湖南省高一上学期期末考试数学试题(含详细答案).doc

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湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试
数　学
时量：120分钟　满分：150分
得分：____________

第Ⅰ卷(满分100分)
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知两点A(a，3)，B(1，－2)，若直线AB的倾斜角为135°，则a的值为
A．6 B．－6 C．4 D．－4
2．对于给定的直线l和平面a，在平面a内总存在直线m与直线l
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
3．已知直线l1：2x＋3my－m＋2＝0和l2：mx＋6y－4＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为
A.B.C.D.
4．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝2，PB＝，PC＝3，则这个三棱锥的外接球的表面积为
A．16πB．32πC．36πD．64π
5．圆C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是
A．内含 B．相交 C．内切 D．外切
6．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是
A．若m∥n，m⊂β，则n∥β B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥β，α⊥β，则m∥α D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
7．在空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的四个顶点坐标分别为A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(2，2，2)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则四面体ABCD的正视图为

8．若点P(3，1)为圆(x－2)2＋y2＝16的弦AB的中点，则直线AB的方程为
A．x－3y＝0 B．2x－y－5＝0
C．x＋y－4＝0 D．x－2y－1＝0
9．已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是
A．异面直线PA与BC的夹角为60°
B．若M为AD的中点，则AD⊥平面PMB
C．二面角P－BC－A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
10．已知直线l过点P(2，4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为
A．x＝2或3x－4y＋10＝0
B．x＝2或x＋2y－10＝0
C．y＝4或3x－4y＋10＝0
D．y＝4或x＋2y－10＝0
11．在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF，如图1.将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE，如图2.则在折起的过程中，下列说法中错误的是

A．AC∥平面BEF
B．直线BC与EF是异面直线
C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD
D．平面BCE与平面BEF可能垂直
答题卡
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答 案

二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．若直线l：x－y＋1＝0与圆C：(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是____________．
13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1，球的体积为V2，则＝________．
14．已知三棱锥P－ABC的体积为10，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于________．

三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分8分)
已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，0)，B(4，6)，C(0，8)．
(1)求BC边上的高所在直线l的方程；
(2)求△ABC的面积．
16.(本小题满分10分)
已知圆C经过A(－2，1)，B(5，0)两点，且圆心C在直线y＝2x上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设动直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y－7m－8＝0与圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．

17．(本小题满分12分)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．
(1)证明：A1B⊥平面AB1C;
(2)求直线A1D与平面AB1C所成的角的大小．

第Ⅱ卷(满分50分)
一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．
18．已知集合M＝，N＝{y|y＝lg(x2＋1)}，则N∩∁RM＝______．
19．已知函数f(x)在定义域R上单调递减，且函数y＝f(x－1)的图象关于点A(1，0)对称．若实数t满足f(t2－2t)＋f(－3)>0，则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪(1，＋∞)
二、本大题共3个大题，共38分．

20．(本小题满分12分)
如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
21.(本小题满分13分)
设函数f(x)＝mx2－mx－1，g(x)＝.
(1)若对任意x∈[1，3]，不等式f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝－时，确定函数g(x)在区间(3，＋∞)上的单调性．
22.(本小题满分13分)
已知圆C：(x－a)2＋(y－a－2)2＝9，其中a为实常数．
(1)若直线l：x＋y－4＝0被圆C截得的弦长为2，求a的值；
(2)设点A(3，0)，O为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求a的取值范围．

湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试
数学参考答案
第Ⅰ卷(满分100分)
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答 案
D
C
B
A
C
D
B
C
D
A
D
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．[－3，1]　13.　14.
三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】(1)因为点B(4，6)，C(0，8)，则kBC＝＝－.(1分)
因为l⊥BC，则l的斜率为2.(2分)
又直线l过点A，所以直线l的方程为y＝2(x－3)，即2x－y－6＝0.(4分)
(2)因为点A(3，0)，C(0，8)，则|AC|＝＝.(5分)
又直线AC的方程为＋＝1，即8x＋3y－24＝0，(6分)
则点B到直线AC的距离d＝＝.(7分)
所以△ABC的面积S＝|AC|×d＝13. (8分)
16．【解析】(1)方法一：因为线段AB的中点为，kAB＝－，则线段AB的垂直平分线方程为y－＝7，即y＝7x－10. (2分)
联立y＝2x，得x＝2，y＝4.所以圆心C(2，4)，
半径r＝|AC|＝＝5.(4分)
所以圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝25.(5分)
方法二：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
解得D＝－4，E＝－8，F＝－5.(3分)
所以圆C的方程是x2＋y2－4x－8y－5＝0，
即(x－2)2＋(y－4)2＝25.(5分)
(2)直线l的方程化为(2x＋y－8)＋m(x＋2y－7)＝0.
令得所以直线l过定点M(3，2)．(7分)
由圆的几何性质可知，当l⊥CM时，弦长|PQ|最短．
因为|CM|＝＝，
则|PQ|min＝2＝2＝4.(10分)
17．【解析】(1)因为A1A⊥平面ABC，则A1A⊥AC.
又AC⊥AB，则AC⊥平面AA1B1B，所以AC⊥A1B.(3分)
由已知，侧面AA1B1B是正方形，则AB1⊥A1B.
因为AB1∩AC＝A，所以A1B⊥平面AB1C.(5分)

(2)方法一：连结A1C，设AB1∩A1B＝O，连CO，交A1D于G.
因为O为A1B的中点，D为BC的中点，则G为△A1BC的重心．
因为A1O⊥平面AB1C，则∠A1GO是A1D与平面AB1C所成的角．(8分)
设AB＝AC＝AA1＝1，则A1B＝BC＝A1C＝.
得A1O＝，A1G＝A1D＝×sin 60°＝.
在Rt△A1OG中，sin∠A1GO＝＝，则∠A1GO＝60°.
所以直线A1D与平面AB1C所成的角为60°.(12分)

方法二：分别取AB，B1B的中点E，F，连DE，EF，DF，
则ED∥AC，EF∥AB1，
所以平面DEF∥平面AB1C.
因为A1B⊥平面AB1C，则A1B⊥平面DEF.
设A1B与EF的交点为G，连DG，
则∠A1DG是直线A1D与平面DEF所成的角. (8分)
设AB＝AC＝AA1＝1，则A1B＝BC＝A1C＝.
得A1G＝A1B＝，A1D＝sin 60°＝.
在Rt△A1GD中，sin∠A1DG＝＝，则∠A1DG＝60°.
所以直线A1D与平面AB1C所成的角为60°. (12分)
第Ⅱ卷(满分50分)
一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．
18．[0，2]
【解析】M＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N＝[0，＋∞)，所以N∩∁RM＝[0，2]．
19．B　【解析】因为y＝f(x－1)的图象关于点A(1，0)对称，则y＝f(x)的图象关于原点对称，即f(x)为奇函数．
由f(t2－2t)＋f(－3)>0，得f(t2－2t)>－f(－3)＝f(3)，
因为f(x)在R上是减函数，
则t2－2t<3，即t2－2t－3<0，得－1＜t＜3.
因为y＝＝1＋在区间(－1，3)上是减函数，则<，选B.
二、本大题共3个大题，共38分．

20．【解析】(1)连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，
由题意得SO⊥AC，
又因为正方形ABCD中，AC⊥BD，
所以AC⊥平面SBD,
∵SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD. (6分)
(2)在棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC.
设正方形边长为a，则SD＝a.
由SD⊥平面PAC得PD＝，
故可在SP上取一点N，使PN＝PD.
过点N作PC的平行线与SC的交点为E，连接BN，
在△BDN中，易得BN∥PO，又因为NE∥PC，
所以平面BEN∥平面PAC，所以BE∥平面PAC.
因为SN∶NP＝2∶1，所以SE∶EC＝2∶1. (12分)
21．【解析】(1)由f(x)<5－m，得mx2－mx－1<5－m，即m(x2－x＋1)<6.
因为x2－x＋1＝＋>0，则m<.(3分)
设h(x)＝，则当x∈[1，3]时，m＜h(x)恒成立．
因为y＝x2－x＋1在区间[1，3]上是增函数，则h(x)在区间[1，3]上是减函数，h(x)min＝h(3)＝.
所以m的取值范围是. (6分)
(2)因为f(x)＝mx(x－1)－1，则g(x)＝mx－.
当m＝－时，g(x)＝－.(7分)
设x1>x2>3，则g(x1)－g(x2)＝－＝
－＋－＝＋＝
(x1－x2).(10分)
因为x1－1>x2－1>2，则(x1－1)(x2－1)>4，
得<，又x1－x2>0，则g(x1)－g(x2)<0，
即g(x1)<g(x2)，所以g(x)在区间(3，＋∞)上是减函数．(13分)
22．【解析】(1)由圆方程知，圆C的圆心为C(a，a＋2)，半径为3.(2分)
设圆心C到直线l的距离为d，因为直线l被圆C截得的弦长为2，则
d2＋1＝9，即d＝2.(4分)
所以＝2，即|a－1|＝2，所以a＝－1或a＝3.(6分)
(2)设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，得＝2，即x2＋y2＋2x－3＝0.
所以点M在圆D：(x＋1)2＋y2＝4上．其圆心为D(－1，0)，半径为2.(8分)
因为点M在圆C上，则圆C与圆D有公共点，即1≤|CD|≤5.(9分)
所以1≤≤5，即
即(11分)
解得即－5≤a≤－2或－1≤a≤2.
故a的取值范围是[－5，－2]∪[－1，2]．(13分)

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