2018年徐汇区初三数学二模卷及答案.doc

2018年徐汇区初三数学二模卷
（满分150分，考试时间100分钟）　 　　　　　2018.4
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列算式的运算结果正确的是
A. ； B. （）；
C. ； D. ．
2．直线不经过的象限是
A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限．
3 ．如果关于的方程有实数根，那么k的取值范围是
A．； B．； C．； D．．
4．某射击选手10次射击的成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是
成绩（环）
7
8
9
10
次数
1
4
3
2
A．8、8； B．8、8.5； C．8、9； D．8、10．
5．如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于
A．45°； B．60°； C．120°； D．135°．
6．下列说法中，正确的个数共有
（1）一个三角形只有一个外接圆；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等．
A．1个； B．2个； C．3个； D．4个．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．函数的定义域是 ▲ .
8．在实数范围内分解因式： = ▲ .
9．方程的解是 ▲ ．
10．不等式组的解集是 ▲ .
11．已知点、在反比例函数的图像上.如果，那么与的大小关系是： ▲ .
12．抛物线的顶点坐标是 ▲ .
13．四张背面完全相同的卡片上分别写有、、、四个实数，如果将卡片字面朝下随意放在桌子上，任意取一张，那么抽到有理数的概率为 ▲ ．
第15题图
14．在△ABC中，点D在边BC 上，且BD:DC=.如果设，，那么等
于 ▲ （结果用、的线性组合表示）.
15．如图，为了解全校300名男生的身高情况，随机
抽取若干男生进行身高测量，将所得数据（精确到1cm）
整理画出频数分布直方图（每组数据含最低值，不含
最高值），估计该校男生的身高在170cm﹣175cm之间
的人数约有 ▲ 人．
16．已知两圆相切，它们的圆心距为3，一个圆的半径是4，那么另一个圆的半径是 ▲ .
17．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在△ ABC中，DB=1，BC=2，CD是△ ABC的完美分割线，且△ ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为 ▲ .
第17题图
第18题图
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3．点P、Q分别在边BC、AC上，PQ∥AB．把△PCQ绕点P旋转得到△PDE（点C、Q分别与点D、E对应），点D落在线段PQ上，若AD平分∠BAC，则CP的长为 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算： ．

20．（本题满分10分）
解分式方程：．

21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）求tan∠DAB；
（2）若⊙O过A、D两点，且点O在边AB上，用尺规作图的方法确定点O的位置并求出
⊙O的半径（保留作图痕迹，不写作法）．
第21题图

22．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）

第22题图
“五一”期间小明和小丽相约到苏州乐园游玩，小丽乘私家车从上海出发30分钟后，小明乘坐火车从上海出发，先到苏州北站，然后再乘出租车去游乐园（换乘时间忽略不计），两人恰好同时到达苏州乐园，他们离上海的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示．
请结合图像信息解决下面问题：
（1）本次火车的平均速度是 ▲ 千米/小时？
（2）当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园
的距离还有多少千米？

23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）
第23题图
在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD=BC．点E在对角线BD上，且∠DCE=∠DBC．
（1）求证：AD=BE；
（2）延长CE交AB于点F，如果CF⊥AB，
求证：4EFFC=DEBD．

24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分）
第24题图
如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线过点B、C，且与x轴交于另一点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线∥轴交该抛物
线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；
（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，
求点D的坐标．

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题①满分4分，第（2）小题②满分6分）
已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF//DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H．
（1）如图1，当EF⊥BC时，求AE的长；
（2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为，EH的长为．
①求关于的函数关系式，并写出定义域；
②联结EG，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长．
图2
第25题图
图1

2018年第二学期徐汇区学习能力诊断卷参考答案2018.4
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.B；2.D；3.D；4.B；5.A；6．C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．的一切实数；8．；9．；10．；
11．；12．；13．；14．；15．72；
16．1或7；17．；18．2．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式………………………………………（8分）
……………………………………………………………（2分）
20．解：方程两边同时乘以得：
…………………………………………………………（3分）
解得：，………………………………………………（3分）
经检验，是原方程的增根，是原方程的根………………（2分）
所以，原方程的解是．……………………………………………（2分）
21．解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，，，∴，
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，AD=AD，
∴
∴DC=DE，AC=AE=3，∴BE=2．…………………………………………………（2分）
Rt△ABC中，…………………………………………………（1分）
在Rt△BDE中，，∴DE =…………………………………（1分）
∴………………………………………………………（1分）
（2）作图正确……………………………………………………………………………（2分）
联结OD，设⊙O的半径为r，
∵AO=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC…………………………………………………（2分）
∴，即，解得……………………………………（1分）
22．解：（1）千米/小时……………………………………………………………（3分）
（2）设的解析式为，当时，y=0；当t=1时，y=90，
得：解得：，．…………………………（3分）
故把代入，得y=60， ……………………………………（1分）
设的解析式，当时，y=60，得：
∴a=72，∴y=72t，………………………………………………………………（1分）
当t=1，y=72，∴120-72=48（千米）…………………………………………（2分）
答：当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园的距离还有48千米……………（2分）
23.证明：(1)∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，………………………………………………………………（1分）
∵∠DCE=∠DBC，∴∠ABD=∠ECB．………………………………………（1分）
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC，……………………………………………（1分）
∵BD=BC，∴≌…………………………………（2分）
∴．
(2)联结AC，∵AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，∵BD=BC，∴AC=BC．………………………………………（1分）
∵CF⊥AB，∴AF=BF=，……………………………………（1分）
又∵∠BFE =∠CFB=90°，由（1）∠ABD=∠ECB，
∴∽，∴．…………………………………（2分）
同理可证：……………………………………………………（2分）
∴．…………………………………………………………（1分）
24．解：（1）∵与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2）……（1分）
由题意可得，解得，
∴抛物线表达式为．………………………………………（2分）
（2）设M，N，MN=
当OMNC是平行四边形时，MN=,……（2分）
∴平行四边形OMNC的面积．……………………………（1分）
（3）由，解得，∴A（-1，0）．……………………（1分）
当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；……………………………（2分）
当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴tan∠DBA=tan∠CAO =2，……（1分）
∵设点D，过点D作DE⊥直线AB于点E，
∴由题意可得BE=，DE=，
，（舍），∴D（﹣5，﹣18） ……………（2分）
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）
25．解：（1）∵四边形ABCD是菱形
∴DC∥AB，AB=BC，DB和AC互相垂直平分．………………………………（1分）
∵CF//DB，∴四边形DBFC是平行四边形，
∴BF=DC=AB=10，∴∠CAB=∠BCA………………………………………………（1分）
当EF⊥BC时，∠CAB=∠BCA=∠CFE，
∴Rt△AFC∽，∴，即…………………（1分）
Rt△ACF中，，，…………（1分）
（2）①联结OB，AB=BF，OE=OF，∴OB//AC，且……（1分）
∴，∴…………………………………………………（1分）
在Rt△EBO中，，
∴()．……………………………………（2分）
（说明：当C、G两点重合时有EF⊥BD，）
②当GD=GE时，有∠GDE =∠GED，又∵AC⊥DB，∠DEC=90°，∴∠GCE=∠GEC，
∴GE=GC，∴GD=GC，即G为DC的中点，
又∵EO=FO，∴GO是梯形EFCD的中位线，
∴GO，…………………………………………………………（1分）
∴，∴………………………………（1分）
解得………………………………………………………………………（1分）

法一：当DE=DG时，联结OD、OC、GO．
∵GO=EO，DO=DO，∴△OED≌△OGD(SSS)，…………………………………（1分）
∴∠DEO=∠DGO，∴∠CGO=∠BEO=∠OFC，
∴∠CGO=∠OCG=∠OFC=∠OCF，∴GC=CF …………………………………（1分）
∴DC=DG+GC=DE+2DE=10，即，解得．…………（1分）

法二：当DE=DG时，过点D作DM⊥GE于点M，延长交EC于点N，联结GN．
∴∠EDN=∠GDN，又∵DN=DN，∴△NDE≌△NDG(SAS)，
∴∠DGN=∠DEN=90°，，……………………………（1分）
即，即，……………………………………（1分）
解得．…………………………………………………………………………（1分）
综上，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，AE的长为或．

图1

徐汇区初三数学　本卷共4页　第11页