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数
字，都叫做这个数的有效数字。
3、近似数的定义：
一个数与准确数相近(比准确数略多或者略少些),这一个数称之为近似数。

4、精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。
从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。
对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字。
整式的加减
一、单项式、多项式、整式的概念
单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
多项式：几个单项式的和叫做多项式。
整式：单项式与多项式统称整式。
二、单项式的系数和次数
单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。
三、多项式的项、常数项、次数
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项，多项式中
次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
四、同类项的概念：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有常数项都是同类项。
五、合并同类项的法则：
　　 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
六、合并同类项步骤：
⑴．准确的找出同类项。
⑵．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。
⑶．写出合并后的结果。
七、升幂排列与降幂排列
为便于多项式的运算，可以用加法的交换律将多项式各项的位置按某一字母指数大小顺序重新排列。
若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。
若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。
八、去括号的法则
括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；
括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。
九、整式加减的一般步骤是：
(1)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：
括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号；
括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号。
(2)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变。
一元一次方程
一、一元一次方程的概念
定义： 方程中只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），未知数的式子都是
整式，这样的方程叫做一元一次方程。
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a = b , 那么a±c = b±c
等式的性质2：等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a = b ，那么ac = bc；如果a = b（c≠0）,那么=
移项 ：把方程中的某一项，改变符号后，从方程的左边（右边）移到右边（左边），这种
变形叫做移项。
解一元一次方程的一般步骤：
1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；
⑴具体做法：方程两边都乘各分母的最小公倍数
⑵依据：等式性质2
⑶注意事项：①分子打上括号
②不含分母的项也要乘
 2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； 
3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边； 
4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；
5.系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x =
图形认识初步
一、常见的立体图形：柱形、锥体、球体
1、柱体中有①圆柱：底面是圆，侧面是曲面；②棱柱：底面是多边形，侧面是长方形；
2、锥体中有①圆锥：底面是圆，侧面是曲面；②棱锥：底面是多边形，侧面是三角形；
二、几何图形都是由点、线、面、体组成的
包围着体的是面，面与面相接的地方是线，线和线相交的地方是点。点动成线，线动成面，面动成体，体、面、线、点都是几何图形。
三、直线、射线、线段
1、直线
（1）概念：向两方无限延伸的的一条笔直的线。
如代数中的数轴，就是一条直线（它只规定了原点、方向和长度单位）。
（2）基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线；也可以简单地说“两点确定
一条直线”。
（3）特点：①直线没有长短，向两方无限延伸；②直线没有粗细；③两点确定一条直线；
④两条直线相交有唯一一个交点。
2、射线
（1）概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
（2）特点：只有一个端点，向一方无限延伸，无法度量。
3、线段
（1）概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段。线段有两个端点，有长度。
（2）基本性质：两点之间线段最短。
（3）特点：有两个端点，不能向任何一方延伸，可以度量，可以较长短。
4、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点。
四、角
1、角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两
条射线是角的两条边。
3、角度制及换算
（1）角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。
（2）角度制的换算：
1°=60′　 1′=60″ 　1周角=360°　 1平角=180° 　1直角=90°
（3）换算方法：
把高级单位转化为低级单位要乘进率；把低级单位转化为高级单位要除以进率；
转化时必须逐级进行，“越级”转化容易出错。
4、角的大小的比较：
（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较；
（2）度量法。
5、角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
6、余角和补角：
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），那么这两个角互为余角，其中一个角是另
一个角的余角；
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角；
（3）余角的性质：等角的余角相等；
等角的性质：同角的补角相等。

相交线
1. 相交线的定义：
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线。
2. 对顶角的定义：
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3. 对顶角的性质：对顶角相等。

4. 邻补角的定义：
有公共顶点和一条公共边，并且互补的两个角称为邻补角。
5. 邻补角的性质：邻补角互补。
6、垂线的定义：
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
7、垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：垂线段最短。
两条直线相交，所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
注意：⑴垂线是一条直线。
⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。
⑶垂直是相交的特殊情况。
⑷垂直的记法：a⊥b，AB⊥CD。
8、 点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
9、 同位角：
两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角。
10、 内错角：
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角。
11、 同旁内角：
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角。
12、 平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
13、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
14、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
15、平行线的判定方法：
（1）判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
（2）判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：内错角相等，两直线平行。
（3）判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

16、命题的概念：判断一件事情的语句叫做命题。

17、命题的形式：
命题由题设和结论两部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式。“如
果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。
18、命题包括两种：判断为正确的命题称为真命题；判断为错误的命题称为假命题。
19、平移的定义：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，叫做平移变换，简称平移。
20、平移的性质：
　（1）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同；
　（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，
连接各组对应点的线段平行且相等。
21、有序数对的定义：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对。
22、平面直角坐标系：
　　 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称
为x轴(或横轴)，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴(或纵轴)，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上)。
23、点的坐标
　　 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的
数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）。
24、坐标平面图
　　 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为
六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点。
25、点的平移
在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

三角形
1、三角形定义：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的分类：
三角形按边分类如下：
不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形

直角三角形
三角形 锐角三角形
斜三角形
钝角三角形

3、 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

4、 三角形的高：
从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
5、 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形。
6、三角形的角平分线：
在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做
三角形的角平分线。
7、三角形的内角定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角。

8、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

9、三角形的外角定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角和为360°。
10、三角形的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
　　　　 　 ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
11、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
12、正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
13、多边形的内角和公式：n 边形的内角和等于 ( n － 2 ) ·180°
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
n边形的对角线公式：
14、三角形外角和定理：三角形的外角和为360°。
15、平面镶嵌的定义：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或
平面镶嵌）。
16、镶嵌的条件：
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。

二元一次方程组
1、二元一次方程的定义：
含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做
二元一次方程。
2、二元一次方程的解定义：
使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
等式的性质
等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3、二元一次方程组的定义：
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解定义：
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、代入消元法的定义：
把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消
元法，简称代入法。
6、加减消元法
　 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加
或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简
称加减法。
7、三元一次方程组的概念:
含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组。
8、三元一次方程组的解法思路:
解三元一次方程组的基本思想仍是消元,一般地，其基本方法是代入法和加减法。一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变二元一次方程组，求出两个未知数，最后求出另一个未知数。
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程。

9、三元一次方程组的解题步骤:
① 利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组；
② 解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值；
③ 将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把
这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。
解题策略：
（1）有表达式，用代入法； （2）缺某元，消某元。
灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组。

不等式与不等式组
1、不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解：
对于一个含有未知数的不等式，任何一个使这个不等式成立的未知数的值，都叫
做这个不等式的解。

3、不等式的解集：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式
的解集的过程叫做解不等式。

4、不等式的性质
　不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
　 　用式子表示：如果a ＞ b，那么a ±c ＞ b ± c .
　不等式的性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
　 用式子表示：如果a ＞ b，c＞0,那么a c ＞ b c （或 ＞）.
　不等式的性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
用式子表示：如果a ＞ b，c＜0,那么a c ＜ b c （或 ＜ ）.

5、解一元一次不等式的步骤
⑴ 去分母：不等式中有分母的，要通过不等式两边都乘以分母的最小公倍数去分母；
⑵ 去括号：不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号，在去括号过程中
要注意符号的变化（注意分数线有括号的作用）；
⑶ 移项：将不等式中右边含有未知数的项变号后移到左边，将左边的常数项变号移到右边；
⑷ 合并同类项：把不等式整理成x＞a或x＜a的形式；
⑸ 化系数为1：把不等式两边都除以同一个正数时，不等号的方向不变，而都除以同一个
负数时，不等号的方向必须改变。

6、解一元一次不等式的步骤
⑴ 去分母：不等式中有分母的，要通过不等式两边都乘以分母的最小公倍数去分母；
⑵ 去括号：不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号，在去括号过程中
要注意符号的变化（注意分数线有括号的作用）；
⑶ 移项：将不等式中右边含有未知数的项变号后移到左边，将左边的常数项变号移到右边；
⑷ 合并同类项：把不等式整理成x＞a或x＜a的形式；
⑸ 化系数为1：把不等式两边都除以同一个正数时，不等号的方向不变，而都除以同一个
负数时，不等号的方向必须改变。

7、一元一次不等式组的意义：
类似于方程组，把几个具有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一元
一次不等式组。

8、一元一次不等式组的解集：
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

9、一元一次不等式组的解集：
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

10、确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：一是数轴法，二是口诀法。
① 数轴法：
利用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集，无公共部分就说这个不等式组无解。
② 口诀法：
求不等式组的解集时，可记住以下规律“同大取大，同小取小，大小小大中间找，
大大小小没得找”。这种方法容易理解，便于记忆，使用十分方便。
； ； ；

11、列一元一次不等式组解应用题的步骤为：
审题 → 设未知数 → 找不等关系 → 列不等式组 → 解不等式组 → 检验 → 答
（关键是找不等关系）

数据的收集、整理与描述
1、数据处理的过程：包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程。

2、统计调查的方式：全面调查和抽样调查。

3、考察全体对象的调查叫做全面调查。

4、只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法是抽样
调查。
5、要考察的全体对象称为总体；组成总体的每一个考察对象称为个体；被抽取的那些个体
组成一个样本；样本中个体的数目叫做样本容量。

6、数据的表示方法有两种：一是利用统计表，另一种是利用统计图，统计图有条形统计图、
扇形统计图和折线统计图。

7、常见的统计图及其特点：
（1）折线统计图：反映事物的变化情况；
（2）条形统计图：反映每个项目的具体数据；
（3）扇形统计图：反映各部分在总体中所占的百分比。

8、频数：一组数据中重复出现的次数叫做频数。

9、频率：某个数据的频数m与数据总个数n的比叫做这个数据的频率。

10、频数、频率与总数之间的关系是：
频数＝频率×总数
频率=频数m÷数据总个数n。

11、频数分布表
在描述和整理数据时，往往可以把数据按照数据的范围进行分组，整理数据后可以
得到频数分布表。

12、频数分布直方图
为了直观地表示一组数据的分布情况，可以以频数分布表为基础，绘制频数分布直方图。
（1）频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种。
（2）直方图的结构：直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成。
横轴：直方图的横轴表示分组情况；
纵轴：直方图的纵轴表示频数；
条形图：直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形，底边长
是这个组的组距，高为频数。

13、画频数分布直方图可按以下步骤：
①计算最大值与最小值的差；
②确定组距与组数：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内
数据的取值范围）称为组距。
组数 =
③列频数分布表；
④画频数分布直方图：
小长方形面积 = 组距 × = 频数
第十章 实数
10.1平方根
如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
10.2立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
10.3实数
无限不循环小数又叫做无理数。
有理数和无理数统称实数。
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

第十一章　全等三角形　
一、全等形
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
二、全等三角形
１、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
注意：
（１）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
（２）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，可以完全重合，不是胡乱摆放都能重合。
２、全等三角形的符号表示、读法
△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。
注意：
（１）计两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。
（２）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。
（３）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。
３、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
４、三角形全等的识别方法
（１）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“ＳＳＳ”。
（２）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“ＳＡＳ”。
（３）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ＡＳＡ”。
（４）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“ＡＡＳ”。
（５）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“ＨＬ”。
注意：ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
５、三角形全等的证明思路
　　　　　　　　　找夹角——ＳＡＳ
（１）已知两边　　找直角——ＨＬ
　　　　　　　　　找另一边——ＳＳＳ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找边的对角——ＡＡＳ
（２）已知一边一角　　边为角的邻边　　找夹角的另一边——ＳＡＳ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找夹边的另一角——ＡＳＡ
　　　　　　　　　　　边为角的对边——找任意一角——ＡＡＳ
（３）已知两角　　找夹边——ＡＳＡ
　　　　　　　　　找任意一边——ＡＡＳ
６、全等变换
一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：（１）旋转；（２）翻折；（３）平移。
三、角平分线的性质定理及逆定理
１、性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。
注意：（１）定理作用：a.证明线段相等；b.为证明三角形全等准备条件。
（２）点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度。
２、逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。
３、三角形的内心
利用角的平分线的性质定理可以导出：三角形的三个内角的角平分线交于一点Ｉ，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。
说明：（１）三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。
　　 （２）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这个点到三边所在的直线的距离相等。
　　 （３）三角形外角角平分线的交点共有３个，所以到三角形三边所在的直线的距离相等的点共有４个。
第十二章　轴对称
一、轴对称图形的概念：
如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。这时，我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。
如：正方形、长方形、圆形一定是轴对称图形；三角形、四边形、梯形不一定是轴对称图形；平行四边形一定不是轴对称图形。
注意：
（１）一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，如正方形有４条对称轴、长方形有２条对称轴、圆形有无数条对称轴、正三角形有３条对称轴、正n边形有n条对称轴。
（２）轴对称图形需要注意的重点：①一个图形；
②沿一条直线折叠，对折的两部分能完全重合（即重合到自身上）。
二、轴对称的概念：
　　把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点，也叫做对称点。
注意：（１）两个图形成轴对称和轴对称图形的概念，前提不一样，前者是两个图形，后者是一个图形。
　　（２）成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。
三、轴对称的性质：
１、关于某条直线对称的图形是全等形；２、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
３、两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；
４、如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。
注意：（１）全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。
（２）性质４的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据。
四、轴对称作（画）图：
１、画图形的对称轴
（１）观察分析图形，找出轴对称图形的任意一组对称点；
（２）连结对称点；
（３）画出以对称点为端点的线段的垂直平分线。
２、如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。
注意：
对于（１）来说，对称点要找准，特别是较复杂的轴对称图形，要认真地观察、分析，必要时要动手操作实践一下；对于对称轴有两条或两条以上的图形，要从各个角度找对称点，对于（２）是找一个轴对称图形的对称轴的方法。
３、画某点关于某直线的对称点的方法
（１）过已知点作已知直线的（对称轴）的垂线，标出垂足；
（２）在这条直线的另一侧从垂足出发截取相等的线段，那个截点就是这点关于该直线的对称点。
４、画已知图形关于某直线的对称图形
（１）画出图形的某些点关于这条直线的对称点；
（２）把这些对称点顺次连结起来，就形成了一个符合条件的对称图形。
注意：
“某些点”是指能确定图形形状和大小及位置的关键点。如果是多边形， “某些点”就是指所有的顶点；如果是线段，“某些点”就是指线段的两个端点；如果是直角，“某些点”就是指角的顶点与角两边上每一边一个任意点，其余类推。
五、轴对称和轴对称图形之间的区别与联系：

轴对称
轴对称图形
区别
①指两个图形而言；
②指两个图形的一种形状与位置关系。
①对一个图形而言；
②指一个图形的特殊形状。
联系
①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；
②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。
六、轴对称几何图形的对称轴：
名称
是否是轴对称图形
对称轴有几条
对称轴的位置
线段
是
２条
垂直平分线或线段所在的直线
角
是
１条
角平分线所在的直线
长方形
是
２条
对边中线所在的直线
正方形
是
４条
对边中线所在的直线和对角线所在的直线
圆
是
无数条
直径所在的直线
平行四边形
不是
０条

七、轴对称变换的概念：
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

八、轴对称变换的有关知识点：
规律：对称轴方向、位置发生变化，得到的图形的方向、位置也发生变化；
性质：１、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大
小完全相同；