3.3--垂径定理.ppt

第三章第三章 圆圆第第3 3节节 垂径定理垂径定理1课堂讲解课堂讲解u垂径定理垂径定理 u垂径定理的推论垂径定理的推论2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升（1）圆圆是是轴对轴对称称图图形形吗吗？如果是，它的？如果是，它的对对称称轴轴是什是什 么么？你能找到多少条你能找到多少条对对称称轴轴？（2）你是用什么方法解决上述你是用什么方法解决上述问题问题的？与同伴的？与同伴进进行交行交 流流.知知1 1导导1知识点知识点垂径定理垂径定理如如图图,AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CD丄丄 AB，垂垂足足为为M.（1）图图是是轴对轴对称称图图形形吗吗？如果是，？如果是，其其对对称称轴轴是是 什么？什么？（2）你能你能发现图发现图中有哪些等量关中有哪些等量关 系？系？说说一一说说你的理由你的理由.归纳知知1 1导导 垂径定理垂直于弦的直径平分垂径定理垂直于弦的直径平分这这条弦，并且平分条弦，并且平分弦所弦所对对的弧的弧.知知1 1讲讲知知1 1讲讲定理：定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分这这条弦，并且平分弦所条弦，并且平分弦所对对的弧的弧用几何用几何语语言表述言表述为为：如如图图，在，在 O中，中，知知1 1讲讲下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图图1图图2图图3图图4OAEBDOCAEB知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）黄黄冈冈如如图图，AB为为 O的直径，弦的直径，弦CDAB于点于点E，已，已知知CD12，BE2，则则 O的直径的直径为为()A8 B10 C16 D20例例1导导引：引：连连接接OC.根据垂径定理，知根据垂径定理，知CE CD6.在在RtOEC中，中，设设OCx，由，由BE2，得，得OEx2.所以所以(x2)262x2，解得，解得x10，即直径，即直径AB20.D总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）本本题题运用运用构造法构造法，连连接半径，根据接半径，根据ABCD，构造，构造RtOEC，再运用，再运用方程思想方程思想，设设未知数，运用垂径定理和未知数，运用垂径定理和勾股定理列方程勾股定理列方程进进行求解行求解知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）某市某居民区一某市某居民区一处处地下地下圆圆形管道破裂，修理人形管道破裂，修理人员员准准备备更更换换一段新管道，如一段新管道，如图图，污污水面水面宽宽度度为为60 cm，水面至管道水面至管道顶顶部的距离部的距离为为10 cm，问问修理人修理人员应员应准准备备内径内径为为多大的管道？多大的管道？例例2知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）导导引引：画出如画出如图图所示的示意所示的示意图图，过圆过圆心心O作作OCAB于点于点D，交交 O于点于点C，连连接接OB，若，若设设 O的半径的半径为为r cm，在，在RtBOD中，利用勾股定理列出关于中，利用勾股定理列出关于r的方程，的方程，继继而解而解出出r的的值值知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）解解：如如图图，弦，弦AB表示表示污污水水面，点水水面，点O为圆为圆心，心，圆圆形管道的内形管道的内径即径即为为 O的直径的直径设设半径半径为为r cm，过过点点O作作OCAB于点于点D,与与 交于点交于点C，根据垂径定理知，点，根据垂径定理知，点D是是AB的中点，点的中点，点C是是 的中点，的中点，CD就是就是污污水水面至管道水水面至管道顶顶部的距离由部的距离由题题意可知：意可知：AB60 cm，CD10 cm，BD AB30 cm，OD(r10)cm.在在RtDOB中，中，BD2OD2OB2，即，即302(r10)2r2，解得，解得r50.2r250100(cm)答：答：修理人修理人员应员应准准备备内径内径为为100 cm的管道的管道总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）本本题题运用运用转转化思想化思想将将实际问题转实际问题转化化为为数学数学问题问题，先正确画出先正确画出图图形，找出形，找出图图中的已知量，然后构造直中的已知量，然后构造直角三角形，最后利用勾股定理求解角三角形，最后利用勾股定理求解知知2 2练练（来自（来自教材教材）1400年前，我国隋朝建造的年前，我国隋朝建造的赵赵州石拱州石拱桥桥(如如图图)是是圆圆弧弧形，它的跨度形，它的跨度(即弧所即弧所 对对的弦的弦长长)为为37.4 m，拱高，拱高(即弧即弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离)为为7.2 m，求，求桥桥拱所在拱所在圆圆的半径的半径(结结果精确到果精确到0.1).1知知1 1练练解解：如如图图，ODAB，AD AB 37.418.7(m)在在RtODA中，中，OD(R7.2)m，OAR m，R2(R7.2)218.72，解得解得R27.9.桥桥拱所在拱所在圆圆的半径的半径约为约为27.9 m.知知2 2练练（来自（来自教材教材）如果如果圆圆的两条弦互相平行，那么的两条弦互相平行，那么这这两条弦所两条弦所夹夹的弧的弧相等相等吗吗？为为什么？什么？2解解：相等理由略相等理由略知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）(中考中考广元广元)如如图图，已知，已知 O的直径的直径ABCD于点于点E，则则下列下列结论结论中中错误错误的是的是()ACEDE BAEOEC.DOCEODE3B知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）【2016牡丹江牡丹江】如如图图，在半径，在半径为为5的的 O中，弦中，弦AB6，OPAB，垂足，垂足为为点点P，则则OP的的长为长为()A3 B2.5 C4 D3.54C知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）(中考中考上海上海)如如图图，已知，已知 O中，中，AB是弦，半径是弦，半径OCAB，垂足，垂足为为点点D.要使四要使四边边形形OACB为为菱形，菱形，还还需要添加需要添加一个条件，一个条件，这这个条件可以是个条件可以是()AADBD BODCDCCADCBD DOCAOCB5B知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）【2017西宁西宁】如如图图，AB是是 O的直径，弦的直径，弦CD交交AB于点于点P，AP2，BP6，APC30，则则CD的的长长为为()A.B2 C2 D86C知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）【2017新疆新疆】如如图图，O的半径的半径OD垂直于弦垂直于弦AB，垂，垂足足为为点点C.连连接接AO并延并延长长交交 O于点于点E.连连接接BE，CE，若若AB8，CD2，则则BCE的面的面积为积为()A12 B15 C16 D187A2知识点知识点垂径定理的推论垂径定理的推论知知2 2导导如如图图,AB是是 O的弦（不是直径），作一条平分的弦（不是直径），作一条平分AB的直的直径径CD)，交交AB于于点点M.（1）图图是是轴对轴对称称图图形形吗吗？如果是，？如果是，其其对对称称轴轴是什么？是什么？（2）你能你能发现图发现图中有哪些等量关系？中有哪些等量关系？说说一一说说你的理由你的理由.归纳知知2 2导导（来自教材）（来自教材）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所弦所对对的弧的弧.知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）推推论论：(1)平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分 弦所弦所对对的弧，即：如的弧，即：如图图，在，在 O中，中，知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）即：即：如如图图，在，在 O中，中，(3)平分弦所平分弦所对对的一条弧的直径垂直平分的一条弧的直径垂直平分这这条弦，并且平条弦，并且平 分弦所分弦所对对的另一条弧，即：如的另一条弧，即：如图图，在，在 O中，中，知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）下列下列说说法正确的是法正确的是()A经过经过弦的中点的直弦的中点的直线线平分弦所平分弦所对对的弧的弧B过过弦的中点的直弦的中点的直线线一定一定经过圆经过圆心心C弦所弦所对对的两条弧的中点的的两条弧的中点的连线连线垂直平分弦且垂直平分弦且经经 过圆过圆心心D弦的垂弦的垂线线平分弦所平分弦所对对的弧的弧例例3C知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）导导引：引：经过经过弦的中点的直弦的中点的直线线有无数条，只有有无数条，只有经过经过弦的中点且弦的中点且垂直于弦的直垂直于弦的直线线才才经过圆经过圆心并平分心并平分这这条弦所条弦所对对的弧，的弧，所以所以选项选项A，B错误错误弦的垂弦的垂线线有很多，不一定平分有很多，不一定平分弦所弦所对对的弧，所以的弧，所以选项选项D错误错误平分弦所平分弦所对对两条弧的两条弧的直直线线必垂直平分弦且必垂直平分弦且经过圆经过圆心，所以心，所以选项选项C正确正确知知2 2讲讲（来自教材）（来自教材）如如图图,条公路的条公路的转转弯弯处处是一段是一段圆圆弧（即弧（即 图图中中 ,点点O是是 所在所在圆圆的的圆圆心），其中心），其中CD=600m，E为为 上一上一点，且点，且OE丄丄CD，垂足，垂足为为F，EF=90m.求求这这段弯路的半径段弯路的半径.例例4知知2 2讲讲（来自教材）（来自教材）连连接接OC.设设弯路的半径弯路的半径为为Rm，则则OF=(R-90)m.OE CD，CF=CD=600=300(m).在在RtOCF中，根据勾股定理，得中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即即R2=3002+(R-90)2.解解这这个方程，得个方程，得R=545.所以，所以，这这段弯路的半径段弯路的半径为为545 m.解：解：知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）如如图图，O的直径的直径CD10 cm，AB是是 O的弦，的弦，AMBM，OM OC3 5，则则AB的的长为长为()A8 cmB.cmC6 cmD2 cm1A知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）如如图图，ABC的三个的三个顶顶点都在点都在 O上，上，AOB60，ABAC2，则则弦弦BC的的长为长为()A.B3 C2 D42C知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）【2017乐乐山山】如如图图是是“明清影明清影视视城城”的一扇的一扇圆圆弧形弧形门门，小，小红红到影到影视视城游玩，她了解到城游玩，她了解到这这扇扇门门的相关数据：的相关数据：这这扇扇圆圆弧弧形形门门所在的所在的圆圆与水平地面是相切的，与水平地面是相切的，ABCD0.25 m，BD1.5 m，且，且AB，CD与水平地面都是垂直的根据以与水平地面都是垂直的根据以上数据，上数据，请请你帮小你帮小红计红计算出算出这这扇扇圆圆弧形弧形门门的最高点离地面的最高点离地面的距离是的距离是()A2 m B2.5 m C2.4 m D2.1 m3B垂垂径定理：径定理：(1)垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分这这条弦，并且平分条弦，并且平分 弦所弦所对对的弧的弧.1知知识小小结(2)关于垂径定理及其关于垂径定理及其推推论论可可归纳为归纳为：一条直：一条直线线，它具，它具 备备以下五个性以下五个性质质：直直线过圆线过圆心；心；直直线线垂直于弦；垂直于弦；直直线线平分弦平分弦(不是直径不是直径)；直直线线平分弦所平分弦所对对的的优优弧；弧；直直线线平分弦所平分弦所对对的劣弧如果把其中的任意两条作的劣弧如果把其中的任意两条作为为 条件，其余三条作条件，其余三条作为结论为结论，组组成的命成的命题题都是真命都是真命题题如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，CD是是 O的一条弦，的一条弦，CDAB于点于点E，则下列结论：，则下列结论：COEDOE；CEDE；BCBD；OEBE.其中，一定正确的有其中，一定正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个易易错错点：点：被图形的表面现象所误导被图形的表面现象所误导2易错小结易错小结CD根据垂径定理，可知根据垂径定理，可知一定正确；因一定正确；因为为CD不不一定平分一定平分OB，所以，所以不一定正确本不一定正确本题题的易的易错错之之处处是是对对垂径定理理解不透，并且垂径定理理解不透，并且图图形画得比形画得比较较特殊，特殊，因而因而误认为误认为CD平分平分OB.错错解：解：诊诊断：断：请请完成完成典中点典中点 、板板块块 对应习题对应习题！