2022年名师高中数学知识点总结.pdf
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1、精品pdf资料欢迎卜载高中数学知识点总结1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。如:集合 A x|y lg x,B y|y Igx,C(x,y)|y Igx,A、B、C 中元素各表示什么?2.进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。2如:集合 A x|x 2x 3 0,B x|ax 1若B A,则实数a的值构成的集合为(答:1,0,)-33.注意下列性质:(1)集合a,,a2,,an的所有子集的个数是2n;(2)若 A B A B A,A(3)德摩根定律:
2、Cu A B CuA CuB,&4.你会用补集思想解决问题吗?(排除法、如:已知关于X的不等式咚速I x a的取值范围。(/3 M,,3 23 5 03 aaB B;A B CuA CuB间接法)0的解集为M,若3 M且5 M,求实数a5、1,-9,25)35.可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(),“且”()和“非”().若p q为真,当且仅当p、q均为真若p q为真,当且仅当p、q至少有一个为真若p为真,当且仅当p为假6.命题的四种形式及其相互关系是什么?(互为逆否关系的命题是等价命题。)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。7.对映射的概念了解吗?映射 f:A-
3、B,是否注意到 A中元素的任意性和 B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?(一对一,多对一,允许 B中有元素无原象。)第1页,共33页精品pdf资料欢迎卜载8.函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?(定义域、对应法则、值域)x 4 x9.求函数的定义域有哪些常见类型?例:函数y-的定义域是lg x 3-(答:0,2 2,3 3,4)10.如何求复合函数的定义域?如:函数f(x)的定义域是a,b,b a 0,则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是 o(答:a,a)11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?如:f v x_T ex x,求 f(x).令
4、t v x 1,贝ijt 0 Z.x t2 1t2 1 O y2-1 Pe t 1.,.f(x)e x 1 x 012.反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(反解x;互换x、y;注明定义域)1 x x 0如:求函数f(x)的反函数x x 0,X 1 X 1(答:f 1(X)_)%x x 013.反函数的性质有哪些?互为反函数的图象关于直线 y=x对称;保存了原来函数的单调性、奇函数性;设y f(x)的定义域为A,值域为C,a A,b C,贝U f(a)=b f 1(b)af 1 f(a)f 1(b)a,f f 1(b)f(a)b14.如何用定义证明函数的单调性?如何
5、判断复合函数的单调性?(取值、作差、判正负)(y f(u),u(x),贝U y f(x)(外层)(内层)f(x)lo g!(x2 ax a)2当内、外层函数单调性相同时 f(X)为增函数,否则f(X)为减函数。)如:求y lo g x2 2x的单调区间 2(设 u x2 2X,由 u 0则o x 2 且 lo giu,u x 1 2 1,如图:2第2页,共33精品pdf资料欢迎卜载当x(0,1时,u,又 lo g 1 u,y2已知f(x)lo g!(x2 ax a)的值域为R,f(x)在215.如何利用导数判断函数的单调性?当x 1,2)时,u,又 lo g】u,Ay2,1、耳)上是增函数,则
6、a的取值是在区间a,b内,若总有f(x)。则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性),反之也对,若 f(x)0呢?如:已知a 0,函数f(x)x3 ax在1,上是单调增函数,则a的最大值是()A.0B.1 C.2 D.3(令 f(x)3x2 a3 x J-x 0 则 X 晅或 x、3 X 3 V 3 3由已知f(X)在1,昌)上为增函数,则-1,即a 3,a的最大值为3)316.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称)若(x)f(x)总成立 f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称若(x)f(x)总成立 f(x)为偶函数 函数图象关于
7、y轴对称注意如下结论:(D在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇 函数的乘积是奇函数。(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则 f(0)0o_ X如:若f(x)为奇函数,则实数 a 2X 1-(f(x)为奇函数,x R,又 0 R,.f 0 即。0,a 1)2 12X又如:f(x)为定义在(1,1)上的奇函数,当x(0,1)时,f(x)J,4 1第3页,共33精品pdf资料欢迎卜载求f(x)在 1,1 上的解析式。(令x 1,0,贝|J x 0,1,f(x)-2 X 9X又f(x)为奇函数,/.f(X)-4 x 1 1 4X安 x(1,0)4X
8、1又f(0)0,:f(x)x 0)2Xx 0d4 117.你熟悉周期函数的定义吗?(若存在实数T(T 0),在定义域内总有f x T f(x),则f(x)为周期函数,T是一个周期。)如:若f x a f(x),贝ij(答:f(x)是周期函数,T 2a为f(x)的一个周期)又如:若f(x)图象有两条对称轴x a,x b即f(a x)f(a x),f(b x)f(b x)则f(x)是周期函数,2a 为一个周期如:18.你掌握常用的图象变换了吗?3)与(x)的图象关于y轴 对称f(x)与f(x)的图象关于x轴 对称f(x)与f(x)的图象关于 原点 对称f(x)与f lx)的图象关于 直线y x对称
9、仪)与(22 x)的图象关于 直线x a对称f(x)与f(2a x)的图象关于 点(a,0)对称第4页,共33页精品pdf资料欢迎卜载将y f(x)图象左移(0)个单位 右移a(a 0)个单位y f(x a)y f(x a)上移b(b 0)个单位 y f(x a)b下移b(b 0)个单位 y”x a)b注意如下“翻折”变换:f(x)|f(x)|f(x)f(|x|)如:f(x)lo g2 x 1作出y lo g 2 x 1|及y lo g 2|x 1的图象19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?(1)一次函数:y kx b k 0(2)反比例函数:的双曲线。ky-k 0推广为yXkb-k 0
10、是中心 O(a b)x a(3)二次函数y2axbx c a 0 a2a4ac h2图象为抛物线4a顶点坐标为,4aC b2,对称轴x2a 4ab2axb2第5页,共33页精品pdf资料欢迎卜载开口方向:a 0,向上,函数4ac b y min4aa 0.向下,ymax4ac b2 4a应用:“个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程ax2 bx c 0,0时,两根Xi、X2为二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的两个交点,也是二次不等式 ax2 bx c 0(0)解集的端点值。求闭区间m n上的最值。求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。一元二次方程根的分布问题。0如
11、:二次方程ax2 bx c 0的两根都大于k k2af(k)0一根大于k,一根小于k f(k)0(4)指数函数:y ax a 0,a 1(5)对数函数 y lo ga x a 0,a 1由图象记性质!k(6)“对勾函数”y x-k 0 x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?第6页,共33精品pdf资料欢迎卜载20.你在基本运算上常出现错误吗?指数运算:a0 i(a o),a p21.22.(a 0)m a7 am(a 0),ma n1n m a(a 0)对数运算:lo ga M N lo ga M lo g a N M,Mlo ga 一Nlo ga M lo ga N,lo
12、 g a-lo ga n对数恒等式:al09 aX对数换底公式:lo ga如何解抽象函数问题?(赋值法、结构变换法)如:(1)(先令X(2)x(先令x,f(t)xblo gc b lo gcalo gam bxyR,y0,NMn.,Io gab m0R,f(x)满足 f(xy)0 f(0)0再令 yf(x)满足 f(xy)f(x)t f(t)(t)f(t)(3)证明单调性:f(x2)f掌握求函数值域的常用方法了吗?(二次函数法(配方法),反函数法,如求下列函数的最值:(1)y 2x 3、13 4xf(x)f(y),证明f(x)为奇函数。X,)f(y),证明f(x)是偶函数。f(t t)/.f(
13、t)f(t)f(t)f(t)X 2 Xi换元法,(2)yx?均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。)(3)x 3,y2x2x 3(4)y x2Vx 4x 34 v 9 x2 设x 3c o s,0,第7页,共33页精品pdf资料欢迎卜载9(5)y 4x,x(0,1 X23.你记得弧度的定义吗?(|R,s扇能写出圆心角为a,半径为 R的弧长公式和扇形面积公式吗?24.熟记三角函数的定义,sin MP,c o s单位圆中三角函数线的定义OM,t an AT如:若 一 0,贝1J s in,c o s,t an的大小顺序是8-1 J 2 c o s 2又如:求函数yx的定义域和值域。(丁
14、 1 v2c o s-x)21 0 y v1 V2 4 4第8页,共33页精品pdf资料欢迎卜载25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?对称点为 k,o,k Z 2y sinx的增区间为2k,2k k Z2 23减区间为2k 2k k Z2 2图象的对称点为 k,o,对称轴为x k k Z-2y c o sx的增区间为2k,2k k Z减区间为2k,2k 2 k Z图象的对称点为k-,0,对称轴为x k k Z 2y t anx的增区间为 k-,k-k Z2 226.正弦型函数y=Asin x+的图象和性质要熟记。或y A c o s x第9页,
15、共33精品pdf资料欢迎卜载(1)振幅|A|,周期T2 n若f x A,则x(2)五点作图:令(x,y)作图象。x0为对称轴。若f x0 0,则X。,0为对称点,反之也对。x 依次为0,22,求出x与y,依点32(3)根据图象求解析式。(求 A、值)(xj如图列出(X2)02解条件组求、值正切型函数y A t an x,T 27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。如:c o s X-.,X6 2 3.7,求X值。2131228.在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?如:函数y sinx sin|x|的值域是)(x 0时,y 2
16、sinx2,0时,y0,A y2,2)29.熟练掌握三角函数图象变换了吗?(平移变换、伸缩变换)平移公式:(1)点 P(X,y)a(h,k)平移至P(x,y),则x y(2)曲线f(x,y)0沿向量(h,k)平移后的方程为f(x h,yk)2,axXyh k0如:函数y 2sin 2x-1的图象经过怎样的变换才能得到 y4sinx的图象?第10页,共33页精品pdf资料欢迎卜载z,Oo.Ov 1 横坐标伸长到原来的2倍V/sin/x 4y 2 sin 2-x 12 4左平移一个单位c.T 4 C T 上平移1个单位 c-2sin x-1 y 2smx 1 y 2smx4纵坐标缩短到原来的1倍2
17、 y sinx)30.熟练掌握同角角函数关系和诱导公式了吗?如:1 sin2 c o s2 sec2 t an2 t an c o t c o s sec t an4sin c o sO.称为1的代换。2“k-”化为 的三角函数一一“奇变,偶不变,符号看象限”,2“奇”、“偶”指k取奇、偶数。,Q 7如:c o st an sin 214 631.又如:函数y 电则y的值为COS c o t-A.正值或负值 B.负值 C.非负值 D.正值sin/皿 c o s sirT c o s 1 n.0(y-z-0,0)c c。c o s c o s sin 1c o ssin熟练掌握两角和、差、倍、降
18、基公式及其逆向应用了吗?理解公式之间的联系:令sin sin c o s c o s sin sin 2 2 sin c o s令 2 2c o s c o s c o s sin sin c o s2 c o s siniVt an t an 八 2 八.2t an 2 c o s 1 1 2 sin1 t an t an2 1 COS2/c o sc 2 t an 0t an 2-j-乙1 t an.2 1 c o s2sin2a sin bo o s Va2 b2 sin,t an asin c o s v 2 sin sin x 3 c o s 2 sin4 3第11页,共33页精品p
19、df资料欢迎卜载(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能应用以上公式对三角函数式化简。求值,尽可能求值。)具体方法:(1)角的变成&如222(2)名的变换:化弦或化切(3)次数的变换:升、降暴公式(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。如:已知空COS1,2 年t an 一,求t an2的值。1C0S23(由已知得:sin c o sCOS.-1,t an又 t an 22 sin22 sin232 1t ant anQ 9 1t an 2t an3 2-)1 t ant an183 232.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?余弦
20、定理:a2 b2 c2 2bc c o s A c o sA-2 be(应用:已知两边夹角求第三边;已知三边求角。)a2RsinA正弦定理:一2Rb2R sin Bsin A sin B sinCc2Rsin CS-a bsinC ABC,.AB C2A B Csin A B sinC,sin-c o s2 2A b如 ABC 中,2sin?-c o s2C 12(1)求角C;(2)若/b2 J,求 c o s2A c o s2B的值。2(1)由已知式得:1 c o s A B2 c o s2 C 1 1又 A B C,/.2c o s2 c c o sC 1 0/.c o sC,或 c o
21、sC2又 0 C,,C 3(2)由正弦定理及 a2 b2 c2W:2sin2 A 2sin2 B sin2 C23 31 c o s2A 1 cos2B-/.c o s2A c o s2B)4 433.用反三角函数表示角时要注意角的范围。1(舍)sin2 334第12页,共33页精品pdf资料欢迎卜载反正弦:arc s in x,X2 21,1反余弦:arc c o sx 0,x 1,1反正切:arc t an x一,一,x R2 234.不等式的性质有哪些?(1)ab,c0acbe(3)abc0acbe(2)ab,c dab d0,cd 0acbd(4)a b01a1bab01a1b(5)a
22、b0an bn,xa(6)|x|aa0a x a,|x|axa或xa如:若1 a1b0,则下列结论不正确的是)A.a2 b2B.ab b2C.|a|b|lab|咔ba2答案:c35.利用均值不等式:a2 b2 2ab a,b Ra b 2、ab;aba22-求最值时,你是否注意到“a,b R”且“等号成立”时的条件,积(ab)或和(a b)其中之一为定值?(一正、二定、三相等)注意如下结论:2.2a b2a b2aba,bR当且仅当a b时等号成立。a2b2 c2abbec a a,bR当且仅当a bc时取等号。ab0,m0,n0,贝ijbab m 1a ma n b na b如:若x0,23
23、x4-的最大值为x(设y23X42 2v122x4v13当且仅当3x4.2V3丁 又 X 0,.X 可时,2 43)第13页,共33页精品pdf资料欢迎卜载又如:x 2y 1,则2、4y的最小值为(V 2X 22y.最小值为2握)36.不等式证明的基本方法都掌握了吗?并注意简单放缩法的应用。(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)如:证明11221321-2 n2(11221L11112213212)nn11212 31n 1 nn37.解分式不等式f(x)g(x)a a(移项通分,分子分母因式分解,38.39.40.111n0的一般步骤是什么?X的系数变为1,穿轴法解得结果。)用“穿轴法”解
24、高次不等式“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始o q如:x 1 x 1 x 2 0解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如:对数或指数的底分 a 1或0对含有两个绝对值的不等式如何去解?例如:解不等式|x 3|X1 1a1讨论(找零点,(解集为分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)41.会用不等式|a|b|a b|如:设f(x)x2 x 13,证明:|f(x)f(a)|(x2x|x-2)|a|b|证明较简单的不等问题实数a满足|x a|1 求证:f(x)f(a)|2(|a|1)X13)(a2 a 13)1l(x|x|x|a)(x a|x|a|1a 1)1(a 1|x|Xaa|1)1|
25、又|x|a|x a|1,,|x|a|1 A f(x)f(a)2|a|2 2|a|1(按不等号方向放缩)第14页,共33页精品pdf资料欢迎卜载42.不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“”问题)如:a f(x)恒成立 a f(x)的最小值a f(x)恒成立 a f(x)的最大值a f(x)能成立 a f(x)的最小值例如:对于一切实数 x,若俨 耳|x 2|a恒成立,则a的取值范围是(设u|x q|x 2,它表示数轴上到两定点 2和3距离之和umin 3 2 5,Z.5 a,即 a 5或者:|x 3|x x 3 x 2 5,a 5)43.等差数列的定义与性质定义:a-
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