历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.doc
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1、前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分,共20分)1计算_,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令,则, (*)令,则,2设是连续函数,且满足, 则_.解: 令,则,,解得。因此。3曲面平行平面的切平面方程是_.解: 因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由,知,即,又,于是曲面在处的切平面方程是,即曲面 平行平面的切平面方程是。4设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则_.解: 方程的两边
2、对求导,得因,故,即,因此二、(5分)求极限,其中是给定的正整数.解 :因故因此三、(15分)设函数连续,且,为常数,求并讨论在处的连续性.解 : 由和函数连续知,因,故,因此,当时,故当时,这表明在处连续.四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证:(1);(2).证 :因被积函数的偏导数连续在上连续,故由格林公式知(1)而关于和是对称的,即知因此(2)因故由知即 五、(10分)已知,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解 设,是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此的特征多项式是,而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微
3、分方程为,由和,知,二阶常系数线性非齐次微分方程为六、(10分)设抛物线过原点.当时,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线过原点,故,于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令,得即因此,.七、(15分)已知满足, 且, 求函数项级数之和.解 ,即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知,于是下面求级数的和:令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令,得,因此级数的和八、(10分)求时, 与等价的无穷大量.解 令,则因当,时,故在上严格单调减。因此即,又,所以,当时, 与等价的无穷大量是。2010年 第二届全国大学生数学竞
4、赛预赛试卷(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)一、(25分,每小题5分)(1)设其中求(2)求。(3)设,求。(4)设函数有二阶连续导数,求。(5)求直线与直线的距离。解:(1)=(2) 令x=1/t,则原式=(3)二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且且存在一点,使得。证明:方程在恰有两个实根。解: 二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。将f(x)二阶泰勒展开:因为二阶倒数大于0,所以,证明完成。三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具有二阶导
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