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洪翔中学反比例函数的图像与性质专题 宋文文
知识点：
（一）反比例函数的概念：
知识要点：
1、一般地，形如 y = ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k ≠0、x≠0、y≠0；
（2）判断一个函数是否是反比例函数，关键是看两个变量的乘积是否是一个常数.
（3）解析式有三种常见的表达形式：
（A）y = （k ≠ 0） ， （B）xy = k（k ≠ 0） （C）y=kx-1（k≠0）
2、反比例函数的图像
⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线）
3、求函数解析式的方法：　（1）待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）； （2）根据实际意义列函数解析式
4、“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
5、反比例函数（k≠0）中的比例系数k的几何意义。如图：
反比例函数 中比例系数k的绝对值的几何意义：
如图，过双曲线上任意一点P分别作x轴，y轴的垂线，M、N分别为垂足，则
若已知矩形的面积k的绝对值时，应当依据双曲线的位置确定k值的符号。

(二)反比例函数的图象和性质：
反比例函数
（k≠0）
形状
双曲线
图像

性质
1、x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0
2、增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
3、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交

1、x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0
2、增减性：当k＜0时，双曲线的两支分别位于二、四限，在每个象限内y值随x值的增大而增大
3、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交

对称性
反比例函数既是中心对称图形（对称中心为坐标原点），又是轴对称图形。
当k>0时，对称轴是直线y=x
当k<0时，对称轴是直线y=-x

一．选择题
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
第2题图
1、矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）

A． B． C． D．
2.关于反比例函数的图像，下列说法正确的是 （ ）
A.必经过（1,1） B.两个分支分布在第二、四象限
C.两个分支关于x轴成轴对称 D.两个分支关于原点成中心对称
3.在反比例函数的图象的每一条曲线上，的增大而增大，则的值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
第5题图
4.在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是 （ ）

5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=－3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线上则a的值是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题
6．过反比例函数 (k≠0)图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B,C，如果⊿ABC的面积为3.则k的值为 _____________.

7．若反比例函数的图象位于一、三象限内，正比例函数过二、四象限，则k的整数值是________．
8．如图，△AOB和△BCD都是等边三角形，点A、C在函数y＝
(x＞0)的图象上，并且边OB、BD都在x轴正半轴上，若OA=4，则点C的横坐标为________．

第10题图
第8题图
．

第6题图

9.若点A(m，－2)在反比例函数的图像上，则当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是___________.
10.如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB∥轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是________________。
三.解答题
11．如图，已知反比例函数的图像与一次函数y＝kx＋4的图像相交于P、Q两点，并且P点的纵坐标是6．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求△POQ的面积．

12.如图，直线y=k1x+b（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＜的解集．

A．
（﹣3，4）
B．
（﹣4，﹣3）
C．
（﹣3，﹣4）
D．
（4，3）
4、正比例函数y＝kx和反比例函数（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是

5、（2013沈阳）、在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）

6．（3分）（2013•内江）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（　　）

7、如图，在平面直角坐标系中，直线y=－3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线上则a的值是B
第7题图

1、（2013桂林）．函数的图象与函数的图象在第一象限内交于点B，
点C是函数在第一象限图象上的一个动点，当△OBC的
面积为3时，点C的横坐标是 ．
3．如图，反比例函数的图象经过点P，则k= ．

2） 反比例函数的图象如图4所示，点M是该函数图象上一点，MN⊥x轴，垂足为N.如果S△MON=2，这个反比例函数的解析式为______________

4、（2013•三明）如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点P（3，2），与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点Q（m，n）．当一次函数y的值随x值的增大而增大时，m的取值范围是　　．

5、（2013自贡）．如图，在函数的图象上有点、、……、、，点的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点、、……、、分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为、、……、，则=________，=________．（用含n的代数式表示）
6、（2013武汉）．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（－1，0），
（0，2），C，D两点在反比例函数的图象上，则的值等于 ．
A
x
y
O
B
（第7题图）

第15题图

O
A
C
B

三、解答题
1、（2013•攀枝花）如图，直线y=k1x+b（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＜的解集．

2．（10分）（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

3、（2013大连）如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象相交于点A(m,1)、B(-1,n)，与x轴相交于点C(2，0)，且 。
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)直接写出不等式的解集。

4、（2013成都）（本小题满分10分）
如图，一次函数的图像与反比例函数（为常数，且）的图像都经过点
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）结合图像直接比较：当时，和的大小.

5、（10分）（2013•雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）

6、、如图，函数与函数的图像相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为

O

(第6题)
A、2 B、4 C、6 D、8

7、（2013•乐山）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB，cosA=，则k的值为（　　）

A．
﹣3
B．
﹣6
C．
﹣
D．
﹣2

内 不 要 答 题
8、（2013广安）. 已知反比例函数和一次函数.
(1) 若一次函数与反比例函数的图像交于点P（2，m），求m和k的值.
(2) 当k满足什么条件时，两函数的图像没有交点？

9、（6分）（2013•郴州）已知：如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A，B两点，其中A（1，a），求这个一次函数的解析式．

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