(讲义)数学六年级下册正比例和反比例.doc

正比例 反比例
认识正比例
一 正比例的定义
服装店卖出某种服装的情况如下表：
数量/件
1
2
3
4
5
6
总价/元
80
160
240
320
400
480
写出相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小。你发现了什么?

我们会发现的比值一定，当数量变化时，总价也发生变化。所以总价和数量这两个量是相关联的量。
正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
二 怎样判断两种量是否成正比例？
首先看这两种量是否是相关联的量，再看它们的比值是否一定。
若比值一定，则这两种量成正比例。若比值不一定，则这两种量不成正比例。
例 下面每题中的两种量是不是成正比例关系？
（1）购买苹果的单价一定，购买苹果的数量和总价。 （ ）
（2）购买《教与学》的本书和钱数。 （ ）
（3）圆的周长与直径。 （ ）
（4）一本书，已读的页数和剩下的页数。 （ ）
（5）正方形的边长和面积。 （ ）
正比例的数据的画图及应用
1.每米彩带4元，填写下表

2.把表中的数据在下面方格纸上表示出来，并连接各点，你发现了什么？

我们发现：（1）正比例的图像是一条直线，

3.不要计算，你知道当彩带的长度为8米时，所需钱数是多少吗？

（2）我们可以利用正比例关系的图像，不用计算，可直接找到对应量的值。

练习题
1．订购同一种报纸和应付钱数如下表。
份数
1
5
10
15
20
25
30
应付钱数/元
0.5
2.5
5

(1) 你能把表格补充完整吗?若能，请补完整。

(2) 表中两种量是否成正例，为什么？

(3)用图形表示两种量之间的关系。

2．判断下面每题中的两个量是否成正比例。
（1）长方形的长一定，面积和宽。 （ ）
（2）减数一定，被减数和差。 （ ）
（3）数量一定，单价和总价。 （ ）
（4）每袋水泥质量一定，水泥袋数和总质量。 （ ）
（5）正方形周长和边长。 （ ）
（6）订阅《少年报》的份数和钱数。 （ ）
（7）一个人的身高和他的年龄成正例。 （ ）
3．解比例。
2.1∶14＝13.5∶x ∶x＝∶

∶x＝3∶4 x∶3.5＝2∶14

12∶x＝2.4∶1.6 x∶＝15∶

反比例及其变化规律
一 反比例的定义
例1某运输公司要运一批300吨的货物，请填写下列表格。
每天运的数量（吨）
10
20
30
40
50
所需的天数

填完表格后，你发现了什么？
(1)每天运的吨数和需要的天数是两种相关联的量，需要的天数随着每天运的吨数的变化而变化。
(2)每天运的吨数缩小，需要的天数反而扩大，每天运的吨数扩大，需要的天数反而缩小。
(3)可以看出它们的变化规律是：每天运的吨数和天数的积总是一定的。因为每天运的吨数和天数的积都是300。

例2 长方形的面积不变，当长发生变化时，长方形的宽发生变化吗？变化的规律是怎样的？

反比例的定义：像例1、例2里这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变，变化时两种量中相对应的两个数的积一定。这两种相关联的量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，
反比例的关系式为：x•y=k(一定)
二 怎样看两种量是否成反比例？
先看这两种量是不是相关联的量，再看两种量的乘积是否一定。
如果乘积一定，那它们就是成反比例的量，相互之间的关系就是反比例关系。
例 1 判断下面每题中的两种量是否成反比例。
（1）植树的总棵数一定，每人植树的棵数与人数。 （ ）
（2）李叔叔从家到工厂，骑自行车的速度和所需的时间。 （ ）
（3）华荣做12道数学题，做完的题和没有做的题。 （ ）
（4）长方形的面积一定，它的长和宽。 （ ）
（5） 小林拿一些钱买练习本，单价和购买的数量。 （ ）
（6）长方体的体积一定，它的底面积和高。 （ ）
（7）三角形的面积一定，它的底和高。 （ ）
（8）单价一定，总价和数量。 （ ）
（9）7：X=Y：15，X和Y。 （ ）
（10）甲数和乙数互为倒数，甲数和乙数。 （ ）
三 正比例和反比例的比较

正比例
反比例
相同点
1.都有两种相关联的量。
2.一种量随着另一种量变化。

不同点
1.变化方向相同，一
种量扩大（缩小），另
一种量也扩大 （缩小）。
2.相对应的两个数的
比值（商）一定。

1.变化方向相反，
一种量扩大（缩小），另一种量反而缩小
（扩大）。
2.相对应的两个数的
积一定。

四 路程、速度和时间这三个量中每两个量之间有什么样的比例关系？
当路程一定时，速度和时间成 关系。
当速度一定时，路程和时间成 关系。
当时间一定时，路程和速度成 关系。
五 判断单价、数量和总价这三个量中每两个量之间有什么样的比例关系？
单价一定，数量和总价成 关系。
总价一定，数量和单价成 关系。
数量一定，总价和单价成 关系。
例2 小军上学时每分钟走75米，放学时每分钟走90米，这样他上学和放学回家共用了22分钟，从小军家到学校有多少米？

【课后作业】
1、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例；
当高一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例；
当侧面积一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例。
2、在被除数、除数、商这三种量中，
当（ ）一定时，（ ）与（ ）成正比例；
当（ ）一定时，（ ）与（ ）成反比例；
3、当 a × b ＝ c（ a、b、c 为三种量，且均不为0）。
( )一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；
4、判断。
（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 （ ）
（2）被除数一定，除数和商成反比例。 ( )
（3）圆的周长和它的直径成正比例。 ( )
（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ）
（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 （ ）
（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ ）
（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。 ( )
（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( )
（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )
（10）正方体的棱长和体积成正比例。 ( )
5、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（ ）。
（2）、正方形的边长和周长（ ）。
（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（ ）。
（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（ ）。
（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（ ）。
（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（ ）。
6、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5

……
（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间
和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。

（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？

（4）根据图像判断， 5小时造纸多少吨？

6