2022年高考数学一轮复习专题 专题39 椭圆复习课件.pdf

:椭圆的定义:到两定点品、0的距离和为常数（大于尸产21）的点 的轨迹叫做椭圆。2,椭圆的标准方程是:三+4=1（。方0）4+j=l（60）3,椭圆中a,b,c的关系是32=d+。216:18:282()深化研究、构建方程WiI第标，隹万程X型椭圆焦点在X轴:片(0,0),耳(c,0)焦点在了轴：Y型椭圆2 2+，=1(。60)a b片(0,c),g(0设|FiF2|=2c(c0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有5(0广c),F2(0,c),乂由椭圆的定义可得：IMFJ+|MF2|=2a 由两点间的距离公式，可知:焦点在Y轴2 匕+2 a焦点在X轴(y+c)2+小(y-c)2+=2q2 2 2x.y x-=1=-1-=12 2 2/2a-c a bMoXF2 2=a-cJ(x+eV+y：+J(x _ eV+y2=2aX2 y2 X2 y2/2 2+-T=a ca a-c a b 焦点在x牛田上H、J杯，住力不王:2 22十八2 a b=1(6 0)焦点在y轴上的标准方程:2 2/+记=1(八。)如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上?(1)焦点在X轴的椭圆，X2项分母较大.(2)焦点在 轴的椭圆.项分母较大.椭圆的标章方程的伏积;(1)“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两 个方程，方程形式是固定的。(2)椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上，即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上”(3)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。(4)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。出表示c、的线段吗?/有什么几何意义?令|OP=ya2-c2=b则方程可化为2 2x y+2 7 2a b=1(6 0)注：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2 y焦点在X轴上2 2x ya2 b2(a b 0)F(-c,0)F2(c,0)焦点在y轴上Fi(0,c)F2(0,-c)M一 v2.八2a=b+cFioF2a2=b2+c2椭圆的一般方程Ax2+B y2=1(A0,B 0,AWB)结论：椭圆佳于直线X=2和丫=b阈或关于y轴对称X轴对称16:18:2912结论：椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形X对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心从图形上看，椭圆关于X轴、y轴、原点对称。从方程上看：(1)把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；(2)把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；(3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变，图象关于 原点成中心对称。即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为 对称中心。1.已知点尸(3,6)在7+食=1上，则(A)点(.3厂6)不在椭圆上(B)点(3厂6)不在椭圆上(C)点(36)在椭圆上(D)无法判断点(3厂6),(3厂6),(36)是否在椭圆上顶点：椭圆与它的对称轴的四个支点,叫做椭 圆的顶点。,yB i(O.b)N N冬+冬=1(ab a2 b2令x=0,得y二？说明椭圆与y轴的交点为令y=0,得x二？说明椭圆与X轴的交点为O U-A(a,0)。j4(a 向 B2(0,-b)一a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系?焦点洛在椭圆的长轴上同长轴：线段AjA2;长轴长|A1A2|=2a 短轴：线段B 1B 2;短轴长|B1B2|=2b焦星巨|F1F2|=2c和b分别叫做椭圆的Ai(-a,0)长半轴长和短半轴长；一X 2=b2+c2,|B2F2|=a;焦点必在长轴上；B i(0,-b)例1已知椭圆方程16N必斤=40。它的长轴长是：10o短轴长是j 8 0焦距是.6。离心率等于j1二。焦点坐标是：(3,0)。顶点坐标层：(5,0)(0,4)外切矩形的面积等于：80Q1.椭圆=81的长轴长为18,短轴 长为6,半焦距为6年，离心率为好，焦点坐标为(0,6五),顶点坐标为9),(3,0).例2椭圆的一个顶点为433,其长轴长是短轴 长的2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解:(1)当4(2,0)为长轴端点时,。=2,6=1,2 2椭圆的标准方程为:7+=1;(2)当(2)为短轴端点时，6=2 =49x y椭圆的标准方程为:下4 1 o=1.综上所述，椭圆的标准方程是二十 =1或-7+j=l 4 1 4 16由椭圆的范围、对称性和顶点,再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.04、椭圆的离心率e（刻画椭圆扁平程度的量）C离心率：椭圆的焦距与长轴长的曰:-叫做椭圆的离心率。a国离心率的取值范围：Ovevl231)e越接近1,c就越接近a,从而b就越小,椭圆就越扁离心率越大，椭圆越扁2)e越接近0,c就越接近0,从而b就越大，离心率越小，椭圆越圆椭圆就越圆24e=0,这时两个焦点重合，图形变为圆.如果a=b,则c=0,两个焦点重合，x2+y2=a1椭圆的标准方程就变为圆的方程：e=l,为线段。-1 一0c a-b L b3e 与 a,b 的关系：e=-；=、1-；a a V a25小祺74/2 22.说出椭圆 的范助哪=1长,短轴长，焦点坐标J页点坐标：范围：-3 x3,-4 j2。=20 户=士a 5.Q=10,0=6,方=102 62=64,2 2 v2 X2所以椭圆的标准方程为高+=i或荷+讶二！100 64 1UU ur思考：已知椭圆+乙=1的离心率？=不，求k的值 左+8 9 2解：当椭圆的焦点在X轴上时，a2=k+8,b2=9,得/=左一1.1由e=5，得：左二4当椭圆的焦点在歹轴上时，a2=9，b2=k+8，得。2=1左.d _ 1 曰1 左 1 的7 5由e=，得丁=，即左=一）.满足条件的左=4或后=*.4/鹏虫慢L、/b2 v/U厂c/b1 k图象一十范围|x|ajy|bC）ac0）用曲线的图形和方程Cl D来研究椭圆的简单几何性质个点,一个框,注意光滑和圆扁,1,位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与圆的方程消元得到二元一次方程组(0o直线与圆相交o有两个公共点；(2)A=0 o直线与圆相切o有且只有一个公共点;(3)A Oo 方程组有两解UA=0 一方程组有一解二A,羽姐中福12+nx+p=0(m w 0)两个交点村相交一个交点相切工办占1相离1,位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组直线与椭圆相交o有两个公共点；(2)A=0 o直线与椭圆相切o有且只有一个公共点;(3)A(m+52)%2+10Ax+5-5m=0+=l、5 m=(1 Ok?-4(m+5k2)(5-5m)0/+(5A:2-l)m0,/m 0,/.5k2 1-加恒成立，/.1-m 1,且加 w 5恒有公共点,2 2例1：直线y=kx+l与椭圆 恒有公共表我二二15 m求m的取值范围。解法二,直线y=履+1恒过定点（0,1）,且与椭圆总有公共点，定点必在椭圆上或或者幡圆内1 r/.0 一 1 且加 w 5m JI 12/练习1.K为何值时，直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点？有一个公共点？没有公共点？当k二士时有一个父点 3当kY 3或kv-丑时有两个交点 3当一如kv好时没有交点3 3 2 2练习2.无论k为何值，直线y=kx+2和曲线+=1交点情况满足（D）A.没有公共点 B.一个公共点4 J例2:已知椭圆+=1,直线4x 5y+40=0,椭圆 25 9 上是否存在一点，到直线/的距离最小?最小距离是多少？分析:设P(x0,j0)是椭圆上任一点，试求点。到直线4x-5y+40=0的距离的表达式.,|4xo-5jo+4O|4xo-5jo+4O|x02=g=F 美南丁尝试遇到困难怎么办？/作出直线/及椭圆，4 J例2:已知椭圆+-1,直线4x-5y+40=0,椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线，的距离最小?文审离是多少?解：设直线机平行于/,贝 11/可 写 成：4x 5y+k=0*4x 5y+左=0由方程组2 消去y,得25/+8辰+左2-225=0+=125 9由A=0,得64左2-4x25（左2-225）=0解得&-25,k2=-25 由图可知左=25.例2:已知椭圆+=1,直线4x 5+40=0,椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线，的距离最小?吵需是多少？/.直线加为 Ax 5y+25=0直线加与椭圆的交点到直线/的距离最近且。二将。而+5?41 dmax-思考；景上的糜离是多少7o*Q.-742+52 41力、o2解：联立方程组(1V=X 2I x2+4y2=2由韦达定理0 所以，方程（1）有两个根，则原方程组有两组解.那么，相交所得的弦的弦长是多少?AB=占一小）2+任172）2二，2（演一垃二亚,”士+占）2_牝3 也设直线写椭圆交手Pi(,yi),PzM%)两点，直线PF2的斜率为k.同理可得IP1P21=1?一21/：1+/Q关0)I y _)2 I=，(沙+了2)241万|AB|=a/1+F 氏一.1=J1+.I”-%I 当直线斜率不存在时，则|/回=|%-%.弦长公式：交椭圆于A,B两点，求弦AB之长.解:由椭圆方程知=4万=l,c2=3.右焦点户（班,0）.直线/方程为:y=.玉+/得：5f8gx+8=阳（芭/1）向/2）8a/3 8-,M壬二一2 2例4:已知点耳、分别是椭圆工+幺=1的左、右2 1焦点，过心作倾斜角为工的直线交椭圆于A、B两点,4求月46的面积.分析:先画图熟悉题意,点片到直线AB的距离易知，要求S神，关键是求弦长AB./jl yj LX由直线方程和椭圆方程联立方程组例4:已知点片、石分别是椭圆土+匕=1的左、右 焦点，过心作倾斜角为的直线，月的面积.2 4解：椭圆二+，=1的两个焦点坐标片（-1,0）,凡（1,0）2二直线AB的方程为 二 x-1设ZOivJKj/）/同二，（占一/）2+（必一%）?=，2（5一 HF=Ji（X1+X2）2-4XjX2 =I Y J,/点居到直线AB的距离d=10-（二）+1=72，2FAB叫答：的面积等于1例5、如图，已知椭圆.；/+勿2=1与直线x+y=0交 于A、B两点,|4同=20,AB的中点M与椭圆中心连线的 斜率是交，试求a、b的值。2解:网+旷=1x+y-l=Q消y得：（。+6）12-2乐+6-1=A二4b24（Q+b）（b 1）0 切（加弘）1（。2）2b：.ab b0)，直线片kx+m与椭圆交于A.B两点，且力(%1,71)，B(x2,J2)，则-得直线和椭圆相 交有关弦的中 点问题，常用 设而不求的（yi+J2）（P1-J2）（X1+%2）（X1%2）思想方法.a _ 力 2 2 2 12由62a22）+。2（弘2Y2）=o 即21=一勺X-%a KB 2 2玉一 a 乂+y a X）例6：已知椭圆:+=1,过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解：设所求直线的方程为3一1=归(72)代人椭圆方程并整理，得(42+1)jr2 8(2k2)z+4(24 1)2 16=0.设直线与椭圆的交点为ACri,外)，夙也，北)，则为，也是上面的方程的两个根，内+5二嚅昔.TP为弦AB的中点，.2=%三=攀洋，解得仁一次 二所求直线的方程为i+2y4=0.韦达定理f斜率例6已知椭圆言+4=1过点P（2,1）引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.解法二:设直线与椭圆交点为AG1，“）,以亚，通H_，AP为弦AB的中点，4+及=4,yi+北=2.、又 A,B在椭圆上，万+4乂=16:g士堡二两式相减即，（JC1+乃）（为一了2）+”+2）（1?2）=，j比二丝=二阳尸2）=一支 即窥=J不一力2 4（?1十了2）2 乙二所求直线方程为yl=2）,即z+2）4=0.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 I 出中点坐标和斜率.I工2 V2例6已知椭圆正十号=1过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.解法三:设所求直线与椭圆的一交点为AG,丁)，;另一个交点为B(41,2、)，则TAI在椭圆上./2+42=16,(47)2+4(2-“=16,所以 x2+4y2=(4x)2+4(2y)2,整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条所求直线的方程为jr+2j/-4=0.解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；解方程组消去其中一元得一元二次型方程（）相交2、弦长的计算方法：弦长公式：|AB|=，1+目2.（芭+%）2-4、x2=+，J（必+必）4y J2（适用于任何曲线）3、弦中点问题的两种处理方法：（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。