首师大教育统计学课件 第四章 差异量数.pdf

第四章差异量数某研究者得到以下两组成绩：甲组 54 63 72 74 82 88 99乙组 67 71 73 76 79 82 84试问：两组分数的分布是否一样？为什么？哪个均数的代表性更好？为什么？描述数据离散程度的统计量称为差异量。差异量越大，表明数据越分散、不集中；差异 量越小，表明数据越集中，变动范围越小。一组数据的离散程度，常常通过数据的 离中趋势（数据的变异性）特点进行分析。度量指标：全距、平均 差、方差、标准 差、偏态量、峰态量全距是一组数据中的最大值(,maximum与该组数据中最小值 minimum之差，又称极差。R=Xmax Xmin特点：全距是最简单、也是最粗糙、最不可靠的差异量数，其只利用了数据中的极端值，一般情况下用于数据的预备性 检验。2百分位差（百分位距）百分位差是指两个百分位数percentile之差。百分位数又叫百分位点：是量尺上一个点常用的百分位差有两种：P90 P10（包括80%的次数）和P93 P7（包括86%的次数）。用几个百分位距能较好地反映一组数据的差异程度。计算公式(90 A i坨0=Lb+N-fb 如“。(100)f90(10 A iP10-Lb+-N 一九1U 3。Uoo bi)f10公式中:4为某一百分位数所在组下限以下的累积频数 方为某一百分位数所在组的频数生为某一百分位数所在组的精确下限N为总次数见:书P82例4-1百分位数和百分等级-百分等级是一种相对位置量数，是百分位数的 逆走舁3四分位距四分位距是指在一个次数分布中，中间50%次数的距离的一半。在一组数据 中等于P25到P75距离的一半，反映的是 中间50%数据的散布情况。四分位距是第一个四分位数与第三 个四分位数之差的一半,计算公式为：C-42Q=(5.1)例1：求以下一组原始数据的四分位距：39,14,15,28,21,32,19,20,17,22,25,35.解：1)将原始数据排序：14,15,17,19,20,21,22,25,28,32,35,392)求出第一四分位数和第三四分位数的：Ql=(17+19)/2=18；Q3=(28+32)/2=303)求出四分位距：Q二(30-18)/2=6在分组数据中：n-fbQl=Lq+4 25.丫 fQ（5.2 a）3n丫3 r/。3（5.2b）用中位数作集中量时，常用四分位距作差异量。笫二节方装与标准差一、动差概念动差也称为矩：是指力的动势，即作用力与力臂的 乘积。统计学上用此概念表示次数分布的情况。统计动差是次数分布对原点的动势，在统计学中，大多数情况下运用的是次数分布对平均数的动势，即 以平均数所在位置为原点，以各组观测值与平均数的 差为力臂，各组次数为作用力来计算动差。这种以平 均数为原点计算的统计动差叫中心动差。一阶动差（矩）Zf（X又）=0无法表示数据分布差异 N=二阶动差（矩）u _（X又）2 2表示一个分布中离中趋势三阶动差（矩）L=型（/:4 表示一个分布中偏态性指标四阶动差（矩）1112f（X*）4表示一个分布中峰态性 4 N平均差(.average deviation 或者mean deviation)是指一组数据中，每一 个数据与该组数据的平均数离差的绝对值的算术平均数，通常用AD或MD表示。三 本书中均以AD表示。n次数分布表计算公式Ef X XAD=n(5.4)平均差意义明确，计算容易，反应灵敏。但计算时要用绝对值，不适合代数运算，因此 在进一步统计分析中应用较少。SbSb 三、方差和标浓差方差（又称为变异数、均方）是表示一组数据离 散程度的统计指标。一般样本的方差用S2表示，总 体的方差用02表示。标准差standard deviation是方差的算术 平方根。一般样本的标准差用S表示，总体的标准 差用a表示。标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差 异量。1、方差和标准差的定义2,方差和标准差的计算公式原始数据计算公式S2=2X2JX）2（J（5.7）s=1十 ey二 U（5.8）公式（5-5）、36）等价于田7）、（5-8）的黑鲁7结果有出入叱应以原始数据计算公式么？求下列数据的均值和标准差b 8,10,2,5,8,3,2,2,19,126 4,1,3,4,8,8,3,3,4,33试问上述两组分数的分布是否相同？为什计算及结果均数:_ y yN8+lAl以 12 71 一=-=7.110 104x3+1+3x3+8x2+33 71-=7.110 10标准差:次数分布表计算公式2_sf.xc2_m.xcf N N,(5.9)S 二fef-Xc2 NEf-XCA2 I N J(5.10)表57 52名学生数学成绩方差和标准差计算表成绩组中值Xc频数fF*XcF*Xc2计；算95 97.5219519012.590-92.5218517112.5c2 ZfX；(fXcY85-87.53262.522968.75S=J c-n1 J80-82.55412.534031.25280525(3775?75-77.586204805052152 J70-72.511797.557818.7565 67.59607.541006.25=124.56062.55312.519531.25S=J124.555 57.542301322550-52.521055512.5=11.1645 47.5147.52256.25合计5237752805253.总标准差的合成方差具有可加性的特点。当已知几个小 组数据的方差或标准差时，可以计算几个小 组联合在一起的总的方差或标准差。需要注意的是，只有在应用同一种观测 手段，测量的是同一种特质，只是样本不同 的数据时，才能计算合成方差或标准差。计算公式s；=ST=公式中i s；-xj冽冽舟一村(5.11)(5.12)S；为总方差,St为总标准差Si为各小组标准差m为各小组数据个数例4-5：现有四个小组的人数及成绩统计如下表，试问其总标 准差为多少？表4-3 成绩统计量组别nMS总方差和总标准差 X力解题过程:5470X1二273.974S；=2廿+/5219547470.535=770.53If8.404.方差和标准差的性质方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。标准差是一组数据方差的算术平方根，它不 可以进行代数计算，但有以下特性：如果 Y=X+C 则 SY=SX如果Y=CX 则 SY=CSX5.方差和标准差的意义方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好 指标，是统计分析中最常用的差异量。标准差具备一个良好的差异量应具备的条件，如：反应灵敏，有公式严密确定，简明易懂，适合 代数运算等等。应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测 量结果），而且被比较样本的水平比较接近。1.计算下列数列的均值，方差和标准差：3,4,5,5,6,7o1）给每一个数加或减2,然后再计算均值,方差和标准差。结果会有什么不同吗？2）把每一个数乘以或同除以2,计算均值,方差和标准差，结果会有什么不同吗？答案:X=5,5=1.29,$2=167+2:X=7,5=1.29 52=1.67-2:%=3,S=1.29$2=1.67 x2:J=10,5=2.58 52=6.67+2:又=2.5,5=0.65 52=0.42问题李芳数学成绩班上排名15,你能对此成绩进行评价 吗？为什么？某班学生平均身高160公分，标准差&2,平均体重 60公斤，标准差3.5o某生身高170分，体重65公斤，试 问其身高与体重哪方面在班上较突出？两小学生语数两科总分均为184,能否说明两人 的学习水平完全一样？为什么？笫三节相对差异量1.差异系数的概念及计算公式差异系数(coefficient of vcniation)是 指标准差与其算术平均数的百分比，它是没 有单位的相对数。常以CV表示,其计算公式为qCV=xlOO%X(5.13)2,差异系数的作用比较不同旱位资料的差异程度比较单位相同而平均数相差纹的两组 资料的差异程度可判断特殊差鼻情况根据经验，一般CV值常在5%35%之间。如 果CV大于35%时，可怀疑所求得的平均数是否失去 了意义；如果CV小于5%时，可怀疑平均数与标准 差是否计算有误。例1:比较计量单位不同的数据资料的差异程度1975年上海市区6岁男童体重与身高数据：平均数 标准差 差异系数体重 19.39千克 2.16千克 11.14%身高 115.87厘米 4.86厘米 4.19%例2:比较单位相同而平均数相关较大的两组资料的差异程度。1975年上海市区两组女童体重的数据:平均数 标准差差异系数2个月组 5.45千克 0.62千克 11.38%6岁组 19.02千克 2.12千克 11.15%3、评价学习分化无分化的指标：CVSW9%；有分化的指标：CVS220%；分化苗头指标：9%CVS20%3.差异系数的应用条件差异系数主要应用 于平均数不等于零的连 续数据。学科成绩可以勉强 计算差异系数。问题例4-10：某幼儿园大班儿童体重平均25公斤，标准 差3.7；身高110厘米，标准差6.2厘米。试问该班幼儿身 高和体重那方面的差异程度大一些？例4-11：初三甲乙两班的数学平均成绩分别为92和 71,标准差分别为8.95和7.40。试问两班成绩谁的差异 程度大一些？使用差异系数的时候应注意的问题:-测量的数据应保证具有等距尺度。-观测工具具有绝对零。-只能用于一般相对差异量的描述，至今 没有有效的假设检验方法，不能进行统 计推论。；3标准分数以标准差为单位所表示的“原始分”与 平均数的偏差。标准分数的计算公式为7 X-XA(7.1)s或Z=X-aZ分数可以表明原始分数在团体中的相对位置,因此称为相对位置量数。把原始分数转换成Z分数，就把单位不 等距的和缺乏明确参照点的分数转换成以标 准差为单位、以平均数为参照点的分数。标准分数的性质Z分数无实际单位，是以平均数为参照点、以 标准差为单位的相对量。一组原始分数得到的Z分数既有正值，也有负 值，所有原始分数的Z分数之和为零。一组原始数据中,各个Z分数的标准差为1。标准正态分布的平均值为0,标准差为1 O标准分数的优点v 可比性：标准分数以团体的平均数为基准，以标 准差为单位，因而具有可比性。可加性：标准分数使不同的原始分数具有相同的 参照点，因而具有可加性。，明确性：标准分数较原始分数的意义更为明确。合理性：标准分数保证了不同性质的分数在总分 数中的权重相同，使分数更合理地反映事实。标准分数的应用用于比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低O计算不同质的观测值的总和或平均值，以 表示在团体中的相对位置。当研究需要合成不同质的数据时，如果已知这 些不同质的观测值的次数分布为正态，这时可采用 Z分数来计算不同质的观测值的总和或平均值。iSE 案例比较例5-4：某班学生身高平均160公分，标准差8.2；体重平均60公斤，标准差3.5。某生身高 170公分，体重62公斤，试问该生身高和体重在 班上的位置如何？例5-5：小学生A和B在毕业考试中，语文和 数学两科的总分均为184。能否以此说明两人的 学习水平相同？为什么（一）比较单位不同变量的位置z身高170-160=1.228.2Z体重62-603.5=0.57（二）学绩比较见书P98,例4-8 异常值的取舍在一个正态分布中，平均数上下一定的 标准差处，包含有确定百分数的数据个数。+1o P=68.26%2a P=95.45%3a P=99.73%可以看到，在平均数上下各二个初生麦的范围内，分布着全部数据的99.73%,反言之，在三个标准差之外的数据不足0.27%,因此常把“三个标准差”做为判断可疑值取舍的依据。Z分数的不足原理复杂；使用不方便比较时，分布形态须相同;赛示标准测验分数经过标准化的心理和教育测验，常常 用标准分数表示测验结果。如果其常模分 数分布接近正态分布，为了克服标准分数 出现的小数、负数和不易为人们所接受等 缺点，常常是将其转换成正态标准分数。转换公式为：z=aZ+b(7八例如：早期智力测验中运用智力商数表 示智力测查的指标智鳖）xlOOC4（实际年龄）这种表示智力的方法后来被离差智商取代：Z=X-X/Q=15Z+100S=:采中4切差异的关行1.多组数据比较时，集中量相等，差异量不等;或差异量相等，集中量不等，均不能说各组分布相同。以4 O分析数据分布，有四种情况：gN不等，o各异；小相同或相近，Q相同或接近；十日相同或相近，。各异；9 N不等，O相等或接近；2、坐标意义集中量”一个点差异量”一段距离3、集中量的代表性差异量余，集中量代表性I练习与思考106页的有关练习题。对一组数据进行描 述时，应怎样选择合适 的集中量和差异量？1.由于记分错误，在一个心理课程的期末考试中 每一个考试分数都被加上了 10分。这个错误对于平均数和标准差分别有什么影响?2、计算下列数列的标准差：1)10,8,6,0,8,3,2,2,8,02)1,3,3,5,5,5,7,7,93)20,1,2,5,4,4,4,04)5,5,5,5,5,5 9 5 9 5 9 5 9 5格，各超市每磅的价格如下（单位：美分）：56,65,48,73,59,72,63,65,60,63,61,66,69,64,71,58,63o 1）计算平均数。2）计 算全距和四分位差。3）计算标准差和方差。