高等代数北大版教案-第6章线性空间.doc

第六章 线性空间
§1 集合映射
一 授课内容:§1 集合映射
二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.
三 教学重点:集合映射的有关定义.
四 教学难点:集合映射的有关定义.
五 教学过程:
1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念
定义:(集合的交、并、差) 设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集,记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做.
定义:(集合的映射) 设、为集合.如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射,记为

如果,则称为在下的像,称为在下的原像.的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像,记做,即.
若都有 则称为单射.若 都存在,使得,则称为满射.如果既是单射又是满射,则称为双射,或称一一对应.
2.求和号与求积号
(1)求和号与乘积号的定义
为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.
设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:
, .
当然也可以写成
, .
(2)求和号的性质
容易证明,
,,.
事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

分别先按行和列求和,再求总和即可.

§2 线性空间的定义与简单性质
一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质
二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质.
三 教学重点：线性空间的定义与简单性质.
四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.
五 教学过程：
1.线性空间的定义
(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”,又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质:
1、 加法交换律 ,有；
2、 加法结合律 ,有；
3、 存在“零元”,即存在,使得；
4、 存在负元,即,存在,使得；
5、 “1律” ；
6、 数乘结合律 ,都有；
7、 分配律 ,都有；
8、 分配律 ,都有,
则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义,不光与集合V有关.
(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质
命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.
证明:设与均是零元素,则由零元素的性质,有；
,设都是的负向量,则
,
于是命题得证.由于负向量唯一,我们用代表的负向量.
定义4.2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:
定义为.
命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:
1、 加法满足消去律 ；
2、 可移项 ；
3、 可以消因子 且,则；
4、 .
(3)线性空间的例子
例4.1令V表示在上可微的函数所构成的集合,令,V中加法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.
4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.
定义4.3(线性组合) 给定V内一个向量组,又给定数域K内s个数,称为向量组的一个线性组合.
定义4.4(线性表出) 给定V内一个向量组,设是V内的一个向量,如果存在K内s个数,使得,则称向量可以被向量组线性表出.
定义4.5(向量组的线性相关与线性无关) 给定V内一个向量组,如果对V内某一个向量,存在数域K内不全为零的数,使得,则称向量组线性相关；若由方程必定推出,则称向量组线性无关.
命题4.3 设,则下述两条等价:
1)线性相关；
2)某个可被其余向量线性表示.
证明同向量空间.
定义4.6(线性等价) 给定V内两个向量组
(Ⅰ),
(Ⅱ),
如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.
定义4.7(极大线性无关部分组) 给定V内一个向量组,如果它有一个部分组满足如下条件:
(i)、线性无关；
(ii)、原向量组中任一向量都能被线性表示,
则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.
由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.
定义4.8(向量组的秩) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.
例4.2 求证:向量组的秩等于2(其中).
证明:方法一:设∈R,满足,则,假若不全为零,不妨设,则有,而由于,等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是.
所以线性无关,向量组的秩等于2.证毕.
方法二:若在上,
两端求导数,得,
以代入,有
而,
于是.证毕.

§3 维数、基与坐标
一 授课内容:§3 维数、基与坐标
二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.
三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义.
四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.
五 教学过程:
1.线性空间的基与维数,向量的坐标
设V是数域K上的线性空间,则有:
定义4.9(基和维数) 如果在V中存在n个向量,满足:
1)线性无关；
2)V中任一向量在K上可表成的线性组合,
则称为V的一组基.
基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.
命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间,而.若V中任一向量皆可被线性表出,则是V的一组基.
证明:由与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.
命题4.5 设V为K上的n维线性空间,,则下述两条等价:
1)线性无关；
2)V中任一向量可被线性表出.
定义4.10(向量的坐标) 设V为K上的n维线性空间,是它的一组基.任给,由命题4.4,可唯一表示为的线性组合,即,使得,于是我们称为在基下的坐标.
易见,在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系.
§4 基变换与坐标变换
一 授课内容:§4 基变换与坐标变换
二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.
三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.
四 教学难点:坐标变换公式的应用.
五 教学过程:
1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵
设V/K是n维线性空间,设和是两组基,且

将其写成矩阵形式
.
定义4.11 我们称矩阵

为从到的过渡矩阵.
命题4.6 设在n维线性空间V/K中给定一组基.T是K上一个n阶方阵.命

则有是V/K的一组基,当且仅当T可逆.
证明:若是线性空间V/K的一组基,则线性无关.考察同构映射,构造方程
, 其中,
,
线性无关.
构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；
反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程
,其中,
两边用作用,得到,
.证毕.
2.向量的坐标变换公式；中的两组基的过渡矩阵
(1)向量的坐标变换公式
设V/K有两组基为和,又设在下的坐标为,即
,
在下的坐标为,即
.
现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即
记
,,
于是
.
于是,由坐标的唯一性,可以知道,这就是坐标变换公式.
(2)中两组基的过渡矩阵的求法
我们设中两组基分别为
和
而
按定义,T的第i个列向量分别是在基下的坐标.
将和看作列向量分别排成矩阵
；,
则有,将A和B拼成分块矩阵,利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:
.

§5 线性子空间
一 授课内容:§5 线性子空间
二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理.
三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理.
四 教学难点:线性子空间的判别定理.
五 教学过程:
1.线性空间的子空间的定义
定义4.12(子空间) 设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集.如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间,则称为V的一个子空间.
命题4.7 设V是K上的线性空间,又设一个非空集合,则是子空间当且仅当下述两条成立:
i)对减法封闭； ii)对于K中元素作数乘封闭.
证明:必要性由定义直接得出；
充分性:各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件.
只需要证明且对于任意,,且对加法封闭即可.
事实上,由于关于数乘封闭,则；,于是对于,,W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间. 证毕.
事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.
命题4.8 设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基.
证明:设,,,若,则命题为真；
若,对作归纳:设为W的一组基,取,则线性无关.于是令,易见,W’是V的一个子空间,且,此时,对其用归纳假设即可.
§6 子空间的交与和
一 授课内容:§6子空间的交与和
二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式.
三 教学重点:子空间的交与和的定义及维数公式.
四 教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式..
五 教学过程:
1.子空间的交与和,生成元集
定义4.13 设,则

是V的一个子空间,称为由生成的子空间,记为.易见,生成的子空间的维数等于的秩.
定义4.14(子空间的交与和) 设为线性空间V/K的子空间,定义
,称为子空间的交；
,称为子空间的和.
命题4.9 和都是V的子空间.
证明:由命题4.7,只需要证明和关于加法与数乘封闭即可.
事实上,,则,.由于均是V的子空间,则,于是,关于加法封闭；,,,于是,关于数乘封闭.
,则由的定义,,使得,而,则
,
关于加法封闭；,,使得,由于,则,关于数乘封闭.证毕.
命题4.10 设是V的子空间,则和均为V的子空间.
2.维数公式.
定理4.1 设V为有限维线性空间,为子空间,则
.
这个定理中的公式被称为维数公式.
证明:设,,,,取的一组基(若=0,则,基为空集),将此基分别扩充为的基
,
,
只需要证明是的一组基即可.
首先,易见中的任一向量都可以被线性表出.事实上,,则,其中,而

于是可被线性表出.只要再证明向量组线性无关即可.
设,
其中.则
(*)
于是
,
,
于是,记为.
则可被线性表示,设
,
代入(*),有
,
由于是的一组基,所以线性无关,则
,
代回(*),又有,
于是向量组线性无关.证毕.
推论2.1 设都是有限为线性空间V的子空间,则:
.
证明:对t作归纳.

§7 子空间的直和
一 授课内容:§7 子空间的直和
二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质.
三 教学重点:子空间的直和的四个等价定义.
四 教学难点:子空间的直和的四个等价定义.
五 教学过程:
1.子空间的直和与直和的四个等价定义
定义 设V是数域K上的线性空间,是V的有限为子空间.若对于中任一向量,表达式
.
是唯一的,则称为直和,记为
或.
定理 设为数域K上的线性空间V上的有限为子空间,则下述四条等价:
1)是直和；
2)零向量表示法唯一；
3)；
4).
证明: 显然.
设则
.
由2)知,零向量的表示法唯一,于是
,
即的表示法唯一.由直和的定义可知,是直和.
假若存在某个,使得,则存在向量且,于是存在,使得
.
由线性空间的定义,
,
则,与零向量的表示法唯一矛盾,于是
.
若2)不真,则有
,
其中且.于是
,
与3)矛盾,于是2)成立.
对m作归纳.
①=2时,由维数公式得到
.
②设已证,则对于,

而,都有
；
由归纳假设,可以得到.
,都有
,
于是.证毕.
推论 设为V的有限维子空间,则下述四条等价:
i)是直和；
ii)零向量的表示法唯一；
iii)；
iv).
2.直和因子的基与直和的基
命题 设,则的基的并集为V的一组基.
证明: 设是的一组基,则V中任一向量可被线性表出.又,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V的一组基. 证毕.
3.补空间的定义及存在性
定义 设为V的子空间,若子空间满足,则称为的补空间.
命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.
证明: 设为K上的n为线性空间V的非平凡子空间,取的一组基,将其扩为V的一组基取,则有
,且,
于是,即是的补空间.证毕.

§8 线性空间的同构
一 授课内容:§1线性空间的同构
二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定.
三 教学重点:线性空间同构的判定.
四 教学难点:线性空间同构的判定.
五 教学过程:
1.线性映射的定义
定义 设为数域上的线性空间,为映射,且满足以下两个条件:
i)；
ii),
则称为(由到的)线性映射.
由数域上的线性空间到的线性映射的全体记为Hom,或简记为Hom.
定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替:
.
例 是上的线性空间,也是上线性空间,取定一个上的矩阵,定义映射

则是由到的线性映射.
例 考虑区间上连续函数的全体,它是R上的线性空间,令

再令

则是由到的一个线性映射.
定义 设是线性映射
i)如果是单射,则称是单线性映射(monomorphism)；
ii)如果是满射,则称是满线性映射(endmorphism)；
iii)如果既单且满,则称为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说与是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射；
iv)的核(kernel)定义为；
v)的像(image)定义为,也记为；
命题 和是的子空间.
证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭.
vi)的余核定义为.
命题 线性映射是单的当且仅当ker,是满的当且仅当coker.
定理(同态基本定理) 设是数域上的线性空间的满线性映射,则映射

是同构映射.
证明:首先证明是映射,即若,则.由于,存在,使得.于是
,即.
再证明是线性映射.,,有
.
易见是满射,且有.只要再证明是单射即可,即证明.设,则,于是,即有.证毕.
命题 设是线性映射,,则下述三条等价:
i)单；
ii)将中任意线性无关组映为中的线性无关组；
iii).
证明:i)ii)若线性无关,则令
,
由线性映射的定义,.单,于是,则,ii)成立；
ii)iii)若取的一组基,则由已知, 线性无关,而中任意向量可以被线性表出,于是构成的一组基,iii)成立；
iii)i)由同态基本定理知,于是,即有.证毕.
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